羅建國(guó)

(陽(yáng)泉煤業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司 新景礦洗煤廠，山西 陽(yáng)泉 045000)

旋流器分離的理論學(xué)說(shuō)眾多，比較著名的有湍流兩相流理論、平衡軌道理論、停留時(shí)間理論、底流擁擠理論和隨機(jī)軌道理論等[1-2]，其中平衡軌道理論是目前發(fā)展最成熟、應(yīng)用最廣泛的理論。該理論最早由Driessen于1951年提出，后經(jīng)Criner、Kelsall、龐學(xué)詩(shī)、姚書(shū)典等國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的繼承和發(fā)展[1-4]，根據(jù)分離面位置和形狀選擇的不同，又衍生出許多重要分支，如最大切線(xiàn)速度軌跡面、零軸速包絡(luò)面及溢流管等徑圓柱面理論等。平衡軌道理論的核心思想包括[3-4]：①不同粒徑(或密度)的粒子最終將處于各自的平衡軌道面上，該面上的粒子徑向速度和加速度均為零，其僅作旋轉(zhuǎn)和軸向運(yùn)動(dòng)；在徑向上，由中心至器壁，隨著半徑的逐漸增大，粒子的粒徑(或密度)也逐漸增大，當(dāng)粒子粒徑大于平衡面上旋流器器壁處的粒徑時(shí)，受器壁的限制，其只能緊貼器壁。②平衡軌道面上位于旋流器分離基準(zhǔn)面以外的粒子，均隨外旋流從底流口排出，反之則隨內(nèi)旋流從溢流口排出，剛好在分離面上的粒子則等概率的隨底流或溢流排出，該處的粒徑即為分離粒度。

與其它理論學(xué)說(shuō)相比，平衡軌道理論具有物理意義清晰、簡(jiǎn)單明了、推導(dǎo)過(guò)程易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，且由此推導(dǎo)出的分離粒度(也叫切割粒徑)計(jì)算數(shù)學(xué)模型形式簡(jiǎn)單、無(wú)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)、適應(yīng)性強(qiáng)、計(jì)算方便、預(yù)測(cè)精度高，因此，其在實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用。但該理論也存在部分不足——理論描述過(guò)于理想化，將粒子看成完全按精準(zhǔn)化分離，沒(méi)有考慮停留時(shí)間和湍流等因素的影響，有待進(jìn)一步完善和發(fā)展。

1 運(yùn)動(dòng)方程的建立

對(duì)于旋流器內(nèi)的粒子運(yùn)動(dòng)方程，比較著名的是BBO方程[5]，它同時(shí)考慮了離心力、向心浮力、流體曳力、慣性力、視質(zhì)量力、Basset力的作用，但其比較復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中受到很大限制。平衡軌道理論的粒子運(yùn)動(dòng)方程在BBO方程的基礎(chǔ)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，忽略了部分次要力的作用，只保留了前三個(gè)主要作用力。假定切向的粒子與流體運(yùn)動(dòng)速度相等，并定義由旋流器軸心指向器壁的方向?yàn)檎较?，則其運(yùn)動(dòng)方程為[6-10]:

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：d為粒子的粒徑，m；ρm、ρ分別為粒子和流體的密度，kg/m3；vt、vr、vmr分別為流體的切向和徑向速度、粒子的徑向速度，m/s；r為粒子所處的位置半徑，m；t為粒子在旋流器內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，s；FD為流體曳力，N；CD為曳力系數(shù)；A為粒子在流動(dòng)垂直方向上的投影面積，m2；Re為雷諾數(shù)；μ為流體的動(dòng)力粘度，Pa·s。

對(duì)于球形粒子，則有

A=πd2/4，

(5)

當(dāng)Re≤0.1時(shí)，流體曳力為Stokes阻力，將式(3)-(5)代入式(2)，可得

FD=3πμd(vmr-vr)。

(6)

一般認(rèn)為，對(duì)于粒徑≤1 mm的粒子，其與流體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以近似看成層流狀態(tài)，將式(6)代入式(1)，整理后可得

