趙緒昌

葉圣陶先生說：“教師之教，不在于全盤講授，而在于相機引導. ”在以學生發(fā)展為本的課堂里，特別強調尊重學生的主體地位和獨立思考，因而對教師的引導提出了更高的要求. 引導，《現(xiàn)代漢語詞典》中與教學語境更為貼切的解釋是“指引；誘導”. “引”的含義是指引，指引須是有目標、有方向的，但指引可能只是提醒或提示；“導”的含義是誘導，使用一定的教學方法或手段深化學生的數學理解，激發(fā)學生的數學思考. 教學中的“引導”，其本意是“以明確的教學目標為指引，通過有效的教學方法或手段深化理解，激發(fā)思考”. 在數學教學過程中，教師應做到導之有趣，導之有時，導之有法，導之有度，促進學生思維參與，提高課堂教學效益. 下面舉例說明.

一、導之有趣 使學生想學

“導之有趣”是指在數學課堂教學中要構建有趣的課堂. 心理學研究表明：有趣的課堂，往往會給學生帶來新異、親切的感受，不僅能使學生迅速地從抑制到興奮，而且還會使學生把學習當作一種自我需要，自然地進入學習新知的情境. 引導關鍵在于激活學生的“動情點”，將學生置于“心求通而未達，口欲言而不能”的心理狀態(tài). 教學過程中教師可借助游戲、猜謎、講故事、設置懸念等形式引導激發(fā)學生的學習興趣，變學生的“要我學”為“我要學”.

案例1 “弧度制”的教學片段

鈴聲一響，全班學生和聽課的教師正襟而坐，靜靜等待任課教師開始上課. 這時，只見教室門被推開，上課教師手拿一面折扇，不慌不忙地走上講臺，悠然而立，“唰”的一聲打開折扇慢悠悠地搖動起來. 學生及聽課教師如墜霧里，滿眼詫異：此時天氣正冷，教師這是唱的哪一出戲呢？

正在大家莫名其妙之時，教師將扇子一舉說：“同學們，請看這是什么圖形??？”學生大聲回答：“扇形！”教師又問：“你會做扇形嗎？”學生：“將圓剪出一部分. ”教師又問：“如果要使做出的折扇更好看，應該怎么剪呢？”學生紛紛議論，有的迫不及待地開始動手實驗，有的卻無從下手. 此時教師又說話了：“誰做的扇形好看，我們便把它叫作黃金扇！”聽到此話，有的學生頓時驚醒：“黃金分割率. ”教師會心一笑：“對，只要讓你剪出的扇形面積和剩余部分的面積比值符合黃金比例即可，那么怎么求出扇形的面積，以及剪出扇形的圓心角應該是多少呢？學完本節(jié)課，希望同學們能夠輕松地完成該任務. ”

至此，聽課教師才恍然大悟，原來如此！而學生的學習興趣也被充分調動起來了，然后便開始了“弧度制”的學習. 因為學習氣氛熱烈，效率大大提高，學生很輕松地掌握了弧度制的概念、弧長和扇形的面積公式. 離下課還有五分鐘時，教師又提出了新授課前的問題：“哪位同學能給出黃金扇形的圓心角的求法，請上講臺來展示一下. ”話音未落，一名學生便走上講臺開始講解：如圖1，假如設計紙扇的圓心角為θ，則剩余部分的圓心角為2π-θ. 而折扇面積S1與剩余面積S2的比值為黃金比例值0.618.

由扇形面積公式可得==0.618，則θ=0. 618（2π-θ），所以θ≈0.764π≈140°.

即只要紙扇的圓心角大約為140°時，該紙扇符合黃金比例，所以最好看.

【教學隨想】 本節(jié)課教師以滿腔的熱忱感染著學生，以高超的教學藝術引領著學生，其獨特的教學風格和爐火純青的教學藝術在本節(jié)課上得到了充分的體現(xiàn)，課堂設計情境前后照應，整堂課精彩紛呈，讓人精神愉悅、回味無窮，學生分析思路清晰，公式應用準確. 這真是：一把折扇貫始終，角度弧度在其中. 奇思妙想巧點撥，學以致用標達成. 這樣，通過創(chuàng)設情境，學生的興趣被調動了，學生的思維也逐步推向深入.

二、導之有時 使學生能學

“不憤不啟，不悱不發(fā)”是說教師要在學生思而未得感到苦惱時幫助開啟；要在學生思而有所得，但卻不能準確表達時予以疏導. 課堂教學中的引導要講究靈活，教師要善于創(chuàng)設“憤、悱”的情境，要及時抓住新舊知識的連接點的信息作為引導的“話題”，于思維阻礙時啟發(fā)提升、于思維定式時啟發(fā)創(chuàng)新、于偏離目標時引導撥正、于動態(tài)生成時因勢利導、于方法多樣時溝通優(yōu)化、于知識整合時引導溝通、于融會貫通時溝通拓展，靈活地組織教學，使學生的數學學習活動真正是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程.

