杜佃春,唐承鐵

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；

2.湖南省婁衡高速公路建設(shè)開發(fā)有限公司，湖南 衡陽 421000)

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地震效應(yīng)和孔隙水壓力對邊坡穩(wěn)定性影響的上限分析

杜佃春1,唐承鐵2

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；

2.湖南省婁衡高速公路建設(shè)開發(fā)有限公司，湖南 衡陽 421000)

摘要:以極限分析上限定理為基礎(chǔ)，在考慮孔隙水壓力、豎向和水平地震作用影響下對邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析，推導(dǎo)出邊坡在孔隙水壓力和地震力共同作用下的邊坡臨界高度和邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)的表達(dá)式，并采用序列二次歸化法對所得公式進(jìn)行優(yōu)化計算，與其他已有的研究結(jié)果對比驗(yàn)證該方法的正確性。對影響邊坡穩(wěn)定性的一些因素進(jìn)行分析，研究結(jié)果表明：隨著孔隙水壓力、地震效應(yīng)影響系數(shù)的增加，邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)和潛在滑裂面均變化明顯。

關(guān)鍵詞：邊坡；孔隙水壓力；地震力；穩(wěn)定性；上限分析

在土力學(xué)中，很多問題都是以發(fā)生塑性破壞作為控制條件。極限分析理論是從結(jié)構(gòu)的破壞入手，研究結(jié)構(gòu)破壞時的荷載，在極大的簡化計算過程的同時，也得到了準(zhǔn)確的解答。極限分析理論自20世紀(jì)70年代由CHEN[1]提出以來，即得到了廣泛的應(yīng)用。采用極限分析上限理論研究邊坡穩(wěn)定性的問題時，當(dāng)邊坡土體即受孔隙水壓力作用又考慮到偶然動力荷載效應(yīng)時，需要把孔隙水壓力和地震荷載效應(yīng)也考慮進(jìn)來。由于地震作用本身較復(fù)雜，且具有偶然性和不確定性，因此，對動態(tài)穩(wěn)定性分析最常用的方法是擬靜力分析法。本文是以極限分析上限理論為基礎(chǔ)，同時考慮水壓力的作用，對土質(zhì)邊坡進(jìn)行動態(tài)穩(wěn)定性擬靜力分析。思路是：結(jié)合上限定理和強(qiáng)度折減技術(shù)，假定破壞面為機(jī)動容許的速度場，同時考慮孔隙水壓力、水平和豎向地震作用下的邊坡臨界高度和邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)的表達(dá)式。并用相應(yīng)的工程計算軟件，采用優(yōu)化迭代方法，對該目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計算，將所得結(jié)果與多個算例的對比后，驗(yàn)證了本文方法是正確的，最后討論了各參數(shù)對邊坡穩(wěn)定性的影響。

1基本理論

1.1　動態(tài)穩(wěn)定性擬靜力分析方法

由于地震作用的復(fù)雜性，采用擬靜力分析法將地震力對邊坡水平和豎直方向上的影響等效為作用在剛體質(zhì)點(diǎn)上的靜態(tài)力，相應(yīng)的系數(shù)為kh和kv，并假定兩者存在如下關(guān)系：

kv=ζkh

(1)

式中：ζ為kv與kh之間的比例系數(shù)，ζ為正值時，說明豎向作用力方向向下，反之，豎向作用力方向向上。規(guī)范中一般取ζ=0.5，且研究表明[2-4]：kh一般取0～0.3就可以滿足工程實(shí)際需要。本文中ζ分別取為1.0，0.5，0.0，-0.5和-1.0。

1.2　基于強(qiáng)度折減技術(shù)的上限分析

強(qiáng)度折減法是Bishop[4]在1955年提出來的。后經(jīng)過眾多學(xué)者的不斷研究，得到逐步完善。在外荷載一定時，邊坡土體能夠發(fā)揮的最大抗剪強(qiáng)度與外荷載在邊坡內(nèi)產(chǎn)生的剪應(yīng)力的比值即為抗剪強(qiáng)度折減系數(shù)。強(qiáng)度折減法是將土體參數(shù)c和φ分別除以一個強(qiáng)度折減系數(shù)Fs，并把折減后的c和φ值作為新的材料參數(shù)進(jìn)行試算。

經(jīng)過折減后得到的新的剪切強(qiáng)度參數(shù)分別用cf和φf表示，其與原來土體參數(shù)的關(guān)系為：

(2)

式中：Fs為剪切強(qiáng)度折減系數(shù)；c和φ為原始土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)；cf和φf為折減后的土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)。