(7)

其中vt、vr可以通過(guò)計(jì)算機(jī)采用CFD軟件求解流體連續(xù)性方程和N-S方程得到，但為計(jì)算方便，分別以近似經(jīng)驗(yàn)式(8)和(9)[4，9]代替，

(8)

(9)

式中：ri、R、ru分別為旋流器的入料口和柱段、底流口半徑，m；vi為旋流器入料口處礦漿流速，m/s；H、h分別為旋流器整體和溢流管長(zhǎng)度，m。

在實(shí)際操作過(guò)程中，不能將式(1)中粒子的徑向速度vmr與其相對(duì)于流體的徑向速度(vmr-vr)混淆；上述粒子運(yùn)動(dòng)方程的建立忽略了粒子間的相互作用，因此，比較適用于低濃度礦漿的場(chǎng)合，但也有學(xué)者認(rèn)為即使?jié)舛雀哌_(dá)28%也能滿(mǎn)足[3]。

2 運(yùn)動(dòng)方程的求解

2.1 傳統(tǒng)解法

多數(shù)專(zhuān)家學(xué)者[6-9，11-16]在對(duì)式(7)求解時(shí)直接將該式左邊第三、第四項(xiàng)當(dāng)作常量，按一階非線(xiàn)性常微分方程求解，最終得出的特征解[6-7,9，15](初始條件中t=0、vmr=0)為：

(10)

當(dāng)t→∞時(shí)，其存在最大值，則有

(11)

從式(10)可以看出，盡管在理論上t→∞時(shí)vmr才能取得最大值，但實(shí)際要達(dá)到此值的99%所需的時(shí)間僅為毫秒數(shù)量級(jí)。例如，對(duì)于μ=0.001 Pa·s、d=1×10-4m、ρm=2 000 kg/m3的入料，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(10)可計(jì)算出，該粒子只需約5 ms即可達(dá)到最大值的99%；即使d=5×10-4m，所需時(shí)間也不超過(guò)0.13 s。因此，在忽略這段短暫的加速時(shí)間后，可以認(rèn)為在初始階段就有粒子滿(mǎn)足最大沉降速度(即沉降末速)，即任何時(shí)間式 (11)都成立。

曹仲文、袁惠新等人[17]通過(guò)引入式vmr=dr/dt對(duì)式(11)進(jìn)行積分求解，得出了r與t的關(guān)系式；其他研究[18]還通過(guò)引入式dvmr/dt=dvmr/dr·vmr，直接對(duì)式(7)進(jìn)行微分變換再求解，但均沒(méi)有求解出結(jié)果。梁政、任連城等人在得出(11)式后認(rèn)為[9,15]：粒子在進(jìn)入旋流器的瞬間即受力平衡而達(dá)到沉降末速，在整個(gè)沉降過(guò)程中徑向合力幾乎處處為零，不存在所謂的徑向合力為零的軌跡面，但存在徑向速度為零的軌跡面。

2.2 作者解法

將式(7)左邊第三、第四項(xiàng)看作常量的傳統(tǒng)解法處理不當(dāng)，這是離心力場(chǎng)沉降有別于重力場(chǎng)沉降的特殊之處。如果梁政、任連城等人的上述結(jié)論成立，則這些粒子都將以沉降末速恒速運(yùn)動(dòng)，直至器壁(或中心)，不可能到達(dá)各自的平衡軌道面，也就無(wú)法有效分離，這與事實(shí)嚴(yán)重不符；從(11)式也可以看出，vmr所代表的沉降末速是隨r變化的變量，這說(shuō)明這些粒子并不是一直處于受力平衡狀態(tài)。

實(shí)際上式(7)是以“粒子”作為參照系進(jìn)行受力分析得出的，而粒子的徑向速度vmr=dr/dt，即r是與t相關(guān)的變量。也就是說(shuō)，式(7)中實(shí)質(zhì)上隱含了一個(gè)vmr=dr/dt的方程，其應(yīng)該是由這兩者組成的聯(lián)立方程組，其等效于如下方程,