案例2 “拋物線及其標準方程”中的概念教學片段

舊教材在橢圓與雙曲線中要學習第二定義，我們知道：按第二定義，當01時，軌跡是雙曲線；那么e=1時，軌跡又是什么呢？所以拋物線概念的引出不必花太多工夫，可以開門見山地直奔主題. 但是新教材刪除了第二定義，所以引出拋物線的概念就變得相當困難，有的教師把握不準《課程標準》和《學科指導意見》，就或多或少地增加了第二定義的內容，拋物線的教學仍然與舊教材的教法一樣；有的教師為了能夠上好拋物線，也增加了第二定義的教學. 這種做法“方便”了教學，卻加重了學生的負擔. 那么到底應該怎樣進行教學呢？因為學生已經具備橢圓、雙曲線和初中層面拋物線的知識，我們應從學生已有的知識引導出新概念.

問題1：若點P（x，y）滿足+=6，則點P的軌跡是 .

生1利用平方化簡，但沒有做出來.

師：該同學利用平方化簡，肯定可以得到答案，只是還需要一些時間，相信他一定能成功！

生2：上面式子表示兩點距離之和，根據橢圓定義可知，P點軌跡是橢圓.

眾生：是的.

問題2：若點P（x，y）滿足-=6，則P點的軌跡是 .

眾生：雙曲線.

師：是雙曲線嗎？

生3：應該是雙曲線的上半支.

由于問題1的解決對問題2有著提示和啟發(fā)作用，所以問題2幾乎所有學生都不再化簡了，自然地聯(lián)想到利用定義的解法，于是教師順勢拋出問題3.

問題3：若點P（x，y）滿足-|y+2|=0，則P點的軌跡是 .

眾生：從條件的含義看，似乎不是橢圓，也不像雙曲線，不太清楚.

師：到底軌跡是什么？生1解問題1的方法會給我們很好的啟示.

生：因為它的方程是y=，它是我們初中已經學過的拋物線.

師：若把條件中的“2”改為其他數字（非零），結果如何？

眾生：軌跡仍然是拋物線，只是方程中的數字不同而已.

師：那么條件所表示的幾何意義又是什么呢？

生4：原方程即=|y+2|，左端表示點P（x，y）到點（0，2）的距離，右端肯定不是兩點的距離，但它是點P（x，y）到直線y=-2的距離，等式表示兩個距離相等.

師：從問題3的分析中我們可以看出，滿足這種條件的軌跡都是拋物線. 于是我們拋棄這些具體的位置和數據外殼，得出拋物線的定義. 哪位同學能根據上面的等式，說出拋物線的定義？

生5：到定點的距離和到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線.

師：不太準確，應該添上“平面內”三個 字，完整的定義請同學們看課本. 我們再用動畫來演示一下這個定義下的軌跡.

【教學隨想】 案例中，教師從學生已有知識出發(fā)，由易到難設計了三個問題，讓學生在問題解決的過程中對比發(fā)現(xiàn)，逆推出拋物線的定義，再結合多媒體動畫的演示，給學生留下了深刻的印象. 事實上，在探討中也讓學生領悟了一些解析幾何的思想方法，如根據定義判斷軌跡、運算化簡求軌跡等. 可見，正是這匠心獨運的引導，有效激活了學生的思維，成就了一段師生、生生之間的思維對話.

三、導之有法 使學生會學

“導之有法”是指教師的引導要有方法，通過有效引導使學生獲得成功. 心理學家認為：成功感是學生完成某項學習任務后產生的自我滿足和積極而愉快的情緒狀態(tài). 這種成功的喜悅轉化為進一步學習的強大動力，再次激發(fā)學生的求知欲. “沒有動力不能學，沒有方法不會學”. 于教學重點、教學難點、提升能力等處引導學生充分展示學習的潛在能力，讓每個學生享受“成功之樂”，使學生會學.

案例3 “等比數列的前n項和”的教學片段

求等比數列{an}的前n項和.

Sn=a1+a2+…+an（1）時，設公比為q，由通項公式，得Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.（2）

待學生閱讀課本后.

師：課本上是如何求前n項和公式的？同學們概括一下.

生1：用 q乘（2）式兩邊，與（2）式有很多相同項的等式qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. （3）

（2）（3）兩式相減就可得到前n項和公式.

師：噢！用q乘（2）式后兩邊產生了與（2）式有很多相同項的（3）式，為何要兩式相減？

生2：因為兩式相減可把相同的項消去，達到化簡的目的.