把上限定理應(yīng)用到邊坡穩(wěn)定性分析中時，需要找到一種機(jī)動許可速度場，滿足外荷載所做功率等于內(nèi)能耗散功率，當(dāng)土體破壞時得到的相應(yīng)坡高即是土坡臨界高度Hcr的一個上限解答，相應(yīng)的Ns=γHcr/c為穩(wěn)定系數(shù)的上限Ns。已有研究表明[3-4]，當(dāng)邊坡達(dá)到臨界穩(wěn)定系數(shù)Ns或臨界高度Hcr時，邊坡即處于極限平衡狀態(tài)。此時可以把Hmin=Hcr或Nmin=Ns看作評價邊坡穩(wěn)定性的指標(biāo)。原強(qiáng)度折減系數(shù)Fs即作為一定條件下的邊坡安全系數(shù)。采用強(qiáng)度折減法分析邊坡穩(wěn)定性時，F(xiàn)s以隱式出現(xiàn)的，需要進(jìn)行相應(yīng)的迭代計算。

1.3　基本假設(shè)

用極限分析上限法對土體邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析時，需作如下假設(shè)：1)邊坡足夠長，當(dāng)作平面應(yīng)變問題來分析；2)邊坡巖土體為理想剛塑性體，破壞時遵循相關(guān)聯(lián)流動法則，并服從線性M-C破壞準(zhǔn)則；3)只對抗剪強(qiáng)度指標(biāo)實(shí)施強(qiáng)度折減原理進(jìn)行折減;4)地震效應(yīng)不影響假定的邊坡破壞機(jī)制。

2能耗計算及穩(wěn)定性分析

2.1　破壞模式

現(xiàn)有的研究成果表明[7-11]，邊坡的破壞面更接近于對數(shù)螺旋面形狀，因而在邊坡穩(wěn)定性上限分析中也常采用這種破壞機(jī)制，并假定滿地下水位邊坡，如圖1所示。其中，對數(shù)螺旋面[1]表達(dá)式為：

r=r0e[(θh-θ0)tanφ]

(3)

式中：θh，θ0是用來描述對數(shù)螺旋線破壞機(jī)制的角度參數(shù)；r為按θ定義的極徑；r0為θ=θ0時的極徑；φ為土體的內(nèi)摩擦角。據(jù)螺旋線破壞面的幾何關(guān)系可得到：

H/r0=sinθhe[(θh-θ0)tanφ]-sinθ0

(4)

L/r0=cosθ0-cosθhe[(θh-θ0)tanφ]

(5)

式中：H為坡高(m)，β為加筋土坡傾斜角。

圖1　對數(shù)螺旋面旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)制Fig.1 Rotational failure mechanism

2.2　能耗計算

由圖1可知，外功率做功包括3 個部分，重力、水平和豎向地震影響荷載及孔隙水壓力做功。

重力做功和水平地震荷載做功的表達(dá)式為：

(6)

式中：γ為巖土容重(kN/m3)；Ω為塑性ABC區(qū)的角速度；v為速度間斷量；f1～f6分為：

f1=

(7)

(8)

(9)

f4=

(10)

(11)

[sinθ0+sinθhe(θh-θ0)tanφ]

(12)

豎向地震荷載做功可以用重力做功來表示，方向與重力作用相同或相反，其表達(dá)式為：

(13)

孔隙水壓力u做功采用孔隙水壓力系數(shù)ru來表示，其做功表達(dá)式為：

(14)

其中：

(15)

上式中，z1= r·sinθ-r0·sinθ0

(16)

z2= r·sinθ-r0·sinθ0-

tanβ(r·cosθ-rh·cosθh)

(17)

因此，外荷載總功Wexp為：

(18)

內(nèi)部能量的耗散發(fā)生在土體間斷面BC上。沿該面的能量耗損率的微分表達(dá)式可以由該面的微分面積dθ/cosφ與黏聚力c以及與跨該面的切向間斷速度Vcosφ的連乘積得到[1]。沿整個斷面BC積分，可得總的內(nèi)部能量耗損率Wint是：

(19)

其中，f8=e2[(θh-θ0)tanφ]-1

(20)

依據(jù)上限法能耗計算過程，使外荷載所做功率等于內(nèi)能耗散，即使得Wexp=Wint，將式(18)，(19)帶入并整理，可求得在一定孔隙水壓力和地震作用下的邊坡的臨界高度H表達(dá)式。顯然H是θ0和θh的函數(shù)，記為：

