薛建陽，董金爽，尚 鵬

（西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院， 陜西 西安 710055）

斷裂力學(xué)中將裂紋分為I型、II型和III型三類，又稱為張開型(拉伸型)、滑開型(剪切型)和撕開型．當(dāng)裂紋尖端的極坐標(biāo)系中極半徑r趨于零應(yīng)力場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)和位移場(chǎng)都稱為近場(chǎng)，即裂紋尖端附近[1]．裂紋尖端附近存在應(yīng)力集中，通常根據(jù)Saint-Venant原理采用局部解對(duì)裂紋問題進(jìn)行分析，即用近似解代替精確解，這種情況下得到的近似解存在一定的局限性．目前，在確定裂紋尖端附近相關(guān)物理量時(shí)，如應(yīng)力強(qiáng)度因子，?；贗rwin理論進(jìn)行計(jì)算．董國興[2]分析了 Irwin公式成立條件，得出僅當(dāng)r≤a(a為裂紋長(zhǎng)度)時(shí)，用近似解代替精確解才能滿足精度要求．但實(shí)際情況是對(duì)離裂紋尖端具有一定距離的點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量或試驗(yàn)時(shí)，一般較難滿足r≤a，若用所得結(jié)果確定裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，或只有在滿足r≤a才能得到準(zhǔn)確值的物理量時(shí)，則會(huì)引起較大誤差，甚至產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果[3]．因此確定近似解的工程適用范圍及裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的精確解是十分必要．

胡衛(wèi)華[4]根據(jù) Muskhelishvili應(yīng)力函數(shù)法推導(dǎo)出了I型裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)的精確解，并與近似解進(jìn)行了誤差分析．王燮山[5]利用正交曲線坐標(biāo)和ΓοЛοсοв復(fù)勢(shì)函數(shù)推導(dǎo)出了無限大平板I型、II型裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)及位移場(chǎng)的精確解，提出了適用于求解場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)位移和應(yīng)力的公式．楊槐堂[3]采用Westergaard函數(shù)法推導(dǎo)出了沿著θ=0°及θ=π/2方向上無限大平板在裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的特殊解，同時(shí)克服了r≤a限制條件．

通過分析發(fā)現(xiàn)，有關(guān)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)精確解分析的研究還較缺乏．因此，本文采用Westergaard函數(shù)法基本原理對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)精確解進(jìn)行研究，推導(dǎo)出其在任意角度方向上的數(shù)學(xué)表達(dá)式，該方法即能克服r≤a限制條件擴(kuò)大其適用范圍的同時(shí)還能提高計(jì)算精度，最后取θ=π/6作為算例加以說明．

1 基本理論

斷裂力學(xué)中，Irwin應(yīng)用Westergaard函數(shù)的方法分析了裂紋問題，從而將含裂紋的線彈性體的線彈性力學(xué)歸結(jié)為彈性力學(xué)平面問題進(jìn)行分析，實(shí)際上是尋找一個(gè)滿足邊界條件及雙調(diào)和方程的應(yīng)力函數(shù)，該應(yīng)力函數(shù)實(shí)際上是復(fù)變應(yīng)力函數(shù)．具有穿透裂紋作用有無限遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)力的無限大平板，其復(fù)變應(yīng)力函數(shù)Z的具體表達(dá)形式如式(1)示[6]：

線彈性斷裂力學(xué)中平面裂紋，當(dāng)受到 I型、II型和 III型任一種或兩種以上荷載作用，裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)表達(dá)式如式(2)、式(3)所示[6]：

圖1 裂紋的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)及變換Fig.1 Coordinates and transformation of the crack

其中：z=x+iy，如圖1所示．

式中：E′，μ′分別為材料的彈性模量和泊松比．

裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為 I型裂紋應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)：

II型裂紋應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)：

III型裂紋應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)：

式中：E′，μ′分別為材料的彈性模量和泊松比．

2 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)位移場(chǎng)精確解推導(dǎo)

根據(jù)斷裂力學(xué)，三種類型裂紋的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)僅與復(fù)變應(yīng)力函數(shù) Z本身及其導(dǎo)數(shù)和積分有關(guān)．將坐標(biāo)原點(diǎn)由裂紋中心平移至裂紋右尖端處，采用新坐標(biāo)系xo′y′，新坐標(biāo)ξ，如圖1所示．

由式(1)知，三種類型裂紋復(fù)變應(yīng)力函數(shù)Z具有相同表述形式，僅應(yīng)力σ，τ，τ′的差異，因此以 I型裂紋為例計(jì)算Z的導(dǎo)數(shù)和積分表達(dá)式．

對(duì)復(fù)變應(yīng)力函數(shù)Z求導(dǎo)和求積分可得：

將式(11)進(jìn)行變換可得：

將式(13)代入到式(1)可得：

根據(jù)歐拉公式對(duì)式(11)變換得

將式(15)代入式(14)，經(jīng)計(jì)算得：

將式(16)-(18)分別代入式(5)-(10)便可得 3種類型裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的精確解表達(dá)式．

本文所推導(dǎo)公式適用于裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)沿任意角度方向精確解．文中將以θ=π/6為例，對(duì)I型、II型、III型三種不同形式裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)精確解進(jìn)行計(jì)算分析．對(duì)于裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)沿θ=0°與θ=90°方向的精確解按照本文中所推導(dǎo)公式計(jì)算，可得出與文獻(xiàn)[3]一致的結(jié)果，限于篇幅，在此不再贅述．

3 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)精確解算例分析(θ=π/6)

將θ=π/6代入到式(16)-(18)，分別得數(shù)學(xué)表達(dá)式．

將θ=π/6代入式(2)得裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)近似解．對(duì)含有中心裂紋無限大平板的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式為將式(19)-(21)分別代入式(5)、式(7)、式(9)得 I型、II型、III型裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的精確解．