(12)

將式(8)、式(9)代入式(12)，整理后可得

(13)

不難看出，式(13)是一個(gè)復(fù)雜的二階非線(xiàn)性常微分方程，很難甚至不能求得精確解，但可以采用Matlab軟件通過(guò)計(jì)算機(jī)編程求得近似解。所編程序如下：

function solve_odes

clear all;clc

format long

tspan=0∶0.01∶4;%(時(shí)間范圍和步長(zhǎng)，可以根據(jù)需要調(diào)整)

r0=[0.037 50];%(粒子初始位置，可以根據(jù)需要變換)

[t r]=ode15s(@myodes,tspan,r0);[t r(∶,1) r(∶,2)]

figure(1)

plot(t,r(∶,1),'r-',t,r(∶,2),'b-'),axis([min(tspan)-0.1 max(tspan)+0.1 min(min(r))-0.01 max(max(r))+0.01]),legend('r','drdt')

function dudt=myodes(t,u)

a=***;b=***;c=***;k=***;%(此處a、b、c、d必須根據(jù)式(13)代入具體數(shù)值)

dudt(1)=u(2);

dudt(2)=-a*u(2)+b*(u(1))^(-2.28)-a*c*(u(1)+k)^(-1);

dudt=dudt';

2.3 分離粒度模型的推導(dǎo)

盡管式(12)很難甚至不能求得精確解，但這并不妨礙人們對(duì)平衡軌道理論的應(yīng)用。事實(shí)上，只需使該方程中的dr/dt=0且d2r/dt2=0(或式(7)中的dvmr/dt=0和vmr=0)[19]，即可回避直接求解微分方程的難題，進(jìn)而得出

(14)

式(14)即為平衡軌道理論中的粒子徑向分布通用數(shù)學(xué)模型，也是平衡軌道理論核心思想的理論來(lái)源；要使粒子按粒徑大小精確分級(jí)，各粒子的密度必須接近。由于該式的推導(dǎo)過(guò)程不需要直接對(duì)微分方程求解，也因?yàn)槭?11)與式(7)在dvmr/dt=0的條件下所得表達(dá)式吻合，導(dǎo)致許多學(xué)者在對(duì)式(7)方程求解錯(cuò)誤的情況下仍得出正確的式(14)，從而沒(méi)有影響到平衡軌道理論在實(shí)踐中的正常應(yīng)用。

對(duì)于式(14)，如果以分離基準(zhǔn)面半徑rc代替r，則d就變成了分離粒度d50。但由于不同的學(xué)者采用的vt和vr表達(dá)式及選擇的分離面形狀和位置等不同，有的還以不同的壓力降(ΔP)計(jì)算式代替vi，導(dǎo)致最終推導(dǎo)出的d50計(jì)算模型存在很大差異。如將式(8)、式(9)代入式(14)，則可得

(15)

式中:rc為分離基準(zhǔn)面位置半徑，m。

從旋流器軸心至器壁的整個(gè)區(qū)域，流體的vt和vr都分別由多段函數(shù)組成，例如vt是由準(zhǔn)自由渦和準(zhǔn)強(qiáng)制渦共同組成的，兩者的分界線(xiàn)在最大切線(xiàn)速度位置半徑rm處；平衡軌道理論所采用的vt和vr表達(dá)式為處于準(zhǔn)自由渦區(qū)域的函數(shù)，也就是說(shuō)，用來(lái)描述粒子粒徑沿徑向分布規(guī)律的數(shù)學(xué)模型(即式(14)和式(15))只適用于rm≤r≤R的區(qū)域，而不是0≤r≤R的整個(gè)區(qū)域。

3 科學(xué)性論證

反對(duì)平衡軌道理論的學(xué)者認(rèn)為，粒子在旋流器內(nèi)沒(méi)有足夠的停留時(shí)間，故其不可能全部到達(dá)各自的平衡軌道位置[1]。為此，必須證明對(duì)于所有粒子，在理論上都能滿(mǎn)足平衡狀態(tài)的條件，即經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，粒子的徑向速度和加速度同時(shí)為零，且不再發(fā)生變化；在有效的停留時(shí)間內(nèi)，絕大多數(shù)粒子都可以達(dá)到或近似達(dá)到平衡狀態(tài)。

