模型縮減法在轉子動力學中的應用比較

黃健偉，羅貴火，王飛

(南京航空航天大學能源與動力學院，江蘇南京210016)

摘要：隨著大規(guī)模模型的不斷增加，模型縮減在動力學分析中顯得越來越重要，模型縮減在保證精度的基礎上可以減少存儲空間和提高計算效率。常見的模型縮減法主要有靜態(tài)縮減法(Guyan)、動態(tài)縮減法(Dynamic reduction)、改進的縮減系統(tǒng)法(IRS)、系統(tǒng)等價擴展縮減法(System equivalent expansion reduction process)以及部件模態(tài)綜合法(CMS)。從理論上介紹了幾種模型縮減法的不同，而且通過這幾種方法對有限元法建立的簡單單轉子系統(tǒng)進行臨界轉速的分析，比較分析它們在準確度以及計算效率的差別。結論：1)在計算效率和準確性上，IRS法和CMS法表現較好；2)靜態(tài)縮減法只在零頻時結果精確，可靠性較差；動態(tài)縮減法在特定頻率下結果較精確；SEREP法計算結果比靜態(tài)縮減法和動態(tài)縮減法要精確，但是精度和計算效率低于CMS法和IRS法；3)CMS法在預測高頻運動時結果更準確。

關鍵詞:模型縮減計算效率單轉子準確度

中圖分類號：V231.96文獻標識碼：A

作者簡介：黃健偉(1988-)，男，南京航空航天大學能源與動力學院，碩士研究生，主要研究方向：結構強度與完整性。

收稿日期：2014-12-24

Comparison study of application of model reduction in rotor dynamics

HUANG Jianwei,LUO Guihuo,WANG Fei

Abstract:As more and more large models are adopted in practice, model reduction becomes an important issue in rotor dynamics. Based on accurate prediction, model reduction can reduce storage and simulation time. The typical methods are Guyan reduction, dynamic reduction, improved reduce system(IRS), system equivalent expansion reduction process and component mode synthesis method. A shaft-line model of a single rotor system is established with the finite element method. By analyzing the dual-rotor system of its analogous dynamic characteristics, the accuracy and computation efficiency of different methods are compared. The results are as the following：1)Compared with different reduction methods, IRS and CMS deliver the best eigenfrequency results.2)Guyan reduction is only exact at zero frequency，dynamic reduction can be exact at the chosen frequency， SEREP method is better than Guyan reduction and dynamic reduction in accuracy, but when predicting high frequency motion it is less accurate and less efficient than CMS and IRS method.3)CMS method has better accuracy in predicting high frequency motion.

Keywords:model reduction; computation efficiency; single rotor system; accuracy

1研究背景

近些年來，隨著模型尺寸的增大，動力學分析所需計算時間和存儲空間都不斷增多，降低了工作效率和增加了計算成本。模型縮減的方法在保證結果準確度的基礎上可以很好的提升計算效率和減少存儲空間。模型縮減法得到了迅速的發(fā)展，主要有靜態(tài)縮減法、動態(tài)縮減法、改進的縮減系統(tǒng)法、系統(tǒng)等價擴展縮減法以及部件模態(tài)綜合法。所以研究各種模型縮減方法求解精度的特點和計算效率都非常重要。

2模型縮減法的介紹

用于轉子系統(tǒng)分析的一種常見的空間離散化的方法是有限元法。轉子系統(tǒng)的二階運動微分方程如下：

(1)

其中M，C，K∈Rn×n分別是系統(tǒng)矩陣中的慣性矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣。f(t)∈Rn×1，是外部載荷，q∈Rn×1是狀態(tài)向量。模態(tài)縮減的一般概念是，找到一個低維數子空間T∈Rr×n通過映射近似狀態(tài)向量。通過對子空間的預測，可以得到一個低維的二階運動微分方程

(2)

