基于對偶猶豫模糊語言變量的多屬性決策方法

楊尚洪1,2，鞠彥兵1

(1.北京理工大學管理與經(jīng)濟學院，北京100081;2.中國船舶工業(yè)綜合技術經(jīng)濟研究院,北京100081)

摘要：首先定義了對偶猶豫模糊語言變量，然后給出其運算規(guī)則、得分值函數(shù)、精確值函數(shù)、比較規(guī)則以及對偶猶豫模糊語言變量的加權算術平均算子、有序加權算術平均算子和混合平均算子。針對屬性值為對偶猶豫模糊語言變量的多屬性決策問題，提出了一種基于對偶猶豫模糊語言變量集結算子的多屬性決策方法。最后，結合國家電網(wǎng)公司合作單位選擇問題，驗證了該方法的有效性和可行性。

關鍵詞：多屬性決策；對偶猶豫模糊語言變量；集結算子；合作單位選擇

收稿日期：2014-04-02

基金項目：新世紀優(yōu)秀人才支持計劃資助(NECT-13-0037);國家自然科學基金資助項目(71271049,70972007);北京市自然科學基金資助項目(9102015)

作者簡介：楊尚洪(1986-)，男，山東省棗莊市人，博士，研究方向：決策理論與方法、戰(zhàn)略管理；鞠彥兵(1968-)，男，山東省諸城市人，教授，研究方向：決策理論與方法。

中圖分類號：C934文章標識碼：A

Multi-attribute Decision-making Method Based on Dual

Hesitant Fuzzy Linguistic Variables

YANG Shang-hong1,2, JU Yan-bing1

(1.SchoolofManagementandEconomics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China; 2.ChinaInstituteofMarineTechnology&Economy,Beijing100081,China)

Abstract:In this paper, the dual hesitant fuzzy linguistic variable is defined at first, then some basic definitions such as operational laws, score function, accuracy function, comparison rules are proposed. Next, dual hesitant fuzzy linguistic weighted arithmetic averaging operator, dual hesitant fuzzy linguistic ordered weighted arithmetic averaging operator and dual hesitant fuzzy linguistic hybrid averaging operator are presented, and some properties are discussed. For fuzzy multi-attribute decision making problems in which the attribute values take the form of dual hesitant fuzzy linguistic variables, a method based on dual hesitant fuzzy linguistic aggregation operators is proposed. Finally, a practical partner selection problem of the State Grid Corporation of China is given to verify the effectiveness and feasibility of the developed method.

Key words:multi-attribute decision making; dual hesitant fuzzy linguistic variable; aggregation operators; partner selection

0引言

近些年來，由于決策環(huán)境的不確定性日益突出，相應的模糊多屬性決策已經(jīng)成為決策科學領域的研究熱點問題之一。早在1965年，Zadeh[1]就提出了模糊集理論，之后，模糊集理論得到了快速的發(fā)展和應用。然而，傳統(tǒng)的模糊集不能完整地刻畫決策問題的全部信息而受到約束。1986年，Atanassov[2]提出了著名的用于處理不確定性信息的理論——直覺模糊集(IFS)，包含隸屬度和非隸屬度兩部分，事實上，它是對傳統(tǒng)模糊集理論的拓展。在直覺模糊集的基礎上，學者們又提出了諸多不確定性決策理論。Atanassov[3]提出了區(qū)間直覺模糊集，將IFS中的隸屬度和非隸屬度用區(qū)間數(shù)的形式表達。Shu等[4]定義了直覺三角模糊數(shù)并應用于故障樹分析，王堅強等[5～7]給出了直覺梯形模糊數(shù)的定義、期望值、距離公式等。然而，有些方案的屬性難以用數(shù)字度量，或者使用數(shù)字計量成本過高，而利用語言評價[8]便可以滿足決策的需要。為了能夠更好地表達不確定性，王堅強等[9,10]把直覺模糊數(shù)和語言變量相結合，提出了直覺二元語義和直覺語言數(shù)，受此啟發(fā)，劉培德等[11,12]定義了直覺不確定語言數(shù)及區(qū)間直覺不確定語言數(shù)，并將它們應用到不確定環(huán)境下的多屬性決策中。

在實際決策過程中，決策者往往會在多個評價值之間產(chǎn)生猶豫，使得最終的決策結果難以達成一致。為此，Torra和Narukawa[13,14]提出了傳統(tǒng)模糊集的另一種廣義形式，即猶豫模糊集(HFS)，其隸屬度是由若干種可能的值構成的集合?；讵q豫模糊集，陳楠等[15,16]將猶豫模糊集推廣至區(qū)間的形式，給出了區(qū)間猶豫模糊集(IVHFS)的概念。Rodríguez等[17]提出了猶豫模糊語言集，林銳等[18]定義了猶豫語言模糊數(shù)和猶豫不確定語言模糊數(shù)及一些集成算子。