將計(jì)算出的a、b、c、d數(shù)值代入編寫(xiě)的Matlab程序，以求出粒子的運(yùn)行軌跡。假設(shè)以溢流管等徑圓柱面作為旋流器的分離基準(zhǔn)面，旋流器的結(jié)構(gòu)、入料性質(zhì)、操作參數(shù)分別為：μ=0.001 Pa·s、ρm=2 000 kg/m3、ρ=1 000 kg/m3、R=0.037 5 m、ri=0.2R、r0=0.35R、L=2R、ru=0.2R、θ=20°、H≈6.5R、h=1.6R、vi=2.5 m/s、d=4×10-5m。將上述數(shù)值代入式(13)，可得到a=5 625、b=0.025 6、c=0.000 765、k=0.007 5，然后在Matlab軟件環(huán)境下進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，并設(shè)定d2r/dt2≈Δ(dr/dt)/Δt，即可得出粒徑0.04 mm的粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與運(yùn)動(dòng)路徑、徑向速度與徑向加速度的對(duì)應(yīng)關(guān)系(圖1)。同理，可以分別取d=0.02 mm和d=0.01 mm(僅需將程序中a的值分別改為22 500和90 000)，進(jìn)而得到粒徑為0.02 、0.01 mm的粒子的徑向運(yùn)動(dòng)軌跡(圖1)。

對(duì)于粒子在旋流器內(nèi)的平均停留時(shí)間，可以近似按式(16)通過(guò)計(jì)算得出。將上文假設(shè)的相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(16)，計(jì)算出的粒子平均停留時(shí)間為1.40 s。

(16)

式中：t′為粒子在旋流器內(nèi)的平均停留時(shí)間，s；L為旋流器的柱段長(zhǎng)度，m；r0為旋流器的溢流口半徑，m。

圖1 不同粒子的徑向運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖1可知：

(1)對(duì)于任意粒子，其徑向位移始終向某一點(diǎn)(面)逼近，直至達(dá)到平衡狀態(tài)；該點(diǎn)(面)即為對(duì)應(yīng)粒徑粒子的平衡軌道面，該位置處的粒子徑向速度和加速度同時(shí)為零，且不再變化。

(2)粒子的徑向速度方向和位移方向相同，都是始終指向平衡軌道面；其徑向速度先從零迅速增大到某一值，再在該值附近平緩變化，然后快速下降，在即將接近平衡面時(shí)趨于平緩，最后為零且不再變化。

(3)粒子的徑向加速度方向先與徑向速度方向相同，但初始值非常大，隨后瞬間降至與徑向速度值同一數(shù)量級(jí)水平，接著其趨于零；在方向改變后繼續(xù)增加，增大到某一值后逐漸減小，最后與徑向速度同時(shí)趨于零且不再變化；在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，粒子兩次通過(guò)零點(diǎn)。

(4)粒徑為0.04、0.02、0.01 mm的粒子的平衡軌道面分別位于r=22.90、9.70、4.50 mm處，且從器壁到達(dá)各自的平衡軌道面所需的時(shí)間分別為4.10、2.60、1.80 s。粒徑為0.02、0.01的粒子的平衡軌道面位于溢流管等徑分離面(r=13.10 mm)以?xún)?nèi)，兩者最終進(jìn)入內(nèi)旋流并從溢流口排出，其分離作用在溢流管壁處已完成，對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別為1.40、1.10 s，與平均停留時(shí)間接近，可以認(rèn)為滿(mǎn)足平衡軌道理論要求。粒徑為0.04 mm的粒子，其達(dá)到平衡軌道面所需的時(shí)間明顯大于平均停留時(shí)間，故不能滿(mǎn)足平衡軌道理論要求；但該粒子到達(dá)距其平衡面0.1R(即3.75 mm)位置(即r=26.65 mm)所需時(shí)間為1.5 s，其與平均停留時(shí)間較接近，可以認(rèn)為該粒子處于“準(zhǔn)平衡”狀態(tài)，即近似滿(mǎn)足平衡軌道理論。

