曲洪東, 翟龍軍, 高　山

(1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系, 山東 煙臺(tái) 264001; 2. 海軍航空工程學(xué)院科研部,

山東 煙臺(tái) 264001; 3. 陸軍航空兵學(xué)院機(jī)載系, 北京 101123)

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六邊形格點(diǎn)毫米波干涉陣列的稀疏與優(yōu)化

曲洪東1,3, 翟龍軍1, 高山2

(1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系, 山東 煙臺(tái) 264001; 2. 海軍航空工程學(xué)院科研部,

山東 煙臺(tái) 264001; 3. 陸軍航空兵學(xué)院機(jī)載系, 北京 101123)

摘要：研究了六邊形格點(diǎn)干涉陣列的陣列稀疏和優(yōu)化。通過陣列配置矩陣及其自相關(guān)矩陣和互相關(guān)矩陣,分析了六邊形格點(diǎn)陣列的UV平面采樣點(diǎn)分布規(guī)律,推導(dǎo)得到了六邊形格點(diǎn)陣列實(shí)現(xiàn)UV平面采樣點(diǎn)全覆蓋的條件,并將六邊形格點(diǎn)陣列的稀疏優(yōu)化轉(zhuǎn)化為矩形格點(diǎn)陣列的稀疏優(yōu)化問題。利用差基序列低冗余度特性,提出了基于差基的六邊形格點(diǎn)陣列稀疏與優(yōu)化方法。仿真分析結(jié)果表明,采用所提方法得到的稀疏陣列,其冗余度優(yōu)于經(jīng)典X形陣。

關(guān)鍵詞：綜合孔徑成像; 稀疏陣列; 六邊形格點(diǎn); 差基

0引言

干涉式毫米波綜合孔徑成像的基本原理是采用多組具有不同取向和長(zhǎng)度基線的二元干涉綜合得到大口徑天線,被動(dòng)接收來自目標(biāo)場(chǎng)景的毫米波輻射信息。這樣天線的物理孔徑可以被稀疏比極大的、散布的小單元天線陣列代替,同時(shí)無需機(jī)械掃描,具有突出的優(yōu)點(diǎn)[1-3]。

干涉式毫米波綜合孔徑成像需要利用稀疏天線陣列中任意兩個(gè)天線接收到的信號(hào)進(jìn)行復(fù)相關(guān)處理,得到可視度函數(shù)在的UV平面內(nèi)若干個(gè)采樣點(diǎn)的采樣值,然后從中恢復(fù)出被探測(cè)場(chǎng)景的亮溫度分布圖。由于可視度函數(shù)UV平面內(nèi)采樣點(diǎn)的位置由天線陣中任意兩個(gè)單元天線的基線確定,而陣列為稀疏陣列,因此不可避免地存在可視度函數(shù)在UV平面內(nèi)的采樣點(diǎn)覆蓋不完全,同時(shí)存在大量的冗余采樣點(diǎn),使得圖像受到由旁瓣等因素影響而質(zhì)量下降。因此,陣列在進(jìn)行工程實(shí)現(xiàn)時(shí),必須進(jìn)行稀疏和優(yōu)化。

本文采用將六邊形格點(diǎn)映射到矩形格點(diǎn)的方法,研究了六邊形格點(diǎn)的干涉陣列的采樣點(diǎn)分布規(guī)律。通過陣列配置矩陣及其自相關(guān)矩陣和互相關(guān)矩陣,分析了六邊形格點(diǎn)陣列的UV平面采樣點(diǎn)分布規(guī)律,推導(dǎo)得到了六邊形格點(diǎn)陣列實(shí)現(xiàn)UV平面采樣點(diǎn)全覆蓋的條件。利用差基序列的全覆蓋和低冗余度特性,提出了基于差基的六邊形格點(diǎn)陣列稀疏與優(yōu)化方法。

