楊昌民 崔 兵 張忠強(qiáng)

（河北大學(xué) 建筑工程學(xué)院，河北 保定071000）

1 引言

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，工程建設(shè)的進(jìn)程也日益加快。對(duì)工程建筑物的規(guī)模、難度等提出了更高的要求。大型建筑物或構(gòu)造物的安危直接關(guān)系到我國(guó)經(jīng)濟(jì)的生產(chǎn)進(jìn)程。以及由于我國(guó)早期建筑工程質(zhì)量參差不齊，為了避免造成重大安全事故，對(duì)于大型建筑物或構(gòu)筑物及早期的一些建筑物進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)并對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理就顯得尤為重要?？柭鼮V波是當(dāng)前應(yīng)用較廣的一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法，它具有最小方差無(wú)偏性，在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)不需要儲(chǔ)存大量的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。它通過(guò)建立狀態(tài)方程和觀測(cè)方程來(lái)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，依據(jù)濾波增益矩陣的變化，從監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中定量識(shí)別和提取有效信息，修正狀態(tài)參量，無(wú)需存儲(chǔ)各個(gè)不同時(shí)時(shí)刻的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，便于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理。本文結(jié)合某磚混結(jié)構(gòu)建筑物的監(jiān)測(cè)資料，研究了建筑物變形的卡爾曼濾波模型，利用方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波處理監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，在建筑物的變形工作性態(tài)分析的應(yīng)用中取得了較好的效果。

2 自適應(yīng)卡爾曼濾波模型

卡爾曼濾波可以實(shí)現(xiàn)對(duì)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)處理，但是它對(duì)數(shù)學(xué)模型和噪聲的先驗(yàn)知識(shí)有很強(qiáng)的依賴性，但在許多條件下，它們是未知的或近似已知的，或只是部分已知的。使用不準(zhǔn)確的模型和噪聲統(tǒng)計(jì)特性設(shè)計(jì)卡爾曼濾波模型就會(huì)增加狀態(tài)估計(jì)的誤差，嚴(yán)重的可能引起濾波發(fā)散。為了克服這一缺點(diǎn)，學(xué)者們提出了自適應(yīng)卡爾曼濾波。

自適應(yīng)卡爾曼濾波有基于多模型方法的自適應(yīng)卡爾曼濾波、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)卡爾曼濾波、基于模糊邏輯的自適應(yīng)卡爾曼濾波等。本文采用方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波，它是利用預(yù)測(cè)殘差對(duì)動(dòng)態(tài)噪聲的協(xié)方差向量進(jìn)行修正，能計(jì)算出更接近實(shí)際的狀態(tài)向量。它的公式推導(dǎo)過(guò)程如下：

當(dāng)不考慮具有確定性輸入時(shí)，離散線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波模型的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為：

上式中，k=1，2，3，… ；Xk為tk時(shí)刻的狀態(tài)向量；Φk，k-1為第k-1期到第k期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Ωk-1為第k-1期動(dòng)態(tài)噪聲向量；Γk-1為第k-1期動(dòng)態(tài)噪聲的系數(shù)矩陣；Lk為第k期觀測(cè)向量；Bk為第k期觀測(cè)向量的系數(shù)矩陣；Δk為第k期觀測(cè)噪聲向量。

｛Ωk｝和 ｛Δk｝ 為互不相關(guān)的零均值白噪聲序列，即

其中，DΩk為動(dòng)態(tài)噪聲方差，DΔk為觀測(cè)噪聲方差，δkj為Kronec ker-δ函數(shù)。

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波的狀態(tài)一步預(yù)測(cè)方程為

預(yù)報(bào)誤差協(xié)方差陣為

狀態(tài)濾波方程為

濾波誤差協(xié)方差陣為

并不是每次都要把照片拍得絕對(duì)清晰銳利，選擇更慢的快門速度、在曝光過(guò)程中平移相機(jī)或變焦，可以讓世界呈現(xiàn)出不同的效果。

假定 ｛Ωk｝和 ｛Δk｝ 為正態(tài)序列，X 0為正態(tài)向量。定義i步預(yù)測(cè)殘差為

則Vk+i的方差陣

式中：r=1，2，…，N；k=1，2，…，n；上標(biāo)k+i，r表示與k+i，r有關(guān)。假定DΩr-1Ωr-1在觀測(cè)時(shí)間段tk+1，tk+2，…，tk+N上為常值對(duì)角陣，并記diag DΩΩ= （）T.

其中：ηk+i為零均值隨機(jī)變量，i=1，…，N。令

（12） 式是關(guān)于diag DΩΩ的線性方程組。當(dāng)N≥r時(shí)，有唯一解。記diag DΩΩ的LS估計(jì)為

3 濾波初值的確定

對(duì)于一個(gè)實(shí)際工程問(wèn)題而言，濾波前系統(tǒng)的初始值是不能夠精確得到的，一般只能給出一個(gè)近似值。而實(shí)際工程中要求結(jié)構(gòu)的變形都是微小變形，如果給定的初始值誤差較大，那么得到的濾波值也會(huì)有較大的誤差，會(huì)較大程度影響濾波結(jié)果及預(yù)測(cè)值，因此合理的確定濾波模型的初始值是十分重要的。