采用部分具有代表性的a、b、c、k值和初始位置(取器壁、中部和靠近溢流管處)進(jìn)行進(jìn)一步研究，所得結(jié)論與上述結(jié)論基本一致。結(jié)合上文假設(shè)的旋流器結(jié)構(gòu)、操作參數(shù)和物料性質(zhì)，還可計(jì)算出d50=0.026 mm，平衡面位置r=13.10 mm，達(dá)到平衡狀態(tài)所需的時(shí)間為2.90 s，到達(dá)距其平衡面0.1R位置(r=16.85 mm)所需時(shí)間為1.50 s，其接近于平均停留時(shí)間，也可以認(rèn)為這些粒子近似滿(mǎn)足平衡軌道理論。由于這些粒子的初始位置選擇的都是器壁，其達(dá)到平衡狀態(tài)的時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)；如果這些粒子處于其它位置，其達(dá)到平衡狀態(tài)所需的時(shí)間更少，因此，可以認(rèn)為絕大多數(shù)粒子在旋流器有效停留時(shí)間內(nèi)都能夠達(dá)到或近似達(dá)到平衡狀態(tài)。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)由離心力、向心浮力、流體曳力三個(gè)主要作用力建立的旋流器內(nèi)部分散相粒子運(yùn)動(dòng)方程的分析，認(rèn)為其并非簡(jiǎn)單的一階常微分方程，而是一個(gè)復(fù)雜的二階非線(xiàn)性常微分方程，很難甚至求解不出精確解，但可以利用Matlab軟件編程通過(guò)計(jì)算機(jī)求出近似解。通過(guò)計(jì)算機(jī)的數(shù)值模擬求解，進(jìn)一步加深和完善了對(duì)平衡軌道理論的認(rèn)識(shí)，其核心思想可以概況為以下四點(diǎn)：

(1)平衡軌道理論的“平衡”是指粒子的徑向受力和徑向位置同時(shí)處于動(dòng)態(tài)平衡，即粒子的徑向速度和加速度同時(shí)趨于零，且不再發(fā)生變化，其只做旋轉(zhuǎn)和軸向運(yùn)動(dòng)；該“平衡”不是完全物理意義的精準(zhǔn)化平衡，而是“準(zhǔn)平衡”，即不能保證所有粒子都處于平衡狀態(tài)，但絕大多數(shù)粒子在最終分離前都能運(yùn)動(dòng)至以各自平衡面為中心，間距為±0.1R的狹窄環(huán)形區(qū)域面內(nèi)。

(2)沿著旋流器半徑由中心向器壁，粒子的粒徑(密度)逐漸增大，不同粒徑(密度)的粒子將處于各自的環(huán)形區(qū)域平衡面內(nèi)；當(dāng)粒徑大于平衡軌道處于旋流器器壁的粒子粒徑時(shí)，受器壁的限制，其只能緊貼器壁。

(3)每個(gè)粒子始終都有向自己的平衡軌道面運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，理論上其都能達(dá)到平衡狀態(tài)，但受粒子在旋流器內(nèi)停留時(shí)間的限制，并不是所有粒子最終都能達(dá)到平衡狀態(tài)；即便對(duì)于同一粒徑的粒子，由于其初始徑向位置不同，到達(dá)平衡位置所需的時(shí)間也不同，即其運(yùn)動(dòng)具有一定的隨機(jī)性。

(4)分離基準(zhǔn)面應(yīng)該是一個(gè)狹窄的環(huán)形區(qū)域面，最終位于該面以外的粒子都將隨外旋流從底流口排出，反之則隨內(nèi)旋流從溢流口排出，剛好處于該面上的粒子則等概率的隨底流或溢流排出，該處的粒徑即為分離粒度。