1六邊形格點(diǎn)陣列的UV采樣點(diǎn)分布規(guī)律

由干涉測(cè)量的基本原理可知,陣列中的天線對(duì)形成的基線矢量對(duì)應(yīng)UV平面內(nèi)的一個(gè)UV采樣點(diǎn),N個(gè)天線單元可以在UV平面內(nèi)產(chǎn)生N(N-1)個(gè)UV采樣點(diǎn),UV采樣點(diǎn)的分布稱為UV覆蓋。

對(duì)于按照M×N矩形格點(diǎn)配置的稀疏干涉陣列,定義其陣列配置矩陣為A=[a(m,n)]M×N,其中a(m,n)=0表示在(m,n)格點(diǎn)處不放置陣元;a(m,n)=1表示在(m,n)格點(diǎn)處放置陣元。對(duì)于稀疏干涉陣列,其陣列配置矩陣為稀疏0-1矩陣。

對(duì)于矩形格點(diǎn)稀疏陣列,對(duì)應(yīng)的UV平面采樣點(diǎn)仍然分布在矩形格點(diǎn)上。其UV覆蓋可以用相關(guān)矩陣表示。

定義 1若矩陣A=[a(m,n)]M×N,矩陣B=[b(m,n)]M×N,則A和B的互相關(guān)矩陣CAB=[cAB(i,j)](2M-1)×(2N-1)定義為

(1)

式中,1≤i≤2M-1;1≤j≤2N-1;M,N均為正整數(shù)；*表示取共軛。

若A=B,則CAA稱為A的自相關(guān)矩陣。對(duì)于矩形格點(diǎn)的稀疏干涉陣列,用自相關(guān)矩陣CAA可以表示其UV平面的采樣點(diǎn)覆蓋,其元素cAA(i,j)表示稀疏干涉陣列在UV平面內(nèi)(i,j)點(diǎn)處的采樣點(diǎn)數(shù)目。

矩陣互相關(guān)運(yùn)算滿足分配律,即如果矩陣A,B為M×N維矩陣,則有

(2)

對(duì)于陣元數(shù)為N×M的六邊形格點(diǎn)的稀疏陣列,可以構(gòu)造2N×2M的矩形格點(diǎn),將六邊形格點(diǎn)上的陣元映射到矩形格點(diǎn)的奇數(shù)行奇數(shù)列格點(diǎn)和偶數(shù)行偶數(shù)列格點(diǎn)上,從而構(gòu)造其陣列配置矩陣,如圖1所示。

圖1　六邊形格點(diǎn)映射到矩形格點(diǎn)

為研究六邊形格點(diǎn)陣列的UV覆蓋,考慮如下定理:

定理 1若A=[a(m,n)]M×N,XA=[xA(i,j)]2M×2N,且有

(3a)

或

(3b)

則XA的相關(guān)矩陣CXAXA可以由A的自相關(guān)矩陣CAA表示,即

(4)

證明如果式(3a)成立,則有

(5)

(1) 若i,j均為偶數(shù),i=2p,j=2q,從而有

xA(2k,2l)=a(k,l)

(6a)

xA(2k+2M-2p,2l+2N-2q)=

(6b)

所以

(7)

式中,1≤p≤2M-1;1≤q≤2N-1。

(2) 若i,j不全為偶數(shù),即i≠2p或j≠2q,從而有2M-2k+i和/或2N-2l+j不為偶數(shù),從而一定有xA(2k+2M-i,2l+2N-j)=0

所以

證畢

同理,可以證明當(dāng)式(3b)成立時(shí),式(4)仍然成立。

定理1表明,當(dāng)在矩陣XA=[xA(i,j)]2M×2N的奇數(shù)行奇數(shù)列(或者偶數(shù)行偶數(shù)列)位置處,按照原順序放置矩陣A=[a(m,n)]M×N的元素,其余位置的元素為零元素時(shí),XA的自相關(guān)矩陣只在偶數(shù)行偶數(shù)列處不為零,并且與A的自相關(guān)矩陣CAA相應(yīng)位置處的元素值相等。如果XA是某個(gè)陣列的配置矩陣,則其在UV平面的采樣點(diǎn)分布只位于偶數(shù)行偶數(shù)列的格點(diǎn)處,如圖2所示。

