洪　玲，　邢　燕

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009)

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CE-Bézier曲線與二次均勻B樣條曲線的拼接

洪玲，邢燕

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009)

[摘要]將B樣條曲線轉(zhuǎn)換為Bézier曲線，基于Bézier曲線間的光滑拼接的理論，研究了帶多形狀參數(shù)的Bézier曲線(CE-Bézier曲線)與均勻B樣條曲線的拼接問題，得出均勻B樣條曲線與CE-Bézier曲線的G0，G1，G2光滑拼接條件.在達(dá)到拼接條件的前提下，通過改變CE-Bézier曲線的形狀參數(shù)的數(shù)值大小，可以靈活調(diào)整拼接曲線的形狀.

[關(guān)鍵詞]CE-Bézier曲線； 均勻B樣條； Bézier構(gòu)造方法； G2連續(xù)拼接

1引言

Bézier曲線和均勻B樣條曲線(UniformB-splinecurves)是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)等領(lǐng)域表示和設(shè)計(jì)自由曲線方面的重要研究內(nèi)容[1]，但隨著幾何造型工業(yè)的快速發(fā)展，特別是在新工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)的要求下，原有的Bézier方法和B樣條方法都很難滿足曲線、曲面的幾何造型需求.近幾年有許多曲線設(shè)計(jì)人員通過引入?yún)?shù)、對(duì)伯恩斯坦基和B樣條基進(jìn)行擴(kuò)展，構(gòu)造一些類似伯恩斯坦基和B樣條基性質(zhì)的基函數(shù)，這樣可以便捷地改變曲線、曲面的形狀，增加其靈活性、形狀可調(diào)性和逼近性.因此，帶形狀參數(shù)的Bézier曲線和B樣條曲線的擴(kuò)展研究如今成為計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的熱點(diǎn)問題.

近年來，人們對(duì)通過形狀參數(shù)來調(diào)整曲線曲面的形狀產(chǎn)生了興趣：文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上提出了帶一個(gè)形狀參數(shù)參數(shù)的n次Bézier曲線，因?yàn)橹粠б粋€(gè)形狀參數(shù)的曲線，在對(duì)曲線進(jìn)行調(diào)控時(shí)，曲線只能在上下移動(dòng).為了更好地調(diào)控曲線，文獻(xiàn)[4]構(gòu)造了一類帶雙參數(shù)的二次三角Bézier曲線；文獻(xiàn)[5]提出了帶多形狀參數(shù)的廣義Bézier曲線曲面；文獻(xiàn)[6]提出了三角域上帶形狀參數(shù)的三次Bézier曲面；文獻(xiàn)[7]提出了兩種新的分別帶有2個(gè)和3個(gè)形狀控制參數(shù)的三次擴(kuò)展Bézier曲線，統(tǒng)稱為CE-Bézier曲線，CE-Bézier曲線不僅具有三次Bézier曲線的特性，而且具有靈活的形狀可調(diào)性和更好的逼近性，可靈活實(shí)現(xiàn)更多種逼近方式.

帶形狀參數(shù)的Bézier曲線、曲面應(yīng)用非常廣泛，然而在CAD/CAM中常會(huì)遇到復(fù)雜曲線、曲面的造型問題，通常我們采取的辦法就是進(jìn)行曲線、曲面的拼接.針對(duì)具有參數(shù)的Bézier曲線、曲面的拼接，近兩年也有許多文章：λαβ-Bézier曲線與3次Bézier曲線的拼接條件[8]，帶多形狀參數(shù)的三次Bézier曲線曲面的光滑拼接[9]，三次TC-Bézier與H-Bézier曲線曲面的光滑拼接[10]等等.但在曲線光滑拼接的研究中，往往都是對(duì)帶形狀參數(shù)的Bézier曲線之間或者是帶形狀參數(shù)Bézier曲線與一般Bézier曲線之間的拼接，很少有對(duì)帶形狀參數(shù)的Bézier曲線與均勻B樣條間的拼接.鑒于此本文以二次均勻B樣條曲線與CE-Bézier曲線間的拼接為例，并給出它們間拼接的G0，G1，G2光滑拼接條件.