對(duì)于變形監(jiān)測(cè)的初值問(wèn)題，可通過(guò)以下方法確定：

因?yàn)榇俗冃误w動(dòng)態(tài)系統(tǒng)維數(shù)為2，觀測(cè)系統(tǒng)維數(shù)為1，故將觀測(cè)點(diǎn)的位置X和變化速率X·作為狀態(tài)參數(shù)。其初始狀態(tài)向量和方差陣可通過(guò)監(jiān)測(cè)的前兩期觀測(cè)成果來(lái)確定?？砂亚皟善诘挠^測(cè)點(diǎn)均值X作為初始位置參數(shù)X 0，其相應(yīng)的方差陣為初始位置方差陣。取前兩期的平均變形速率Δt-1（ X 2 -X1） 為初始變形速率參數(shù)。其他噪聲的方差陣DX 0根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給定，一般由初始協(xié)方差陣DΔ0根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給出DΩ0，觀測(cè)噪聲方差陣和系統(tǒng)噪聲通常為單位矩陣。這種方法適用于變形監(jiān)測(cè)觀測(cè)時(shí)間間隔比較段，連續(xù)性的自動(dòng)化監(jiān)測(cè)系統(tǒng)。

4 應(yīng)用實(shí)例及結(jié)果分析

以河北大學(xué)某5層磚混結(jié)構(gòu)建筑物為研究對(duì)象，通過(guò)在建筑物西北角一層的關(guān)鍵墻體部位上布置光纖位移計(jì)，來(lái)對(duì)該樓的使用現(xiàn)狀進(jìn)行分析。

此次位移監(jiān)測(cè)采用光纖光柵多（單）點(diǎn)位移計(jì)，傳感器類型：光纖光柵式，型號(hào)：BSILGS600，標(biāo)準(zhǔn)量程：25-100mm，精度：0.3%FS，靈敏度：0.1%FS，工作溫度：-30～80℃，鉆孔尺寸：≥75mm（單點(diǎn)／50mm）。

4.1 濾波初值的選取

根據(jù)建筑變形觀測(cè)等級(jí)要求，三等變形觀測(cè)（二等水準(zhǔn)）的動(dòng)態(tài)噪聲方差陣DΩk=2，觀測(cè)噪聲的方差陣DΔk=0.5，觀測(cè)值時(shí)間間隔取其初值Δt=1。然后以裂縫變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位置及裂縫變形速率為狀態(tài)參數(shù)，根據(jù)前兩期觀測(cè)數(shù)據(jù)確定初始值：X 0= ［0.4687，0.00215］T。

4.2 結(jié)果分析

通過(guò)MATLAB軟件平臺(tái)實(shí)現(xiàn)方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波的程序，用其前15期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，后5期作為預(yù)測(cè)值，得到實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的濾波值及預(yù)測(cè)值如下表所示。

表1 kalman濾波模型建模結(jié)果

表2 Kalman濾波預(yù)測(cè)值

通過(guò)表1和圖1可以看出，對(duì)原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立自適應(yīng)卡爾曼濾波模型，得到的濾波值與原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)曲線的變化趨勢(shì)非常接近，說(shuō)明方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波模型能夠較好的模擬狀態(tài)向量的變化規(guī)律。由于通過(guò)濾波可以得到監(jiān)測(cè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并能對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)未來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，表2中給出了Kalman濾波的預(yù)測(cè)值，圖2是隨后5期的預(yù)測(cè)值與原始監(jiān)測(cè)值的對(duì)比曲線，從圖2可以看出，預(yù)測(cè)值與原始監(jiān)測(cè)值曲線走勢(shì)基本一致。由表1和表2還可以看出，殘差的最大值0.0160mm，最小值為0.00027mm。而且殘差有正有負(fù)，表現(xiàn)出很強(qiáng)的隨機(jī)性。

5 結(jié)論

通過(guò)方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波在建筑物變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用進(jìn)行分析，得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）自適應(yīng)卡爾曼濾波是一組遞推計(jì)算公式，濾波模型通過(guò)不斷的預(yù)測(cè)修正，根據(jù)新的觀測(cè)數(shù)據(jù)隨時(shí)更新濾波值，有利于實(shí)時(shí)處理觀測(cè)數(shù)據(jù)，把參數(shù)估計(jì)與預(yù)報(bào)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，因此，離散性卡爾曼濾波特別適合變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理分析。

（2）自適應(yīng)卡爾曼濾波值與原始觀測(cè)值曲線走勢(shì)基本一致，誤差滿足建筑變形觀測(cè)等級(jí)要求，說(shuō)明Kalman濾波動(dòng)態(tài)模型能夠較好的模擬狀態(tài)向量的變化規(guī)律。

（3）運(yùn)用卡爾曼濾波進(jìn)行預(yù)測(cè)，也有較好的效果，但是一定時(shí)候與實(shí)際監(jiān)測(cè)值有一定的區(qū)別，因?yàn)槌跏贾档倪x取對(duì)其影響較大，以及觀測(cè)期數(shù)較少，對(duì)于預(yù)測(cè)也有一定影響。如果能準(zhǔn)確的選取初始值，Kalman濾波在預(yù)測(cè)建筑物變形方面也是有不錯(cuò)效果的。