尤翠蓮，王偉卿

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北保定　071002)

模糊微分的性質(zhì)

尤翠蓮，王偉卿

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北保定071002)

摘要：在求解由劉過(guò)程驅(qū)動(dòng)的模糊微分方程時(shí)，需要研究一類(lèi)新的模糊微分(劉微分)的性質(zhì). 給出了模糊微分的2個(gè)中值定理和4個(gè)模糊微分公式， 并且將這些結(jié)論推廣到復(fù)模糊微分的情形. 這些工作為模糊微分方程理論的完善和應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：模糊過(guò)程；模糊微分； 中值定理； 復(fù)模糊過(guò)程

DOI：10.3969/j.issn.1000-1565.2015.02.001

中圖分類(lèi)號(hào)：O159

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：志碼：A

文章編號(hào)：編號(hào)：1000-1565(2015)02-0113-05

Abstract:To solve fuzzy differential equation driven by Liu process， some properties of a new kind of fuzzy differential (Liu differential) are needed. Two mean value theorems of fuzzy differential and four fuzzy differential formulas are given in this paper. Furthermore， these conclusions are extended to the case of complex fuzzy process. The studies above lay a theoretical foundation for calculation and application of the fuzzy differential equation.

收稿日期:2014-10-08

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201110；61374184；11101115)； 河北省高等學(xué)校優(yōu)秀青年基金資助項(xiàng)目(Y2012021)

Properties of fuzzy differential

YOU Cuilian， WANG Weiqing

(College of Mathematics and Information Science， Hebei University， Baoding 071002， China)

Key words: fuzzy process； fuzzy differential； mean value theorem； complex fuzzy process

MSC 2010: 34A07

第一作者:尤翠蓮(1977-)，女，河北唐山人，河北大學(xué)副教授，博士，主要從事不確定理論與模糊微分方程的研究.

E-mail：yycclian@163.com

在實(shí)際生活中， 隨機(jī)事件通常用概率來(lái)描述.1965年Zadeh[1]給出了模糊事件的定義. 為了度量模糊事件， Zadeh[2]在1978年引入了可能性測(cè)度. 后來(lái)Nahmias[3]， Yanger[4]， De Cooman[5]， Dubois等[6]做了進(jìn)一步的研究. 然而可能性測(cè)度沒(méi)有自對(duì)偶性， 因此在2002年Liu 等[7]引入了可信性測(cè)度的概念， 并且Li等[8]給出了可信性測(cè)度的一個(gè)充分必要條件， Liu[9]提出了可信性理論.

為了處理動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象， 隨機(jī)過(guò)程已經(jīng)被廣泛應(yīng)用. 要處理動(dòng)態(tài)模糊現(xiàn)象， 同樣也需要相應(yīng)的計(jì)算，因此在2008年Liu[10]提出了模糊過(guò)程、微分公式和模糊積分， 之后被更名為劉過(guò)程、 劉公式和劉積分. 后來(lái)，You等[11]將劉過(guò)程、 劉公式和劉積分推廣到多維的情形. Qin[12]對(duì)復(fù)劉過(guò)程、復(fù)劉公式和復(fù)劉積分進(jìn)行了研究. 尤翠蓮等[13]研究了劉積分的性質(zhì)以及積分存在的條件.劉過(guò)程的更多內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)[14-19].

不管求解模糊微分方程， 還是用模糊微分方程解決實(shí)際問(wèn)題， 前提都是要研究模糊微分的性質(zhì). 本文旨在對(duì)模糊微分及復(fù)模糊微分的性質(zhì)進(jìn)行研究.

1預(yù)備知識(shí)

設(shè)Θ為一個(gè)非空集合，P為Θ的非空冪集，Cr為可信性測(cè)度，A為P中的事件，Cr{A}用來(lái)衡量事件A發(fā)生的可能性大小，為了保證Cr{A}的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可信性測(cè)度Cr需滿(mǎn)足如下條件：

1)(正則性)Cr{Θ}=1;

2)(單調(diào)性)當(dāng)A?B時(shí)，Cr{A}≤Cr{B}；

3)(自對(duì)偶性)當(dāng)A?P時(shí)，Cr{A}+Cr{Ac}=1；

4)(極大性)對(duì)于任意的Ai?P， 如果supiCr{Ai}<0.5， 那么Cr{∪iAi}=supiCr{Ai}.

