肖　凌，曹永林1

(1. 山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049; 2.淄博理工學(xué)校 汽修系， 山東 淄博 255100)

一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的整數(shù)解

肖凌1,2，曹永林1

(1. 山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049; 2.淄博理工學(xué)校 汽修系， 山東 淄博 255100)

摘要：作為數(shù)論中一個(gè)熟知結(jié)論的推廣，利用Gauss-Wilson定理和中國剩余定理，對(duì)任意正整數(shù)n，確定出了多項(xiàng)式+1模n的全部整數(shù)根，進(jìn)而對(duì)任意整數(shù)x刻畫出了其取值情況.

關(guān)鍵詞：原根；中國剩余定理；整數(shù)的剩余表示

收稿日期：2015-01-09

通信作者：

作者簡(jiǎn)介:肖凌，女，autumndaisy@163.com；曹永林，男，ylcao@sdut.edu.cn

文章編號(hào)：1672-6197(2016)01-0026-03

中圖分類號(hào)：O156.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract:As a generalization of a wellknown result in elementary number theory, we investigate the zeros of the polynomial

Thevalueandzerosofsomepolynomialwithintegercoefficients

XIAOLing1,2，CAOYong-lin1

(1.SchoolofScience,ShandongUniversityofTechnology,Zibo255049,China;

2.AutoRepairDepartment,ZiboSchoolofTechnology,Zibo255100,China)

inthisnote.Furthermore,wegiveacompleteaccountofthevalueofitbyChineseRemainderTheoremandGauss-WilsonTheorem.

Keywords:primitiveroot;chineseremaindertheorem;modularrepresentationofintegers

定理1[1]設(shè)p為給定的素?cái)?shù)，則對(duì)任意整數(shù)x恒有同余式

1預(yù)備知識(shí)

或

引理1設(shè)m，n是互素的兩個(gè)正整數(shù)，則有

推論1 設(shè)m，n是互素的正整數(shù)，則有

2主要結(jié)果及其證明

1)如果x與pα互素，則必存在ri，1i使得且根據(jù)歐拉定理知，此時(shí)從而

2)如果x與pα不互素，則對(duì)于模pα縮系中任意ri有

(1)

(2)

由式(1), (2)知

(2)n=2α0，α0>2；

其中pi為奇素?cái)?shù)，αi>0，i=1,…,k，為了敘述方便，令p0=2.我們有

定理3設(shè)正整數(shù)n不具有原根，沿用上面的記號(hào)，對(duì)任意整數(shù)x，令

則有如下剩余表示

由推論1知

(3)

綜合上述結(jié)論，容易得到：

例當(dāng)n=100=22×52時(shí)，令m1=22，m2=52，有

M1=25,M1′=1；M2=4,M2′=19.

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(編輯：姚佳良)