圖2　偶或奇數(shù)格點(diǎn)處放置陣元的陣列配置矩陣及自相關(guān)矩陣

定理 2若A=[a(m,n)]M×N,B=[b(m,n)]M×N,XA=[xA(i,j)]2M×2N,XB=[xB(i,j)]2M×2N,且有

(8a)

(8b)

則有如下結(jié)論：

結(jié)論 1CXAXB可以由CAB表示，即

(9a)

結(jié)論 2CXBXA可以由CBA表示，即

(9b)

下面證明結(jié)論1。

證明

(10)

(11)

式中,1≤p≤2M-1;1≤q≤2N-1。

(2) 若i,j均為奇數(shù),即i=2p+1且j=2q+1,從而有

(12)

式中,1≤p≤2M-1,1≤q≤2N-1。

(3) 若i=1,則m+2M-1>2M-1;若j=1,n+2N-1>2N-1,因此

(13a)

(13b)

證畢

同理,可證明結(jié)論2。

定理2表明,在矩陣XA=[xa(m,n)]2M×2N的偶數(shù)行偶數(shù)列位置處,按照原順序放置矩陣A=[a(m,n)]M×N的元素,其余位置的元素為零元素;在矩陣XB=[xb(m,n)]2M×2N的奇數(shù)行奇數(shù)列位置處,按照原順序放置矩陣B=[b(m,n)]M×N的元素,其余位置的元素為零元素;則XA和XB的互相關(guān)矩陣CXAXB只在大于2的奇數(shù)行奇數(shù)列格點(diǎn)處不為零;并且與A和B的互相關(guān)矩陣CAB相應(yīng)位置處的元素值相等;XB和XA的互相關(guān)矩陣CXBXA只在小于4M-2的奇數(shù)行奇數(shù)列格點(diǎn)處不為零;并且與B和A的互相關(guān)矩陣CBA相應(yīng)位置處的元素值相等,如圖3所示。

結(jié)合式(2),由定理1和定理2的結(jié)論可知:

(1) 六邊形格點(diǎn)的陣列產(chǎn)生的UV采樣點(diǎn)仍然位于UV平面內(nèi)的六邊形格點(diǎn)上。

(2) 六邊形格點(diǎn)陣列可以看成由位于奇數(shù)行奇數(shù)列格點(diǎn)的矩形格點(diǎn)陣列A和位于偶數(shù)行偶數(shù)列格點(diǎn)上的矩形格點(diǎn)矩陣B兩部分組成。

(3) 在UV平面內(nèi),偶數(shù)行偶數(shù)列的采樣點(diǎn)由A和B的自相關(guān)矩陣CXAXA和CXBXB確定;奇數(shù)行奇數(shù)列的采樣點(diǎn)由A和B的互相關(guān)矩陣CXAXB和CXBXA確定,其中CXAXB確定采樣平面的最后一行和最后一列的格點(diǎn),CXBXA確定采樣平面的第一行和第一列的格點(diǎn)。

(4) 要實(shí)現(xiàn)陣列在六邊形格點(diǎn)上的全覆蓋,只需要矩形格點(diǎn)陣列A或B能實(shí)現(xiàn)矩形格點(diǎn)上的全覆蓋(CAA或CBB不包含零元素),并且CAB不包含零元素(此時(shí)CBA也不包含零元素,因?yàn)閏AB(i,j)=cBA(M-i+1,N-j+1))。

圖3　偶或奇數(shù)格點(diǎn)處放置陣元的陣列配置矩陣及互相關(guān)矩陣

2基于差基的六邊形格點(diǎn)陣列稀疏與優(yōu)化方法

采用構(gòu)造方法能減少搜索解的規(guī)模,適用于大陣元數(shù)的陣列稀疏和優(yōu)化問題[11]。為此,選擇基于差基的構(gòu)造方法實(shí)現(xiàn)六邊形格點(diǎn)陣列的稀疏和優(yōu)化。

定義 2給定正整數(shù)L,由K個(gè)整數(shù)構(gòu)成集合{ai},且有

(14)