2CE-Bézier曲線的定義

CE-Bézier曲線是由秦新強(qiáng)和胡剛在研究擴(kuò)展三次Bézier曲線時(shí)提出的[7]，從文獻(xiàn)[7]，我們可知三次CE-Bézier曲線有很多優(yōu)點(diǎn)，如優(yōu)良的形狀可調(diào)性和對(duì)控制多邊形更好的逼近性，調(diào)整形狀參數(shù)可靈活實(shí)現(xiàn)多種逼近方式，且形狀參數(shù)的幾何意義明顯.更多的對(duì)不同形式多項(xiàng)式基函數(shù)的研究可參照文獻(xiàn)[12-16].

定義1[7]給定4個(gè)控制頂點(diǎn)Pi∈n，其中n=2,3;i=0,1,2,3.對(duì)t∈[0,1]定義曲線

(1)

稱式(1)所定義的四次多項(xiàng)式曲線為帶形狀控制參數(shù)α,β,γ的三次擴(kuò)展Bézier曲線，簡稱CE-Bézier曲線.其中四次多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)Bi,4(t)(i=0,1,2,3)定義如下：

(2)

式(2)中α,γ∈[-3,1]，β∈[-3,3]為形狀控制參數(shù).

顯然，當(dāng)參數(shù)α=γ,β=0時(shí)，曲線(1)退化為帶單參數(shù)的三次Bézier曲線；而當(dāng)參數(shù)β=0時(shí)，曲線(1)退化成帶雙參數(shù)的三次Bézier曲線.由式(1)，(2)不難推出CE-Bézier曲線具有如下性質(zhì)：

(i) 端點(diǎn)性質(zhì)

(ii) 凸包性；

(iii) 當(dāng)α=γ,β=0時(shí)，曲線具有對(duì)稱性；

(iv) 幾何不變性和仿射不變性.

3B樣條曲線與Bézier曲線的轉(zhuǎn)換

二次均勻B樣條轉(zhuǎn)換為Bézier曲線，就是要找出兩者的控制點(diǎn)之間的關(guān)系，只需令兩條曲線的端點(diǎn)處的值和端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值相等即可.

設(shè)給定的控制頂點(diǎn)為Q0,Q1,Q2，則二次Bézier曲線可表示為

(3)

其中u∈[0,1].

設(shè)給定的控制頂點(diǎn)為V0,V1,V2，則二次均勻B樣條曲線可以定義表示為

(4)

其中u∈[0,1].

令二次Bézier曲線的端點(diǎn)及端點(diǎn)切矢分別等于二次均勻B樣條曲線的端點(diǎn)及端點(diǎn)切矢

則有

(5)

將(5)式代入(3)式，可得B(u)=P(u).

要將更高次的均勻B樣條轉(zhuǎn)化為Bézier曲線，可以利用轉(zhuǎn)化矩陣[17].

4拼接定理

設(shè)由式(1)所定義的一條CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)，其控制頂點(diǎn)為P0,P1,P2,P3，則

式中Bi,4(i=0,1,2,3)由式(2)中所定義.

二次均勻B樣條曲線P(u)如(4)式所定義，控制頂點(diǎn)為V0,V1,V2.利用上述二次均勻B樣條曲線的Bézier構(gòu)造方法，有

其中Qi(i=0,1,2,3)如(5)式所定義，則CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)與二次均勻B樣條曲線P(u)的拼接就轉(zhuǎn)化為CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)與二次Bézier曲線之間的拼接.

4.1　G0光滑拼接

定理1CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)與二次均勻B樣條曲線P(u)的G0光滑拼接的充要條件是

當(dāng)參數(shù)取值不一樣時(shí)，兩條曲線仍可以達(dá)到拼接條件.特別地，當(dāng)α=β=γ=0時(shí)，就是普通的Bézier曲線(圖中紅色曲線)與二次均勻B樣條曲線的拼接，如圖1所示.紅色，綠色，藍(lán)色，青色和粉紅曲線為不同形狀參數(shù)下的CE-Bézier曲線，黑色為二次均勻B樣條曲線.