H=f(θ0,θh)

(21)

為獲得最小的臨界高度H，需滿足下列條件：

(22)

在求得角度參數(shù)θ0和θh后，通過下式可求得邊坡在對數(shù)螺旋線破壞模式的頂部水平長度：

(23)

以MATLAB軟件為基礎(chǔ)，采用序列二次規(guī)劃算法對(21)式進(jìn)行優(yōu)化計算，即可求得H臨界高度的上限解。

2.3　穩(wěn)定性分析

根據(jù)極限分析上限法能耗計算，使外荷載所做的功率與內(nèi)能耗散率相等，并將土體初始抗剪強(qiáng)度參數(shù)c和φ按式(2)進(jìn)行折減，折減后取邊坡的臨界穩(wěn)定高度等于原始高度(即Hcr=H)，于是有：

(24)

(25)

其中， φf=arctan(tanφ/Fs)，且系數(shù)f1~f7,H/r0中的內(nèi)摩擦角φ均由φf=arctan(tanφ/Fs)來代替。

由上限定理知，式(24)為給定的實(shí)際邊坡在考慮孔隙水壓力和地震荷載作用下的安全系數(shù)上限表達(dá)式，F(xiàn)s是θ0和θh2個未知參數(shù)的函數(shù)且隱含了折減系數(shù)Fs。當(dāng)θ0和θh滿足以下條件：

(26)

函數(shù)f(θ0,θh,Fs)取得一個極值，即可得到邊坡安全系數(shù)Fs的一個上限機(jī)制解答。將式(24)中的Fs看作目標(biāo)函數(shù)，對土坡穩(wěn)定安全系數(shù)的進(jìn)行優(yōu)化：

minFs=Fs(θ0,θh)

(27)

(28)

由于Fs本身是一個隱函數(shù)，所以在優(yōu)化計算的時候需要進(jìn)行迭代運(yùn)算，直接求解較困難，可以采用序列二次迭代法和內(nèi)點(diǎn)迭代法對式(24)進(jìn)行迭代優(yōu)化計算。

3參數(shù)分析

3.1　ru和β對Fs及L/H的影響

限于羅強(qiáng)等[5-6]已研究過在不考慮其他因素的情況下，kh和β對Fs以及kh，kv和β對Fs的影響關(guān)系，最后得出：水平地震效應(yīng)kh和邊坡傾角β均對邊坡安全系數(shù)Fs影響較大，而且隨著β和kh的增大，F(xiàn)s下降得較明顯；豎向地震效應(yīng)kv的大小和方向的改變對安全系數(shù)Fs的影響則還與β有關(guān)，當(dāng)β較小時，隨著kv作用方向由向上變?yōu)橄蛳?，F(xiàn)s逐漸減??；當(dāng)β≥30°時，隨著kv作用方向由向上變?yōu)橄蛳?，F(xiàn)s是逐漸增大的。

因此本文考慮ru、β對Fs的影響。不考慮地震效應(yīng)影響，即令kh=0、kv=0，H =8 m，γ=20 kN/m3，c=30 kPa，φ=30°的條件下，當(dāng)孔隙水壓力系數(shù)ru=0.0～0.5、邊坡傾角β=15°～75°時，邊坡安全系數(shù)Fs的變化情況見圖2。當(dāng)條件相同，邊坡潛在滑裂面參數(shù)L/H與ru和β的關(guān)系如圖3所示。

圖2　ru和β對邊坡安全系數(shù)Fs的影響Fig.2 Effects of ru on safety factors Fs

由圖2和圖3可知，孔隙水壓力系數(shù)ru和邊坡傾角β兩者對邊坡安全系數(shù)Fs和邊坡潛在的滑裂面都有較大影響。隨著孔隙水壓力的增大，邊坡安全系數(shù)Fs是減小的，但減小的不明顯；隨邊坡傾角的增大，邊坡安全系數(shù)Fs減小較明顯。隨著孔隙水壓力系數(shù)的增大，邊坡潛在滑裂面L/H逐漸增大；隨著邊坡傾角的增大，滑裂面參數(shù)明顯增大，說明邊坡發(fā)生失穩(wěn)破壞的范圍顯著增加。邊坡傾角的對邊坡穩(wěn)定的影響作用明顯大于孔隙水壓力的影響。

圖3　ru和β對滑裂面參數(shù)L/H的影響Fig.3 Effects of ru on parameter of latent sliding for different slopes surface(L/H) for different slopes

