李晨薇+陳福來

[摘 要]建立了分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長模型，并通過一個算例說明了在一定情況下，分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長模型優(yōu)于相應(yīng)的整數(shù)階人口阻滯增長模型。

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù)階微分方程；人口阻滯增長模型；數(shù)值解

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.03.016

1 前 言

人口問題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問題之一。世界人口的迅猛增長引起了許多問題，特別是一些經(jīng)濟(jì)不發(fā)達(dá)國家的人口過度增長，影響了整個國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、社會安定和人民生活水平的提高，給人類生活帶來許多問題。為了解決人口增長過快的問題，人類必須控制自己，做到有計劃地生育，使人口的增長與社會、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展相適應(yīng)，與環(huán)境、資源相協(xié)調(diào)。認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報，是有效控制人口增長的前提。

指數(shù)增長模型和阻滯增長模型是兩個最基本的人口模型。指數(shù)增長模型由英國人口學(xué)家馬爾薩斯于1978年提出來的，其基本假設(shè)為人口的增長率是常數(shù)，獲得的結(jié)果表明人口將以指數(shù)規(guī)律無限增長。而事實上，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越明顯。阻滯增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的阻滯作用，對指數(shù)增長模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率的影響上，使得隨著人口數(shù)量的增加而下降。這個模型比指數(shù)增長模型更加合理。

在近幾十年里，許多學(xué)者指出分?jǐn)?shù)階微積分非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程，在經(jīng)典模型中這些性質(zhì)常常是被忽略的[1]。本文針對人口數(shù)量的變化具有典型的記憶和遺傳性質(zhì)，把人口增長模型中的整數(shù)階微分方程修改為分?jǐn)?shù)階微分方程，能更加準(zhǔn)確地預(yù)報人口增長的數(shù)量。

2 分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長模型

分?jǐn)?shù)微分與積分是指微分的階數(shù)與積分的次數(shù)是任意實數(shù)乃至復(fù)數(shù)，而不是一個分?jǐn)?shù)或者分式函數(shù)的微分和積分。分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長模型是：

CDαx（t）=r（1-x（t）xm）x（t），0<α≤1

x（0）=x0（1）

這里CDα表示分?jǐn)?shù)階Caputo導(dǎo)數(shù)，當(dāng)α=1時就是我們常說的整數(shù)階人口阻滯增長模型。年人口增長率為r人口x（t）的函數(shù)r（x）由于受到自然資源、環(huán)境條件等因素的阻滯作用，是個減函數(shù)，這里r（x）=r（1-xxm），式中r叫作固有增長率，xm是自然資源和環(huán)境條件下年容納的最大人口容量。根據(jù)已有的分?jǐn)?shù)階微分方程理論，[1]方程（1）對應(yīng)的積分解為：

x（t）=x0+1Γ（α）t0（t-s）α-1r（1-x（s）xm）x（s）ds（2）

這個積分解是個奇異積分，不能正常求解解析解。利用文[2]的方法和程序，我們可以獲得它的數(shù)值解。

下面基于1790—1990年這兩百年的美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)（見表1），對模型進(jìn)行檢驗。

要用模型（1）來預(yù)報人口，必須先對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，對模型（1）中的參數(shù)r和xm進(jìn)行估計。時間t的處理，令1790，1800，…，1990年分別對應(yīng)t=0，1，…，20時刻，即x（0）=3.9，x（1）=5.3，…，x（20）=251.4。參數(shù)r（年固有增長率）取逐年增長率的幾何平均值，由公式：

r=nΠni=1x（i）-x（i-1）x（i-1）（3）

獲得，計算出r=0.2127。參數(shù)xm（最大人口容量）基于α=1時的整數(shù)階人口阻滯增長模型：

x′（t）=0.2127（1-x（t）xm）x（t）x（0）=3.9（4）

所獲得的解析解：

x（t）=xm1+xm3.9-1e-0.2127t（5）

利用表1中1790—1980年的數(shù)據(jù)擬合獲得，[3]有xm=464。這樣，我們建立了表1數(shù)據(jù)的分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長模型：

CDαx（t）=0.2127（1-x（t）464）x（t），0<α≤1，

x（0）=3.9（6）

分別取α=0.8，0.85，0.9，0.95，1代入模型（6），預(yù)測出1800—1990年的人口數(shù)，預(yù)測的人口數(shù)量和相對誤差結(jié)果見表2，并用下圖表示相對誤差的結(jié)果。

從表2和圖1的數(shù)據(jù)我們可以看出，α取0.8和0.85時數(shù)據(jù)較好，相對誤差較小，都優(yōu)于α取1時的結(jié)果，尤其是α取0.85時數(shù)據(jù)相對誤差最小，預(yù)報最準(zhǔn)確。而α=1時是整數(shù)階人口阻滯增長模型，從而我們知道，在這個算例中，α取適當(dāng)?shù)闹禃r，分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長模型優(yōu)于整數(shù)階人口阻滯增長模型。

參考文獻(xiàn)：

[1]I.Podlubny..Fractional Differential Equations[M].San Diego： Academic Press，1999.

[2]陳福來，李勢豐，王華.分?jǐn)?shù)階微分（差分）方程的Matlab求解程序[J].湘南學(xué)院學(xué)報，2011，32（5）： 1-4.

[3]趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.