使得任意正整數(shù)s(0

對(duì)于集合{0,1,4,6},容易驗(yàn)證6以內(nèi)的正整數(shù)都可以由該集合內(nèi)兩個(gè)元素的差表示,即該集合為L(zhǎng)=6的一個(gè)受限差基。受限差基可以用集合{ai}表示,也可以用相鄰元素之差構(gòu)成的間距集合表示。如受限差基{0,1,4,6}可以用間距集合{1,3,2}表示;受限差基{0,1,4,7,9}可以用間距集合{1,3,3,2}表示。

文獻(xiàn)[6]給出了3≤K≤17時(shí)的部分已知受限差基,并且給出了當(dāng)K≥8時(shí)其間距集合的解析表達(dá)式,即

(15)

式中,r和l為正整數(shù),上標(biāo)表示該元素連續(xù)重復(fù)次數(shù)。該解析表達(dá)式適用于元素?cái)?shù)為M=4m+3(m為正整數(shù))的情況,r和l的值可以按照下面公式計(jì)算

(16)

式中,[·]為取整運(yùn)算;mod為求余運(yùn)算。

受限差基具有很好的性質(zhì)。對(duì)線陣,如果陣元按照受限差基中元素值的位置排列,則可以得到最小冗余陣。對(duì)于矩形格點(diǎn)陣列,可以先通過分別構(gòu)造兩個(gè)差基,得到兩個(gè)最小冗余度線陣,然后對(duì)兩個(gè)線陣的配置向量相乘得到二維陣列配置矩陣,從而可實(shí)現(xiàn)二維陣列的低冗余度的稀疏和優(yōu)化[9,11-15]。

根據(jù)對(duì)六邊形格點(diǎn)陣列的UV覆蓋的分析可知,如果能以采用優(yōu)化算法或構(gòu)造方法求解得到最小冗余度的矩形格點(diǎn)陣列配置矩陣A或B,使得A或B在矩形格點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)全覆蓋,則可以實(shí)現(xiàn)六邊形格點(diǎn)陣列的低冗余度稀疏和優(yōu)化。

因此,可以采用下面的方法對(duì)六邊形格點(diǎn)陣列進(jìn)行稀疏與優(yōu)化。

(1) 構(gòu)造元素?cái)?shù)為K的差基序列{sk},0≤k≤K使得

(17)

根據(jù){si}構(gòu)造行向量

(18)

(2) 根據(jù)X構(gòu)造(M+1)×(M+1)維矩形格點(diǎn)陣列配置矩陣A=[aij],即令A(yù)=XTX。

(3) 構(gòu)造(M+1)×(M+1)維矩形格點(diǎn)陣列配置矩陣B=[bij],即令B為(M+1)階單位矩陣。

(4) 將矩形格點(diǎn)陣列配置矩陣A和B分別按原順序映射到(2M+2)×(2M+2)維矩形格點(diǎn)的奇數(shù)行奇數(shù)列格點(diǎn)和偶數(shù)行偶數(shù)列格點(diǎn)上,即令

(19)

式中

即可以得到稀疏優(yōu)化的六邊形格點(diǎn)陣列配置矩陣P。

3仿真分析

圖4給出了采用本文方法稀疏得到的六邊形格點(diǎn)稀疏陣列及其UV平面內(nèi)的采樣點(diǎn)分布。其中圖4(a)為利用差基序列{0,1,4,7,9}得到的35元陣稀疏優(yōu)化結(jié)果,圖4(b)為其UV平面采樣點(diǎn)分布,圖4(c)為經(jīng)典33元X形陣列的配置,圖4(d)為其UV平面采樣點(diǎn)分布。

圖4　六邊形格點(diǎn)陣列稀疏優(yōu)化結(jié)果及UV平面采樣點(diǎn)分布

UV平面采樣點(diǎn)分布的冗余度定義為天線的理想U(xiǎn)V采樣點(diǎn)數(shù)Sid與實(shí)際UV采樣點(diǎn)數(shù)Sre之比,即

(20)

