倒立擺系統(tǒng)的模糊控制研究

周群利

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程學(xué)院，安徽蕪湖241006)

摘要：當(dāng)?shù)沽[的擺角和擺速在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，分別采用三個(gè)模糊集“負(fù)、零、正”，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方程進(jìn)行模糊化，得到7條Sugeno型模糊規(guī)則，根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)及擺角和擺速的值，得到對(duì)應(yīng)模糊規(guī)則下倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方程，然后對(duì)每個(gè)區(qū)域選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)，設(shè)計(jì)出極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器，對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制，仿真結(jié)果力證了此方法的有效性。

關(guān)鍵詞：Sugeno模糊模型；倒立擺；模糊控制

作者簡(jiǎn)介：周群利，碩士，講師，蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院。研究方向：非線性系統(tǒng)控制。

文章編號(hào)：1672-6758(2015)07-0043-3

中圖分類號(hào)：TP273`+.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：When the pendulum swing, the angle and swing speed varies in a certain range. Mathematic mo del of inverted pendulum system is blurred with three fuzzy sets "negative, zero, positive". Seven Sugeno fuzzy rules were got. According to the system parameters, the swing angle and swing speed value, the mathematical model equations of inverted pendulum system were got under the condition of the corresponding fuzzy rules. The expectancy of closed loop poles was selected to each region.

倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低廉、形象直觀、構(gòu)件組成參數(shù)和形狀易于改變，是檢驗(yàn)各種控制理論的理想模型。倒立擺系統(tǒng)是一種典型的復(fù)雜被控對(duì)象，具有非線性、多變量、強(qiáng)耦合和自然不穩(wěn)定的特性。在控制過程中倒立擺系統(tǒng)能有效地反映可控性、魯棒性、隨動(dòng)性以及跟蹤性等許多控制中的關(guān)鍵問題。近年來，學(xué)者們對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究工作，取得了許多成果，其控制方法也已經(jīng)有經(jīng)典控制理論方法、現(xiàn)代控制理論方法、智能控制理論方法等，模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制是智能控制的重要方面，它們?cè)诘沽[系統(tǒng)的控制上也起到了很大的作用。在此本文采用基于Sugeno模糊模型的方法對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行模糊控制。

1倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式(1)中x1為擺與垂直線的夾角；x2為擺的擺動(dòng)角速度；g為重力加速度；m為倒立擺擺桿的質(zhì)量；l為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度；M為小車質(zhì)量；倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中a為與倒立擺質(zhì)量、小車質(zhì)量及擺長(zhǎng)有關(guān)的量，其大小為：a=l/(m+M)。圖1為一級(jí)倒立擺系統(tǒng)示意圖。

圖1　一級(jí)倒立擺系統(tǒng)示意圖

2Sugeno模糊模型

Takagi和Sugeno于1985年曾經(jīng)提出了一種T-S模糊模型，后來研究者稱之為Sugeno模糊模型，它是一種本質(zhì)非線性模型，宜于表達(dá)復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。Sugeno模糊模型輸出為常量或線性函數(shù)，其函數(shù)形式為：

y=a或y=ax+b

(2)

取ZR為很小的模糊集，則可得Sugeno型模糊模型規(guī)則為：

if x1isZRandx2isZRTHEN

(3)

3基于Sugeno模糊模型的倒立擺模糊控制

當(dāng)?shù)沽[系統(tǒng)的擺角和擺速在一定范圍變化時(shí)，可分別采用三個(gè)模糊集“負(fù)、零、正”，即“NG、ZR、PO”對(duì)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模糊化，從而實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的局部線性化。

式(1)的數(shù)學(xué)模型中，在(x1，x2)平面上對(duì)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方程進(jìn)行模糊分割，分成3×3的柵格，針對(duì)x1和x2，分別取NG，ZR，PO三個(gè)模糊集合，可得七條Sugeno型模糊規(guī)則,規(guī)則如下：

當(dāng)?shù)沽[系統(tǒng)的擺角和擺速很小時(shí)，sin(x1)→x1，cos(x1)→1，則由(1)式所表示的倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可近似寫為

(4)

對(duì)倒立擺系統(tǒng)模型進(jìn)行局部線性化，可得到如下5個(gè)線性化方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

可見，7條Sugeno型模糊規(guī)則可以合并為5條模糊規(guī)則。取倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)為：m=2.5kg,M=9kg,l=0.5m，將該參數(shù)值及x1和x2的值分別代入式(5)至式(11)，可得到模糊規(guī)則所對(duì)應(yīng)的倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)矩陣A及輸入矩陣B。

4系統(tǒng)控制仿真

對(duì)每個(gè)區(qū)域選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)(-15±8i)，采用u=-Fx的反饋控制，利用matlab軟件中的極點(diǎn)配置函數(shù)place(A,B,P),可以得到5個(gè)子系統(tǒng)的反饋增益矩陣：

F1=[-4295.8-422.5]；F2=[-4282.8-422.5]；F3=[-4406.7-433.5]；F4=[-4406.7-432.7]；F5=[-4406.7-434.4]。

設(shè)系統(tǒng)初值為：x=[0.350.69]T，仿真結(jié)果如下圖所示：

圖2　擺角及擺速的狀態(tài)響應(yīng)

圖3　控制輸入信號(hào)

圖4　角度和角速度的隸屬函數(shù)

從圖2可以看出倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)變量擺角和擺動(dòng)角

速度大約在0.3s可達(dá)到穩(wěn)定，過渡時(shí)間較短且超調(diào)量也不大，0.3s后系統(tǒng)的狀態(tài)變量穩(wěn)定地收斂于零，由此可知該方法可以實(shí)現(xiàn)擺桿的倒立平衡控制，控制效果達(dá)到了預(yù)定要求。

5結(jié)論

采用基于Sugeno模糊模型的倒立擺模糊控制方法，運(yùn)用多個(gè)簡(jiǎn)單線性系統(tǒng)控制器通過模糊推理得到全局控制器，從而達(dá)到控制倒立擺非線性系統(tǒng)的目的，仿真結(jié)果證明了該方法的有效性，同時(shí)該方法體現(xiàn)了良好的全局控制性能和設(shè)計(jì)方法的靈活性。

參考文獻(xiàn)

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Study of Fuzzy Control of the Inverted-pendulum

Zhou Qunli

(School of Electrical Engineering, Wuhu Vocational College of Technology, Wuhu, Anhui 241006, China)

Then pole assignment state feedback controller was designed to control the inverted pendulum system. The simulation results prove the effectiveness of the proposed method.

Key words：Sugeno fuzzy model; inverted pendulum; fuzzy control

Class No.:TP273+.4Document Mark：A

(責(zé)任編輯：鄭英玲)