圖1　曲線P(t,α,β,γ)與P(u)的G0光滑拼接

4.2　G1光滑拼接

定理2CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)與二次均勻B樣條曲線P(u)的G1光滑拼接的充要條件是

則曲線P(t,α,β,γ)與曲線P(u)在公共連接點(diǎn)處達(dá)到G1光滑拼接.

證為了讓兩條曲線達(dá)到G1連續(xù)，首先是G0連續(xù)，在定理1中我們已經(jīng)給出了條件(i)的證明，在此我們只需證明條件(ii)即可.兩曲線在公共連接點(diǎn)處有G1連續(xù)，其次還需兩曲線在連接點(diǎn)處的切矢方向相同，即

P′(1,α,β,γ)=κP′(0)(κ>0).

由式(ii)可知P′(1,α,β,γ)=(3+γ)(P3-P2)，由式(5)可知P′(0)=V1-V0，則有

(3+γ)(P3-P2)=κ(V1-V0)，

兩條曲線達(dá)到G1光滑拼接的圖形如圖2所示.當(dāng)CE-Bézier曲線參數(shù)取不同值時(shí)，仍可達(dá)到G1連續(xù).

圖2　曲線P(t,α,β,γ)與P(u)的G1光滑拼接

4.3　G2光滑拼接

定理3在滿足G1連續(xù)的條件下，如果還滿足

則CE-Bézier曲線P(t,α,β,γ)與二次均勻B樣條曲線在公共連接點(diǎn)處有G2光滑拼接，其中κ如定理2中定義，ε為任意數(shù).

證由曼寧的G2光滑拼接條件，除了滿足G1光滑條件外，還需在連接點(diǎn)處滿足曲率連續(xù)條件

P″(1,α,β,γ)=κ2P″(0)+εP′(0).

(6)

由上文可知

P″(1,α,β,γ)=6(P3-2P2+P1)+6γ(P3-P2)+2β(P1-P2)，

P″(0)=0.5V0-V1+0.5V2，P′(0)=V1-V0.

由(6)式，即有

CE-Bézier曲線與二次均勻B樣條曲線的G2拼接如圖3所示.

圖3　曲線P(t,α,β,γ)與P(u)的G2光滑拼接

5結(jié)束語

本文研究了一種重要的帶多形狀參數(shù)的三次擴(kuò)展Bézier曲線—CE-Bézier與二次均勻B樣條的拼接，首先利用B樣條曲線的Bézier構(gòu)造方法，把二次均勻B樣條曲線轉(zhuǎn)化為二次Bézier曲線，然后再討論了CE-Bézier曲線與二次Bézier曲線的拼接條件.由于第二類CE-Bézier曲線不僅具有更好的逼近性和更靈活的逼近方式，而且計(jì)算相對(duì)簡單.

本文中給出了CE-Bézier與二次均勻B樣條的G0,G1,G2拼接條件，在達(dá)到拼接的前提下，取不同的參數(shù)值，可以靈活調(diào)整拼接曲線的形狀，相信對(duì)曲線設(shè)計(jì)人員有一定幫助.

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Research on Smooth Connection between CE-Bézier

Curves and Quadratic B-spline Curves

HONGLing，XINGYan

(School of Mathematic, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:Based on the theory of curves’ smooth connection, the paper researched the connection problem between Bézier curves with multiple shape parameters (CE-Bézier) and uniform B-spline curves, through converting B-spline curves to Bézier representation. The necessary and sufficient conditions of G0,G1,G2splicing between CE-Bézier curves and uniform B-spline curves were proposed. After meeting the splicing conditions, by changing the shape parameters of CE-Bézier curve, the shape of the stitching curve can be adjusted flexibly.

Key words:CE- Bézier curve; Uniform B-spline; Bézier constructive method; G2- continuity splicing

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金青年基金(61100126)；安徽省自然科學(xué)基金(1308085MA09)；合肥工業(yè)大學(xué)橫向課題(JY13-014)

[收稿日期]2014-07-01

[中圖分類號(hào)]TP391

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0026-05