Liu[9]稱(chēng)三元組(Θ，P，Cr)為可信性空間. 從可信性空間到實(shí)數(shù)集的函數(shù)就是模糊變量.

定義1[10]劉過(guò)程Ct是指滿(mǎn)足下面3個(gè)條件的模糊過(guò)程：

1)C0=0；

2)Ct具有獨(dú)立增、穩(wěn)態(tài)增性質(zhì)；

3) 對(duì)于固定的時(shí)刻t，每一個(gè)增量Cs+t-Cs是一個(gè)具有期望值et和方差σ2t2的正態(tài)模糊變量，其隸屬函數(shù)為

特別地，當(dāng)e=0，σ=1時(shí)，稱(chēng)這樣的劉過(guò)程為標(biāo)準(zhǔn)劉過(guò)程.

定理1(劉公式)[10]假設(shè)Xt是一個(gè)由dXt=utdt+vtdCt給出的模糊過(guò)程，Ct是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劉過(guò)程，其中ut，vt分別是絕對(duì)可積和劉可積的模糊過(guò)程，h(t,x)是一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)， 那么Yt=h(t,Xt)也是一個(gè)模糊過(guò)程， 并且

定義3[12]假設(shè)T是一個(gè)指標(biāo)集，則一個(gè)復(fù)模糊過(guò)程是一個(gè)從T×(Θ,P,Cr)到復(fù)數(shù)集的函數(shù).

定理2[12]一個(gè)模糊過(guò)程是復(fù)模糊過(guò)程的充分必要條件是存在2個(gè)實(shí)模糊過(guò)程X1t，X2t使得Xt=X1t+iX2t， 其中i是虛數(shù)單位.

定理3[11]設(shè)(C1t,C2t,…,Cmt)T是一個(gè)m維標(biāo)準(zhǔn)劉過(guò)程，h(t,x1,x2,…,xn)是一個(gè)多變量連續(xù)可微的函數(shù)，n維模糊過(guò)程(X1t,X2t,…,xnt)由

給出， 其中upt，vpqt分別是絕對(duì)可積和劉可積的模糊過(guò)程， 則模糊過(guò)程Yt=h(t,X1t,X2t,…,Xnt)的微分為

2模糊微分的性質(zhì)

Xt+Δt-Xt=uξΔt+vΔCt.

由黎曼積分的中值定理可知，存在時(shí)刻ξ(t<ξ

定理5(第2中值定理)設(shè)Ct是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的劉過(guò)程，h(t,x)是連續(xù)可微的函數(shù)，dXt=utdt+vtdCt，其中us和vs是絕對(duì)可積和劉可積的模糊過(guò)程，則Yt=h(t,Xt)也是一個(gè)模糊過(guò)程， 且

證明：由劉公式可知Yt=h(t,Xt)是一個(gè)模糊過(guò)程.所以根據(jù)微分中值定理可知，存在ξ，η，其中ξ=t0+θ1(t-t0)，η=Xt0+θ2(Xt-Xt0)，0<θ1，θ2<1使得

h(t0+Δt,Xt0+Δt)-h(t0,Xt0)=[h(t0+Δt,Xt0+Δt)-h(t0,Xt0+Δt)]+[h(t0,Xt0+Δt)-h(t0,Xt0)]=

定理6若X1t和X2t是模糊過(guò)程，則

1)d(X1t±X2t)=dX1t±dX2t.

證明：取定理3中n=2，h(t,x1,x2)=x1±x2,可得出結(jié)論.

2)d(X1tX2t)=X2tdX1t+X1tdX2t.

證明：取定理3中n=2，h(t,x1,x2)=x1x2,可得出結(jié)論.

3) 對(duì)任意常數(shù)c，d(cX1t)=cdX1t.

證明：由劉公式可得出結(jié)論.

3復(fù)模糊微分的性質(zhì)

Xt+Δt-Xt=uξΔt+vηΔCt+i(uαΔt+vβΔCt).