然而，在運用上述猶豫模糊方法進行決策時，只是提供了隸屬度，粗略地表達了屬性或方案屬于某個集合或者語言短語的程度，忽略了非隸屬度的重要性。鑒于此，朱斌等[19]提出了對偶猶豫模糊集(DHFS)，其隸屬度和非隸屬度均是由若干種可能的[0,1]區(qū)間上的數(shù)構成的集合，它能更準確地描述決策者的猶豫不決，比較符合客觀現(xiàn)實。之后，鞠彥兵等[20]定義了區(qū)間值對偶猶豫模糊集，劉小月等[21]定義了猶豫直覺模糊語言集。

為了能夠進一步準確地表達決策信息的猶豫性，本文提出了一種新的猶豫模糊變量，即對偶猶豫模糊語言變量，它由語言評價短語、隸屬度集、非隸屬度集三個部分構成。同時，本文給出了對偶猶豫模糊語言變量的運算規(guī)則、比較規(guī)則以及一些集成算子，為解決屬性值為對偶猶豫模糊語言變量的多屬性決策問題提出了新的方法。通過該方法，不僅可以得出備選方案的優(yōu)劣順序，更重要地是可以明確各方案的優(yōu)劣程度。

1對偶猶豫模糊語言變量及其相關定義

基于對偶猶豫模糊集(DHFS)和語言評價集，我們提出了對偶猶豫模糊語言集(DHFLS)，并給出了運算規(guī)則、得分值、精確值及比較規(guī)則，其定義如下：

定義1令X為一個給定的集合，則X上的對偶猶豫模糊語言集(DHFLS)可以定義為

D={|x∈X}

(1)

其中,sθ(x)∈S={s0,s1,…,sl}，h(x)和g(x)均是由若干個不同的[0,1]區(qū)間上的數(shù)構成的集合，分別表示元素x隸屬于和非隸屬于語言短語sθ(x)的程度，且0≤r,η≤1,0≤r++η+≤1，其中，r∈h(x)，η∈g(x)，r+∈h+(x)=∪r∈h(x)max{r}，η+∈g+(x)=∪η∈g(x)max{η}。為了方便,記d(x)=為對偶猶豫模糊語言變量(DHFLV)。

顯然，對于一個對偶猶豫模糊語言變量，若隸屬度集h(x)和非隸屬度集g(x)中的元素均只有一個，則對偶猶豫模糊語言變量退化為直覺語言數(shù)。

定義2假設d1=和d2=為任意兩個對偶猶豫模糊語言變量，則

(1)d1⊕d2=;

(2)d1?d2=;

(3)λd1=,λ>0;

據(jù)定義2，可得以下運算法則：

(1)d1⊕d2=d2⊕d1;

(2)d1?d2=d2?d1;

(3)λd1⊕λd2=λ(d1⊕d2),λ>0;

定義3設d=為對偶猶豫模糊語言變量，則其得分值函數(shù)S(d)可以定義為

(2)

其中，#h和#g分別表示隸屬度集h和非隸屬度集g中元素的個數(shù)，(l+1)為語言評價集S的基數(shù)。

定義4設d=為對偶猶豫模糊語言變量，則其精確值函數(shù)P(d)可以定義為:

(3)

其中，#h和#g分別表示隸屬度集h和非隸屬度集g中元素的個數(shù)，(l+1)為語言評價集S的基數(shù)。

定義5設d1=和d2=為任意兩個對偶猶豫模糊語言變量，則二者大小的比較規(guī)則為:

(1)若S(d1)>S(d2)，則d1?d2；

(2)若S(d1)=S(d2)，則:

①若P(d1)>P(d2)，則d1?d2；

②若P(d1)=P(d2)，則d1=d2。

2對偶猶豫模糊語言變量的集結算子

定義6設dj=(j=1,2,…,n)為一組對偶猶豫模糊語言變量，且DHFLWAA:Ωn→Ω，若

(4)

定理1設dj=(j=1,2,…,n) 為一組對偶猶豫模糊語言變量，則由定義2集成得到的結果仍是對偶猶豫模糊語言變量，且

(5)

顯然，容易證明DHFLWAA算子具有有界性，如定理2 所示。

≤DHFLWAA(d1,d2,…,dn)≤

定義7設dj=(j=1,2,…,n)為一組對偶猶豫模糊語言變量，且DHFLOWAA:Ωn→Ω，若

(6)

定理3設dj=(j=1,2,…,n)為一組對偶猶豫模糊語言變量，則由定義2集成得到的結果仍是對偶猶豫模糊語言變量，且

(7)