平衡軌道理論的現(xiàn)實(shí)意義不僅僅在于其對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)行為的合理解釋和分離粒度的精確預(yù)測(cè)，更重要的是其為旋流器結(jié)構(gòu)和操作參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)等提供了理論指導(dǎo)：該理論所提出的被選粒子按粒徑(密度)大小沿旋流器徑向有序分層排布的思想，可以確保旋流器在理論上獲得最高的床層松散度和最低的錯(cuò)配物，最終實(shí)現(xiàn)最高分離效率和分離精度，這是其它理論學(xué)說(shuō)無(wú)法比擬的。

[1] 王升貴，陳文梅，褚良銀，等.水力旋流器分離理論的研究與發(fā)展趨勢(shì)[J].流體機(jī)械，2005，33(7):36-40.

[2] 王志斌.水力旋流器分離過(guò)程非線(xiàn)性隨機(jī)特性研究[D].成都：四川大學(xué)，2006：1-4.

[3] 趙慶國(guó)，張明賢.水力旋流器分離技術(shù)[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2003：115-119，9-11，170.

[4] 龐學(xué)詩(shī).水力旋流器技術(shù)與應(yīng)用[M]. 北京:中國(guó)石化出版社，2010:101-133，50-54.

[5] 徐繼潤(rùn)，羅 茜.水力旋流器內(nèi)固液兩相間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)(I)——顆粒運(yùn)動(dòng)方程及其求解[J].中國(guó)有色金屬學(xué)報(bào)，1998，8(3)：487-490.

[6] 徐繼潤(rùn)，羅 茜.水力旋流器內(nèi)固體顆粒的沉降[J].化工礦山技術(shù)，1997，26(2)：20-23.

[7] 徐繼潤(rùn)，羅 茜.水力旋流器流場(chǎng)理論[M].北京：科學(xué)出版社，1998：22-24，179-222.

[8] 趙立新，蔣明虎，李 楓，等.旋流器分散相液滴受力分析——液液水力旋流器速度場(chǎng)研究之五[J].石油機(jī)械，1999，27(5)：24-27.

[9] 梁 政，王進(jìn)全，任連城，等.固液分離水力旋流器流場(chǎng)理論研究[M]. 北京：石油工業(yè)出版社，2011：69-78，94-109.

[10] SOUZA F J, SALVO R V, MARTINS D A M. Large eddy simulation of the gas-particle flow in cyclone separators[J]. Separation and Purification Technology, 2012,94(4): 61-70.

[11] 張 健,周力行.氣固兩相流中顆粒軌道運(yùn)動(dòng)方程的一組分析解[J].燃燒科學(xué)與技術(shù)，2000，6(3):226-229.

[12] 霍夫曼A C，斯坦因L E.旋風(fēng)分離器原理、設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2004:16-19.

[13] 吳柏志，趙立新，蔣明虎，等.水力旋流器內(nèi)顆粒受力與運(yùn)動(dòng)分析[J].東北石油大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，29(6):64-66.

[14] 李正興，袁惠新,曹仲文.旋流式超重力場(chǎng)中液滴動(dòng)力分析[J].化工裝備技術(shù)，2005，26(4)：14-17.

[15] 梁 政，任連城，吳世輝.水力旋流器顆粒沉降速度與分離粒度研究[J].西南石油大學(xué)學(xué)報(bào) ，2007，29(3)：173-176.

[16] 羅金耀，劉新陽(yáng)，高傳昌.滴灌用水力旋流器的顆粒分離粒度[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2009，42(3)：305-307.

[17] 曹仲文，袁惠新.旋流場(chǎng)中分散相顆粒徑向受力及徑向速度方程[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，3(5)：498-501.

[18] 曹仲文，袁惠新.旋流場(chǎng)中分散相顆粒運(yùn)動(dòng)特性分析[J].礦山機(jī)械，2006，54(10)：80-82.

[19] ZHANG R, BASU P.A simple model for prediction of solid collection efficiency of a gas-solid separator[J]. Powder Technology, 2004,147 (9) 86-93.