其中Mr=TTMT，Cr=TTCT，Kr=TTKT是縮減后系統(tǒng)的矩陣，fr(t)=TTf(t)是轉換后的外力載荷。這種維數縮減方法的效果和精確度都取決于ε的規(guī)模?；趯D換矩陣T的選擇，不同的縮減技術在過去幾十年中已經得到了發(fā)展。

2.1Guyan縮減法

Guyan縮減法[1]，也叫靜態(tài)縮減法，它的特點是將與被縮減掉的自由度相關的慣性項和阻尼項都忽略。狀態(tài)向量q和載荷向量f，以及系統(tǒng)矩陣M和K被拆分為主自由度和從自由度。不受外力的自由度被選擇作為從自由度。假設阻尼時可忽略，運動方程組可以重新寫成：

(3)

下標m和s分別對應主坐標系和從坐標系。忽略掉第二個方程的慣性項，從自由度可以被消除，如下：

(4)

其中矩陣Ts表示縮減前狀態(tài)向量和主坐標系之間的靜態(tài)轉換矩陣。

縮減后的質量矩陣和剛度矩陣如下：

(5)

(6)

一般地說，Guyan縮減法可以很好地接近低階特征值，事實上它只有在零頻時是精確的。對于高頻運動，慣性項的影響是非常大的，這種情況下Guyan法就顯得不精確了。

2.2動態(tài)縮減法

動態(tài)縮減法(Dynamicreduction[2])是靜態(tài)縮減法的一種轉換或者擴展，在任意指定頻率下的縮減都是準確的。假設指定在ω0處進行降維縮減，對于方程組(3)中的第二個方程，慣性力可以寫成如下格式：

(7)

所以縮減轉換可以寫成如下

=Tdqm

(8)

動態(tài)縮減法對于高頻率運動相對準確，但是需要認真選擇初始頻率ω0。

2.3改進的縮減系統(tǒng)方法

改進的縮減方法(IRS[3])考慮慣性力，將一個慣性項加到靜態(tài)縮減轉化矩陣中。這個慣性項使得結果能更加接近未縮減模態(tài)的模態(tài)向量，慣性項可以通過靜態(tài)縮減法得到。

Gordis[4]利用二項式定理得到IRS法的轉換矩陣。對于一個已給的頻率ω,通過方程組(3)可以得如下方程：

[Kss-ω2Mss]qs=-[Ksm-ω2Msm]qm

(9)

這個方程和方程(8)很相似。通過二項式定理，方程(9)可以被整理成：

qs=-[Kss-ω2Mss]-1[Ksm-ω2Msm]qm

(10)

式中o(ω4)表示ω4的誤差。忽略誤差，考慮到IRS方法是基于靜態(tài)縮減法，重新整理方程(10)，得到：

(11)

(12)

(13)

縮減后的質量和剛度矩陣可以寫成：

(14)

(15)

相關參量可以通過Guyan法中得到，通過方程(12)可以得到IRS法的轉換矩陣。

2.4系統(tǒng)等價擴展縮減法

系統(tǒng)等價擴展縮減法(SEREP[5])使特征向量的子集為Φr轉換矩陣可以寫成T=Φr。通過這種變換，物理坐標系被轉換為模態(tài)坐標系。系統(tǒng)等價擴展縮減法(SEREP)也利用特征向量的子集。通過用主自由度和從自由度劃分物理坐標系和特征向量，物理坐標系被保留下來。這個轉換矩陣被寫成

(16)

其中Φr=[ΦmΦs]T表示被分離的特征向量的子集。

所以轉換矩陣被寫成

(17)

為了得到轉換矩陣，首先要得到無阻尼系統(tǒng)的特征向量。然后，TSEREP和縮減后的質量和剛度矩陣可以通過方程(17)-方程(19)得到。

(18)

(19)