對(duì)圖4(c)的33元X形陣,其冗余度為R=1 089/321≈3.39;對(duì)圖4(a)的35元稀疏陣,其冗余度為R=1 225/623≈1.97。對(duì)于大陣元數(shù),利用式(15)、式(16)構(gòu)造差基,通過本文方法得到的稀疏陣列冗余度與經(jīng)典X陣列冗余度的仿真結(jié)果如圖5所示。由圖5可見,經(jīng)典X型陣列和本文稀疏陣列的冗余度隨陣元數(shù)增加而增加,X型陣列的冗余度上限為4;本文稀疏陣列冗余度在陣元數(shù)為2 865時(shí)冗余度仍小于3,優(yōu)于經(jīng)典X型陣列。

圖5　本文稀疏陣列與X型陣列冗余度仿真結(jié)果

4結(jié)束語(yǔ)

論文采用將六邊形格點(diǎn)映射到矩形格點(diǎn)的方法,研究了六邊形格點(diǎn)干涉陣列的陣列稀疏和優(yōu)化,分析了六邊形格點(diǎn)陣列的UV平面采樣點(diǎn)分布規(guī)律,推導(dǎo)得到了六邊形格點(diǎn)陣列實(shí)現(xiàn)UV平面采樣點(diǎn)全覆蓋的條件,并將六邊形格點(diǎn)陣列的稀疏優(yōu)化轉(zhuǎn)化為矩形格點(diǎn)陣列的稀疏優(yōu)化問題。利用差基序列的全覆蓋和低冗余度特性,提出了基于差基的六邊形格點(diǎn)陣列稀疏與優(yōu)化方法,仿真分析結(jié)果表明,采用本文方法得到的稀疏陣列其冗余度優(yōu)于經(jīng)典X形陣。由于將六邊形格點(diǎn)陣列分割成兩個(gè)相同的矩陣格點(diǎn)陣列進(jìn)行優(yōu)化,各自陣列配置矩陣的自相關(guān)矩陣和互相關(guān)矩陣仍然會(huì)產(chǎn)生一定的冗余,需要研究采用兩個(gè)不同的矩形格點(diǎn)陣列實(shí)現(xiàn)稀疏和優(yōu)化的方法,從而以較低冗余度實(shí)現(xiàn)全覆蓋。

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曲洪東(1977-),男,博士研究生,主要研究方向?yàn)楹撩撞ū粍?dòng)成像技術(shù)。

E-mail:kaisoo@163.com

翟龍軍(1979-),男,副教授,博士,主要研究方向?yàn)殛嚵刑炀€技術(shù)。

E-mail:zhailongjun@163.com

高山(1977-),男,助理研究員,碩士,主要研究方向?yàn)樯漕l仿真技術(shù)。

E-mail:gaoshan6680@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141211.1840.007.html

Design and optimization of sparse MMW synthesis apeture

imaging arrays on hexagonal grids

QU Hong-dong1,3, ZHAI Long-jun1, GAO Shan2

(1.DepartmentofElectronicandInformationEngineering,NavalAeronauticaland

AstronauticalUniversity,Yantai264001,China; 2.DepartmentofScientificResearch,Naval

AeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai264001,China; 3.Department

ofAirboreWeapon,ArmyAviationInstitute,Beijing101123,China)

Abstract:Design and optimization of sparse millimeter wave (MMW) synthesis apeture imaging arrays on hexagonal grids are researched. The arrangement of sparse arrays can be represented by the configuration matrix. Using the auto-correlation matrix and the cross-correlation matrix of the configuration matix, distribution of sampling points in the UV plane of hexagonal array is analyzed, and conditions for sampling points covering the whole UV plane are deduced. Then, the question is converted to design and optimization of a sparse rectangular array. With the virtue of low redundancy, difference basis series are used to design hexagonal arrays, and a method to construct an optimized sparse hexagonal array is presented. Theoretical analysis and simulation show that redundancy of the optimized hexagonal array is lower than that of a typical X style array.

Keywords:synthesis apeture imaging; sparse array; hexagonal grids; difference basis

作者簡(jiǎn)介：

中圖分類號(hào)：TN 959.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.07.03

收稿日期：2014-06-27；修回日期：2014-09-26；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-12-11。