師：共有多少對相同的項？

生3：噢——共有n-1對.

觀察式（1）（5），都含有n-1對相同的項，因此，可用減法消元：（1）-（5）得（1-q）Sn=a1-anq，即 Sn=（q≠1），得到（4）式.

師：用減法進行消元時，你們看看有什么特點，怎樣來概括這種方法？

生7：相同的項在兩個式子中的排列是錯位的，消元做減法，故稱為“錯位相減法”.

師：好的. “錯位相減法”不僅能求等比數列的前項和，而且，它的思想方法還可以解決其他的問題，請同學們回想一下，等差數列的通項公式是如何推導出來的？

生8：是通過觀察、概括的方法得到的，還沒有證明.

師：是的，還需要待以后用數學歸納法來嚴格證明，那么，我們設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，同學們試一試，可不可以用“錯位相減法”求an？

師：太漂亮了，大家給點掌聲！我們用“錯位相減法”把懸而未證的等差數列的通項公式給出了證明，使我們應用公式更加踏實！

【教學隨想】 “等比數列的前n項和”的教學，一般來說，教師按照課本的方式，照本宣科，給出推導，至于為什么這樣推導，它的目的是什么，還有沒有其他方式推導，這些推導方式的本質是什么部分教師沒有思考，更沒有引導學生去思考、討論、解答，致使學生對“等比數列的前n項和”記住公式直接應用，知其然而不知其所以然. 案例中，教師從教材中“求等比數列的前n項和”的方法出發(fā)，引導學生探索了“求等比數列的前n項和”的加減消元法和代入消元法，分析兩種方法的實質是“錯位相減法”，很自然地用“錯位相減法”證明了等差數列的通項公式. 這樣變換思維角度，打開思維通道，滲透數學思想和方法，既使學生享受了學習的快樂，又使學生掌握了學習方法，可謂一舉兩得！

四、導之有度 使學生多學

“導之有度”是指教師要把握“導”的程度，凡是學生自己能夠解決的問題，教師決不替代，學生自己能夠思考的問題，教師決不暗示，這就需要教師就“該追問則追問，該啟發(fā)則啟發(fā)”的引導藝術進行深入的研究. 課堂教學中教師掌握了引導的“度”，就能讓學生有更多的“自主探索”時間，從而使學生多學.

案例4 設點O是△ABC內部一點，且滿足+2+=0，則△AOB與△AOC的面積之比為 . （答案：1∶2）

批閱作業(yè)時，教師發(fā)現(xiàn)該題的出錯率極高，于是在隨后的課上對該題做了詳細的講解. 講解完之后，照慣例給了學生幾分鐘自由討論和訂正整理時間. 一個學生提出的疑問吸引了所有人的注意.

生1：本題的面積之比和條件“+2+=0”中“”，“”的系數之比相同，這是巧合，還是必然？

教師一時不知如何回答，便靈機一動，對該題的條件稍做變化，給出了如下變式.

變式：已知點O在△ABC的內部，且有+3+=0，則△AOB與△AOC的面積之比為 .

師：到底是巧合，還是必然？請同學們完成變式題后自己去判斷.

很快，學生得出答案是1∶3，這和題目條件中“”，“”的系數之比也完全相同. 規(guī)律再次出現(xiàn)，課堂氣氛悄然升溫，幾乎所有學生都覺得這其中一定存在相應的結論. 憑直覺，教師也覺得這絕不會是一個巧合，其背后一定隱藏著必然的規(guī)律. 可以肯定地說，學生的疑問正是一個難能可貴的生成性資源.

師：看來我們今天會有意外的收獲了，請同學們發(fā)揮想象，對結論進行合理猜想.

教師引導學生對猜想5進行證明是正確的.

【教學隨想】 案例中，教師沒有對數學問題淺嘗輒止，而是通過適時適度引導，從最初學生的質疑，到三個猜想的得出和證明，再到“點O是△ABC外部一點”，最后拓展到更為一般的結論，不僅學生的探究能力得到了提高，而且同時學習了猜想與歸納、推廣與拓展的方法，幫助學生形成了“功能良好的數學認知結構”，使學生達到“解一題，會一類”的目的，避免了數學教學中的“題海”戰(zhàn)術，真正達到了“減負增效”的效果.

總之，在新課程理念下的數學課堂教學既要注重學生的自主探索，又要重視教師的有效引導，當學生的自主探索有障礙時，教師就應發(fā)揮主導的作用，通過有效引導，降低教學難點，節(jié)約教學時間，提高教學效益，鞏固教學成果. 數學課堂教學應該追求自主探索與有效引導的和諧統(tǒng)一.