與動態(tài)縮減法和靜態(tài)縮減法相比較，SEREP法在有預先定義的約束的系統(tǒng)的高頻運動中預測得更好。

2.5部件模態(tài)綜合法

固定界面模態(tài)綜合法(CMS)由Craig和Bampton[6]提出,并由Craig和Petyt[7-10]進一步研究。先要將模型分割為兩部分，包括外部結構和內部結構兩種。通過分割，物理坐標被分為與主自由度和從自由度相對應的外部坐標和內部坐標。類似于方程(3)和(4)，模態(tài)綜合法的約束模態(tài)由下面的方程決定：

0=Ksmqm+Kssqs

(20)

(21)

Φc是約束模態(tài)。主模態(tài)從下面的方程計算得到

KssΦ=λMssΦ

(22)

其中Φ表示特征向量，λ是特征值。Φ通過模態(tài)截斷處理，Φ剩余的子集可以寫成Φr。

最后，通過Craig和Bampton的基本假設，從自由度的位移如下

qs=Φcqm+Φry

(23)

因此，轉換過程如下

(24)

轉換矩陣為

(25)

對于縮減后結構，固定界面模態(tài)綜合法計算結果更好。但是忽略主模態(tài)的高階項，可能導致結果的不精確。

3各種縮減法的結果比較

本文針對單轉子模型，利用上述介紹的幾種模型縮減法對其進行動力學分析，并對各種方法得到的結果進行比較分析。用有限元單元方法建立單轉子系統(tǒng)軸線的模型，采取Timoshenko梁單元。阻尼和內部摩擦力被忽略。模型包括了21個單元，22個節(jié)點和88個自由度。模型的圖解和支承的位置見圖1。

圖1　單轉子系統(tǒng)圖

轉子系統(tǒng)不受外力的情況，轉子系統(tǒng)的運動方程可以寫成：

(26)

其中Ω是轉速，G是陀螺力矩矩陣。對于這個轉子系統(tǒng)，節(jié)點1，5，13，18，22的自由度被選作為靜態(tài)縮減法、動態(tài)縮減法、IRS法和SEREP方法的自由度。對于固定界面模態(tài)綜合法來說，只有節(jié)點5和13的自由度叫做主自由度。為了比較不同方法的計算效率，需要選擇前12階模態(tài)作為保留模態(tài)，使得方程(24)中CMS法的坐標轉化后的矩陣變?yōu)橐粋€20×1矩陣，這樣可以保證縮減后的維數和通過其他縮減方法縮減后的維數相同。

3.1臨界轉速的比較

對于縮減模態(tài)和全模態(tài)，特征值和特征向量以及和坎貝爾圖都通過計算得到。不同方法得到的坎貝爾圖如圖2(a)-(f)。盡管在不同方法得到的結果之間只存在微小的不同，但在圖2中還是可以看到不同。

圖2　由不同縮減法得到的坎貝爾圖

從表1可以看出動態(tài)縮減法得到的一階正進動和一階反進動的臨界轉速比Guyan靜態(tài)縮減法要精確，這是由于方程(7)中合適的選擇了ω0的值。在這個例子中ω0=220 rad/s≈35 Hz。對于高維數復雜轉子系統(tǒng)，選擇一個合適的值不是一個簡單的任務，盡管反復計算會降低計算效率，但是為這個參數的選擇提供了幫助。

同樣從表1還可以看出，和未縮減方法相比，改進的系統(tǒng)縮減法(IRS法)和系統(tǒng)等價擴展縮減法(SEREP法)得到的結果更加精確，盡管在計算單轉子高頻運動時會出現一些誤差，本文在后面的章節(jié)將會討論這些誤差。

表1　臨界轉速比較

3.2特征頻率的比較

前14種特征頻率的不同在圖3中表示出來。特征頻率的差值被定義為：

eigdiff=eigreduced-eigfull

(27)