3.2　ru和地震影響系數(shù)對Fs和L/H的影響

為了研究孔隙水壓力及地震荷載對邊坡安全系數(shù)及滑裂面的影響，即在H=8 m，γ=20 kN/m3，c=30 kPa，φ=30°和β=45°條件下，水平地震效應(yīng)影響系數(shù)kh=0.25，孔隙水壓力系數(shù)ru=0～0.5，地震效應(yīng)方向比例系數(shù)ζ=-1.0～1.0(即豎向地震效應(yīng)影響系數(shù)kv=-0.25～0.25時，邊坡安全系數(shù)Fs的變化情況見圖4。當(dāng)條件相同，邊坡潛在滑裂面參數(shù)L/H與ru和ζ的關(guān)系如圖5所示。

圖4　ru和ζ對邊坡安全系數(shù)Fs的影響Fig.4 Effects of ru on safety factors Fs

由圖4和圖5可知，孔隙水壓力系數(shù)ru和地震作用比例系數(shù)ζ兩者對邊坡安全系數(shù)Fs和邊坡潛在的滑裂面都有一定的影響。隨著孔隙水壓力的增大，邊坡安全系數(shù)Fs是減小的，但減小的不明顯；但隨地震作用比例系數(shù)ζ代數(shù)值增大，邊坡安全系數(shù)Fs減小的較明顯，說明當(dāng)?shù)卣鹦?yīng)與土體作用方向由相反變?yōu)橄嗤瑫r，邊坡越容易破壞。隨著孔隙水壓力系數(shù)的增大，邊坡潛在滑裂面L/H逐漸減?。浑S著地震作用比例系數(shù)ζ的增大，滑裂面參數(shù)明顯減小，說明邊坡發(fā)生失穩(wěn)破壞的范圍顯著增加?？紫端畨毫ο禂?shù)對邊坡的安全性影響較小，但是一旦邊坡發(fā)生破壞，孔隙水壓力越大會使邊坡破壞的范圍更大。地震荷載對邊坡的穩(wěn)定性影響明顯，在邊坡的設(shè)計中不可忽略地震力的作用。

圖5　ru和ζ對滑裂面參數(shù)L/H的影響Fig.5 Effects of ru on parameter of latent sliding for different ζ surface(L/H) for different ζ

4結(jié)論

1)以上限定理和強(qiáng)度折減法為理論基礎(chǔ)，在考慮孔隙水壓力、地震荷載作用下的土坡穩(wěn)定性分析的極限分析方法。采用相應(yīng)優(yōu)化工具，編寫相應(yīng)的程序?qū)Φ玫降哪繕?biāo)函數(shù)進(jìn)行最小值的優(yōu)化計算，將所得結(jié)果與已有的算例作了對比，驗(yàn)證了本文方法和程序設(shè)計的正確性。

2)孔隙水壓力和地震效應(yīng)各種參數(shù)的取值對邊坡安全系數(shù)和潛在滑裂面的影響明顯。隨著孔隙水壓力系數(shù)、地震效應(yīng)影響系數(shù)的增大，邊坡穩(wěn)定性明顯下降?？紫端畨毫ο禂?shù)對邊坡的安全性影響較小，但是一旦邊坡發(fā)生破壞，孔隙水壓力會使邊坡破壞的范圍更大。地震荷載對邊坡的穩(wěn)定性影響明顯，在邊坡的設(shè)計中不可忽略地震力的作用。

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(編輯蔣學(xué)東)

Upper bound analysis of slopes under effect of pore-water and earthquake

DU Dianchun1, TANG Chengtie2

(1.School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;

2.Hunan Proince of LOU-HENG Expressway Constrution and Development Co.Ltd, Hengyang 421000, China)

Abstract：Based on the upper bound theory of limit analysis and strength reduction technique, the effects of pore-water and seismic forces on soil slopes were investigated.The failure surface was rotational and expressions are derived to calculate the safety of slope subjected to pore-water and earthquake loading.The upper bound solutions of those expressions are presented by applying iterative optimization method.Compared with the solutions from other analysis, it can be seen that the solutions presented here are effective.Parametric analysis shows that the safety factor of slopes decreases significantly with the increasing of pore-water and seismic forces.

Key words：slopes; pore-water; seismic effects; stability; upper analysis

通訊作者：杜佃春(1989-)，男，山東莒縣人，博士研究生，從事土木工程研究；E-mail：dudianchun@csu.edu.cn

基金項(xiàng)目：湖南省高速公路資助項(xiàng)目(2548)

收稿日期：2015-03-27

中圖分類號：TU433

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-7029(2015)06-1348-05