顯然，類似于DHFLWAA算子，DHFLOWAA算子同樣具有有界性，此外，DHFLOWAA算子還具有交換性。

定理4(交換性)設dj=(j=1,2,…,n) 為一組對偶猶豫模糊語言變量，如果(d1′,d2′,…,dn′)是(d1,d2,…,dn)的任意置換，那么，可以得到

DHFLHA(d1′,d2′,…,dn′)=DHFLHA(d1,d2,…,dn)

定義8設dj=(j=1,2,…,n) 為一組對偶猶豫模糊語言變量，且DHFLLHA:Ωn→Ω，若

(8)

定理5設dj=(j=1,2,…,n) 為一組對偶猶豫模糊語言變量，則由定義2集成得到的結果仍是對偶猶豫模糊語言變量，且

(9)

不難證明，類似于DHFLHA算子，DHFLHA算子具有有界性。

3一種基于猶豫直覺語言信息的多屬性決策方法

對于上述決策問題，運用對偶猶豫模糊語言集結算子對各方案的屬性值進行集成，步驟如下：

Step 1規(guī)范化決策矩陣。由于多屬性決策問題中屬性存在兩種類型，即效益型和成本型，兩種屬性值無法進行數(shù)學運算，因此需要按照以下規(guī)則進行處理：對于效益型屬性，其屬性值保持不變, 即dij=；

Step 2集成各方案的屬性值。運用對偶猶豫模糊語言變量的加權算術平均算子對方案Ai進行集成，得到方案Ai的綜合屬性值di(i=1,2,…,m)。

(10)

Step 3運用公式(2)得分值函數(shù)計算di(i=1,2,…,m)的得分S(di)。

(11)

若兩個方案的得分值相等，則繼續(xù)計算其精確值P(di)。

Step 4按照定義5，對各方案進行排序，并選擇最優(yōu)方案。

4算例分析

國家電網(wǎng)公司擬開展一項科學技術項目研究，通過對公司戰(zhàn)略績效的綜合評價，提升公司的戰(zhàn)略執(zhí)行能力。為了能夠選擇合適的單位共同開展相關研究，需要運用科學的評價方法對候選單位進行篩選。經(jīng)過初步篩選，現(xiàn)有以下四個單位入選最終評審范圍：A1:清華大學,A2:東北電力大學,A3:北京理工大學,A4:華北電力大學。為了能夠準確的反映各候選單位的真實狀況，需從以下3個屬性C={C1:科研人員實力,C2:配套設施實力,C3:預期經(jīng)濟效益}對各單位進行評價，屬性權重向量為w=(0.25,0.40,0.35)T，語言評價集S={s0:很低,s1:較低,s2:低,s3:一般,s4:高,s5:較高,s6:很高}。決策者給出各方案的屬性值如表1所示。

表1　各方案的屬性值

由于3個屬性均為效益型屬性，因此無須進行規(guī)范化。運用公式(10)對各方案的屬性值進行集成，可以得到各方案的綜合屬性值di(i=1,2,3,4)如下：

d1=

0.5376,0.3914,0.4590,0.4996,0.4680,0.5271,0.5627},{0.1737,0.2213,0.2042,0.2603,

0.1866,0.2378,0.2195,0.2797}>

d2=

0.5376},{0.2921,0.3722,0.3193,0.4070,0.3138,0.4000,0.3431,0.4373}>

d3=

0.5559,0.4955,0.5267,0.6041,0.5309,0.5599,0.6320},{0.2352,0.2711,0.2639,0.3041,

0.2603,0.3000,0.2921,0.3366}>

d4=

0.6959},{0.1320,0.1938,0.1741,0.2558,0.1569,0.2305,0.2071,0.3041}>

運用公式(11)計算各方案的得分值為：S(d1)=0.1460,S(d2)=0.0533,S(d3)=0.1190,S(d4)=0.2376。

由定義5可知，排序結果為：A4?A1?A3?A2，故A4(華北電力大學)為最佳合作單位。

5結論

本文基于語言評價集和對偶猶豫模糊集，定義了對偶猶豫語言模糊集(DHFLS)，給出了對偶猶豫語言模糊變量的運算規(guī)則、得分值函數(shù)、精確值函數(shù)及比較大小的規(guī)則。然后，基于對偶猶豫語言模糊變量，提出了三種集結算子，即對偶猶豫語言加權算術平均算子、對偶猶豫語言有序加權算術平均算子和對偶猶豫語言混合平均算子。最后針對屬性值為對偶猶豫語言模糊變量的多屬性決策問題，提出了一種新的決策方法，并通過實例，驗證了該方法的有效性和可行性。結果表明，該方法不僅僅豐富和發(fā)展了模糊集決策理論，更重要地是它能夠更加精確的描述決策者的猶豫信息。然而，本文僅僅做了初步探索，對于其相關的多屬性決策方法、應用領域以及屬性間存在相關關系等問題，仍需日后進行深入研究。

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