圖3　各種方法的特征頻率之間的差值

圖3中所有特征頻率之間的差值都是正值，正好符合縮減法得到的頻率比未縮減方法得到頻率更高的理論。對于不同的縮減方法，盡管動態(tài)縮減法在選定頻率下得到的結果更好，但靜態(tài)縮減法和動態(tài)縮減法的結果幾乎完全一致。這兩種方法對于在高頻運動的計算結果都不可信。圖3中可以看出，固定界面模態(tài)綜合法(CMS)和改進的系統(tǒng)縮減法(IRS)在對高頻運動計算的結果都比其他縮減方法要更精確。但是，對于固定界面模態(tài)綜合法，選擇哪種更低維特征向量和為了得到Craig -Bampton約束模態(tài)的方程(23)需要多少維數的特征向量，會降低計算的效率。但是，對于CMS法，要為方程(23)中約束模態(tài)選擇哪種維數更低的特征向量和多少維數的特征向量是很必要的，但這會降低計算的效率。

3.3模態(tài)置信準則

通過未縮減模型和縮減模型得到的特征值，轉子系統(tǒng)的特征向量和振型都可以得到。為了評估未縮減模型和縮減模型之間的關聯(lián)程度，需要得到模態(tài)置信準則[11]。MAC可以表達成：

(28)

其中Φi表示未縮減模型第i個特征向量，Φj表示第j個擴展的特征向量。

特征向量的維數一定是相同的，所以縮減后的特征向量可以通過轉化矩陣擴展成原自由度數下的特征向量。在MAC矩陣中的所有值都在0到1之間。這個值越小，特征向量之間的相關性越差，如圖4所示。

(a)各方法得到的MAC值比較　(b)MAC值比較(IRS法和CMS法) 圖4　MAC值比較

通過觀察圖4(a)和(b)，靜態(tài)縮減法(Guyan縮減法)和動態(tài)縮減法的MAC值是一致的。與另外三種方法相比，IRS法和CMS法與未縮減模型的相關性更好。MAC比較結果和特征頻率的比較結果一致。

3.4計算效率的比較

使用MATLAB對所有方法進行編程，運行100次記錄需要的時間。每種方法平均耗費時間被列在表2中，不同方法被列在圖5中。

表2　每運行100次程序的平均時間

如圖5和表2中的內容，和未縮減模型相比，所有的縮減法都有比較高的計算效率。對于上面提到的單轉子系統(tǒng)，幾乎可以省下90%的計算時間，同時又能保證較好的仿真程度。

(a)不縮減法和縮減法的比較　(b)各縮減法之間時間的比較 圖5　計算效率的比較

在圖5(b)中，固定界面模態(tài)綜合法和動態(tài)縮減法是最有效率的，其次是Guyan縮減法，IRS法以及SEREP法。當同時要考慮效率和精確度的時候，對于本文中的單轉子系統(tǒng)，固定界面模態(tài)綜合法是最合適的。

4結論

本文對幾種不同的模態(tài)縮減的方法進行了比較。對特征頻率比較后發(fā)現，改進縮減系統(tǒng)法(IRS法)和固定界面模態(tài)綜合法(CMS法)得到的特征頻率效果最好。相對來說，Guyan靜態(tài)縮減法是相對來說準確性較差，而且計算效率最低，因為靜態(tài)的本質是只在零頻的時候才是精確的。靜態(tài)縮減法和動態(tài)縮減法的不同在于，動態(tài)縮減法在選定的頻率處是精確的，而不是在零頻處。但是，動態(tài)縮減法選擇一個合適的頻率很繁瑣。SEREP法比Guyan法和動態(tài)縮減法都更加準確，但是當計算高頻運動時固定界面模態(tài)綜合法和IRS法比SEREP法要更加準確和有效率。對于本文中單轉子系統(tǒng)，固定界面模態(tài)綜合法和IRS法在精確性上幾乎是一樣的。但是CMS固定界面模態(tài)綜合法在計算高頻運動時更加精確。

參考文獻

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