其中t<ξ,α,β,η

證明：由于h(t,x)是連續(xù)可微的復(fù)函數(shù)，因此Yt=h(t,Xt)是一個(gè)復(fù)模糊過(guò)程. 所以

h(t0+Δt,Xt0+Δt)-h(t0,Xt0)=[h(t0+Δt,Xt0+Δt)-h(t0,Xt0+Δt)]+[h(t0,Xt0+Δt)-h(t0,Xt0)]=

其中ξ=t0+θ1(t-t0)，η=Xt0+θ2(Xt-Xt0)，α=t0+θ3(t-t0)，β=Xt0+θ4(Xt-Xt0) ，0<θ1,θ2,θ3,θ4<1.

定理9若X1t，X2t，Y1t，Y2t是模糊過(guò)程，Xt=X1t+iX2t，Yt=Y1t+iY2t， 則

證明：由定理2和定理6可得出結(jié)論.

4結(jié)論

本文進(jìn)一步研究了模糊微分(劉微分)的性質(zhì)， 給出了模糊微分的2個(gè)中值定理，4個(gè)模糊微分公式， 以及2個(gè)復(fù)模糊中值定理和4個(gè)復(fù)模糊微分公式. 這些性質(zhì)可簡(jiǎn)化求解模糊微分方程的過(guò)程.

參考文獻(xiàn):

[1]ZADEH L A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility[J]. Fuzzy Sets and Systems， 1987， 1(1): 3-28.

[2]ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Information and Control， 1965， 8(3):338-353.

[3]NAHMIAS S. Fuzzy variables[J]. Fuzzy Sets and Systems， 1987， 1(2):97-110.

[4]YAGER R. A foundation for a theory of possibility[J]. Journal of Cybernetics， 1980， 10(1-3):177-204.

[5]COOMAN De G. Possibility theory I-III[J]. International Journal of General Systems， 1997， 25(4):291-371.

[6]DUBOIS D， PRADE H. Possibility theory: an approach to computerized processing of uncertainty[M]. New York：Plenum，1988.

[7]LIU Baoding， LIU Yankui. Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models[J]. IEEE Transaction on Fuzzy Systems， 2002， 10(4):445-450.

[8]LI Xiang， LIU Baoding. Chance measure for hybrid events with fuzziness and randomness[J]. Soft Computing， 2009， 13(2):105-115.

[9]LIU Baoding. Uncertainty theory: an introduction to its axiomatic foundations[M]. Berlin：Springer-verlag， 2004.

[10]LIU Baoding. Fuzzy process， hybrid process and uncertain process[J]. Journal of Uncertain Systems， 2008，2(1):3-16.

[11]YOU Cuilian，HUO Huae， WANG Weiqing. Multi-dimensional Liu process，differential and integral[J]. Journal of East Asian Mathematical， 2013，29(1):13-22.

[12]QIN Zhongfeng. On analytic function of complex Liu process.[EB/OL].(2008-04-12) [2013-10-02]. http://orsc.edu.cn/process/071026.pdf，2007.

[13]尤翠蓮， 王根森. 一類(lèi)新的模糊積分的性質(zhì)[J]. 河北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)出版社， 2011， 31(4):337-340.

YOU Cuilian， WANG Gensen.Properties of a new kind of fuzzy integral[J].Journal of Hebei University：Natural Science Edition， 2011， 31(4):337-340.

[14]ZHU Yuanguo. Fuzzy control theory[EB/OL]. ( 2008-07-05) [ 2013-10-02]. http://orsc.edu.cn/~yhzhu/fct.pdf.

[15]ZHU Yuanguo. Fuzzy optimal control with application to portfolio selection[EB/OL]. ( 2008-01-17) [2013-10-02]. http://orsc.edu.cn/process/080117.pdf.

[16]LIU Linzhong， LI Yinzhen. The fuzzy quadratic assignment problem with penality: new models and genetic algorithm[J]. Applied Mathematics and Computation， 2006， 174(2):1229-1224.

[17]LIU Yankui， LIU Baoding. Random fuzzy programming with chance measures defined by fuzzy integrals[J]. Mathematical and Computer Modelling， 2002，36(4-5):509-524.

[18]LIU Baoding， LIU Yankui. Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2002，10(4):445-450.

[19]QIN Zhongfeng， LI Xiang. Option pricing formula for fuzzy financial market[J]. Journal of Uncertain Systems， 2008， 2(1): 17-21.

(責(zé)任編輯：王蘭英)