當(dāng)θ=π/6 時(shí)，y=rsinθ=r/2．

3.1 I型裂紋

定義修正系數(shù)為裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)(位移場(chǎng))精確解與近似解的比值．

I型裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)修正系數(shù)，如式(22)．

對(duì)式(22)取不同η值，其數(shù)值結(jié)果如圖2所示．

圖2 I型裂紋應(yīng)力場(chǎng)修正系數(shù)Fig.2 Revision factors of the stress field for I-type crack

當(dāng)η=r/a≤0.8時(shí)，系數(shù)擬合公式如式(23)所示：

3.2 II型裂紋

II型裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)修正系數(shù)，如式(24)．

對(duì)式(24)取不同η值，其數(shù)值結(jié)果如圖3所示．

圖3 II型裂紋應(yīng)力場(chǎng)修正系數(shù)Fig.3 Revision factors of the stress field for II-type crack

當(dāng)η=r/a≤0.8時(shí)，系數(shù)擬合公式如式(25)所示：

3.3 III型裂紋

III型裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)修正系數(shù)，如式(26)．

對(duì)式(26)取不同η值，其數(shù)值結(jié)果如圖4所示．

從圖2、圖3、圖4可知：

（1）隨著離裂紋尖端距離的不斷增加，裂紋尖

圖4 III型裂紋應(yīng)力場(chǎng)修正系數(shù)Fig.4 Revision factors of the stress field for III-type crack

當(dāng)η=r/a≤0.8時(shí)，系數(shù)擬合公式如式(27)所示：

端應(yīng)力近似解不斷遠(yuǎn)離精確解，尤其是當(dāng)η=r/a≤0.6時(shí)，兩者最大可相差2.22倍．因此用距裂紋一定距離的應(yīng)力近似解去確定材料的應(yīng)力強(qiáng)度因子及其他相關(guān)物理量，則會(huì)引起較大的誤差；

（2）當(dāng)η=r/a≤1.0時(shí)，裂紋尖端附近的近似解與精確解相差較小，此時(shí)可以用近似解代替精確解，才不會(huì)引起較大誤差；

（3）可以通過計(jì)算近似解與對(duì)近似解的修正系數(shù)δ，從而不需要繁瑣的計(jì)算就可以確定距離裂紋尖端一定距離處的精確應(yīng)力場(chǎng)．

4 裂紋尖端位移場(chǎng)算例分析(θ=π/6)

將θ=π/6代入式(3)，得到裂紋尖端位移場(chǎng)的近似解．將式(16)-(18)分別代入式(6)、式(8)、式(10)得到I型、II型、III型裂紋尖端位移場(chǎng)的精確值．

當(dāng)θ=π/6 時(shí)，y=rsinθ=r/2．

4.1 I型裂紋

I型裂紋尖端附近位移場(chǎng)修正系數(shù)，如式(28)．

將式(4)代入式(28)得平面應(yīng)變狀態(tài)修正系數(shù)．

當(dāng)η=r/a≤0.8時(shí)，系數(shù)擬合公式具體表達(dá)式如式(29)示：

4.2 II型裂紋

II型裂紋尖端附近位移場(chǎng)修正系數(shù)，如式(31)．

將式(4)代入式(31)可得平面應(yīng)變狀態(tài)下的修正系數(shù)．

當(dāng)η=r/a≤0.8時(shí)，在平面應(yīng)力和平面應(yīng)變兩種狀態(tài)下曲線幾乎重合，因此擬合公式可以采用相同的表達(dá)形式，如式(32)所示．

4.3 III型裂紋

III型裂紋尖端附近位移場(chǎng)修正系數(shù)，如式(33)．

當(dāng)η=r/a≤0.8時(shí)，可用式(34)擬合．

三種類型裂紋位移場(chǎng)近似解修正系數(shù)見表1．

表1 θ=π/6時(shí)三種不同裂紋尖端附近位移場(chǎng)修正系數(shù)Tab.1 Revision factors of tip displacement field for three different cracks as θ=π/6

從表1可知：

（1）裂紋尖端附近位移場(chǎng)的近似解與精確解隨著遠(yuǎn)離裂紋尖端的距離而不斷遠(yuǎn)離，尤其是η=r/a≤0.5時(shí)，兩者最大相差1.42倍．因此用距裂紋一定距離的位移近似解去確定相關(guān)物理量，會(huì)引起較大誤差；

（2）由表1知，裂紋尖端位移場(chǎng)精確解可用近似解代替的條件是η=r/a≤0.2時(shí)；裂紋尖端附近的位移解與精確解相差較小，此時(shí)可以用近似解代替精確解，才不會(huì)引起較大誤差．

5 結(jié)論

(1)文中基于 Westergaard函數(shù)法基本原理，推導(dǎo)出了裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)在任意角度上的精確解的表達(dá)式，該表達(dá)式不受限于r≤a；

(2)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)近似解與精確解只有在r≤0.1a時(shí)，二者才能認(rèn)為是等價(jià)的，否則會(huì)引起較大的誤差．可以通過文中所給裂紋應(yīng)力場(chǎng)修正系數(shù)的逼近公式對(duì)裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)近似解進(jìn)行修正，從而避免了繁瑣的計(jì)算，便可以得到滿足精度要求的精確解；

(3)應(yīng)用修正公式，克服了只有在r≤0.2a時(shí)裂紋尖端位移場(chǎng)近似解才可以代替精確解的缺陷．采用文中所給的對(duì)位移場(chǎng)修正逼近公式，將會(huì)使確定相關(guān)物理量時(shí)可靠度和精確度得到較大的提高．

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