第一作者王威男，博士,副教授，1979年生

通信作者陳軍男，博士，教授，1970年生

wangwei79912@sina.com

含間隙和干摩擦的連桿機構(gòu)系統(tǒng)動力學(xué)研究

王威,沈政,宋玉玲,陳軍,師帥兵

(西北農(nóng)林科技大學(xué)機械與電子工程學(xué)院，陜西楊凌712100)

摘要：各種連桿機構(gòu)鉸鏈處存在的非線性因素對機構(gòu)運行的穩(wěn)定性產(chǎn)生巨大的危害，因此考慮間隙和干摩擦非線性因素同時存在對機構(gòu)系統(tǒng)動力學(xué)性能的影響是進一步改善機構(gòu)運行性能的重要基礎(chǔ)。以四桿機構(gòu)為例，對于連桿兩端鉸鏈處存在的間隙和干摩擦因素，采用開關(guān)鍵合圖分別對其建立各自的向量鍵合圖模型；在此基礎(chǔ)上，建立間隙和干摩擦同時存在的鉸鏈單元的非因果鍵合圖模型，將其以整體模塊形式嵌入四桿機構(gòu)的向量鍵合圖模型中，得到整體四桿機構(gòu)混合鍵合圖模型，由混合鍵合圖模型最終建立機構(gòu)的動力學(xué)方程；基于Matlab軟件對所建模型進行數(shù)值仿真研究，得出非線性因素對連桿動力學(xué)性能的影響，對于控制連桿機構(gòu)的運行精度和穩(wěn)定性具有指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：連桿機構(gòu)；系統(tǒng)動力學(xué)；間隙；干摩擦；混合鍵合圖模型

收稿日期：2014-07-01修改稿收到日期：2014-09-25

中圖分類號:O322文獻標志碼：A

System dynamics of linkage mechanism with clearance and dry friction

WANGWei,SHENZheng,SONGYu-ling,CHENJun,SHIShuai-bing(College of Mechanical and Electronic Engineering, Northwest A&F University, Yangling 712100, China)

Abstract:Nonlinear factors existing in hinges of linkage bring enormous harm to the running stability of mechanism. So, it is an important foundation to investigate the influences of clearance and dry friction, when they are existing in mechanism simultaneously, on mechanism dynamics for further improving its running performance. Taking a four bar mechanism as an example, the switch bond graph method was used to establish bond graph models of clearance and dry friction in hinges of link. On this basis, a non-casual bond graph model of hinge with clearance and dry friction was established and embedded into the vector bond graph model of the four bar mechanism. Thus a whole hybrid bond graph model of the four bar mechanism was obtained and the dynamics equation of the mechanism was established based on it. The influences of nonlinear factors on link dynamics were analyzed by numerical simulations using Matlab 7.0, and the results have guiding significance for controlling the running precision and stability of linkage mechanism.

Key words:linkage mechanism; system dynamics; clearance; dry friction; hybrid bond graph model

連桿機構(gòu)被廣泛應(yīng)用于機械行業(yè)，其鉸鏈處存在的非線性因素是動力學(xué)設(shè)計中一個比較復(fù)雜的問題，考慮不周全、設(shè)計不合理，關(guān)系到機構(gòu)能否有效運轉(zhuǎn)，會對機構(gòu)運行的精度和穩(wěn)定性產(chǎn)生影響[1-3]，尤其是在高速、重載的機構(gòu)中，這種影響更加突出。因此，在設(shè)計連桿機構(gòu)時，考慮間隙和干摩擦非線性因素同時存在對于系統(tǒng)動力學(xué)性能的影響是非常必要的。

關(guān)于間隙和干摩擦因素對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響問題，國內(nèi)外專家學(xué)者做了大量而卓有成效的研究。其中，Umarikar等[4]提出了應(yīng)用開關(guān)鍵合圖建模方法來表示系統(tǒng)中的非連續(xù)動力學(xué)問題；Khemili和Kim等[5-6]分別對彈性間隙和以隨機模型呈現(xiàn)的間隙進行了模擬實驗驗證。國內(nèi)的很多研究學(xué)者也對間隙和干摩擦分別進行了獨具創(chuàng)新的研究，并且提出了很多有效的方法。如趙剛練等[7]研究了含圓柱鉸鏈間隙的多剛體系統(tǒng)，給出了一種改進的接觸對確定方法，構(gòu)造了空間間隙圓柱鉸鏈接觸分離切換點的判別方法；白爭鋒和羅阿妮等[8-9]建立了一種改進的間隙非線性連續(xù)接觸碰撞力的混合模型，同時采用修正的庫倫摩擦模型描述間隙處的摩擦作用，而對于干摩擦的建模分析，也產(chǎn)生了很多新的方法[10-11]，取得了可喜的研究成果。然而，在對連桿機構(gòu)進行建模和分析時，以往研究很少考慮間隙和干摩擦同時存在的情況。實際連桿機構(gòu)中鉸鏈處的間隙和干摩擦往往是同時存在的，給連桿機構(gòu)的建模、分析和計算帶來了困難。以能量守恒的原理為基礎(chǔ)的鍵合圖理論是20世紀60年代初由美國的Paynter 教授所提出的,經(jīng)過40余年的發(fā)展，已經(jīng)日趨成熟[12]。對于鍵合圖理論完善和發(fā)展而得到的開關(guān)鍵合圖方法能很好的表示各系統(tǒng)中的動力學(xué)特性。向量鍵合圖對多自由度的機構(gòu)的動力學(xué)建模有其獨特的優(yōu)勢,能清晰、明了地建立機構(gòu)的動力學(xué)模型,且能與鉸鏈的開關(guān)鍵合圖建模保持統(tǒng)一。

綜上所述，本文基于鍵合圖理論，以四桿機構(gòu)為例，建立間隙和干摩擦同時存在的四桿機構(gòu)混合鍵合圖模型，分析間隙和干摩擦同時存在對機構(gòu)動力學(xué)特性的影響。

1間隙建模

從研究的機構(gòu)對象和類型出發(fā)，采用兩狀態(tài)非連續(xù)接觸模型[13]。接觸狀態(tài)下，應(yīng)用等效彈簧-阻尼模型來表示接觸力，采用赫茲定律確定彈簧力，接觸過程中的能量損失由阻尼來表示，這樣就可以用彈簧-阻尼力來表示兩元件之間的法向接觸力：

(1)

式中：n為非線性系數(shù)，n=1.5；FN為兩元件法向接觸力；K為彈簧的剛度系數(shù)；Δ為接觸點處的壓縮量，導(dǎo)數(shù)為速度v；h為阻尼器的阻尼系數(shù)。

根據(jù)上述，建立存在間隙的動力學(xué)系統(tǒng)(見圖1)。圖1中，A和B分別表示有間隙存在的一對元件，通過理想轉(zhuǎn)換器來建模，δ-LB表示兩物體間隙的死區(qū)尺寸,FA和FB表示作用在物體上的外力，VA和VB分別表示兩物體的運動速度。間隙模型中的非接觸狀態(tài)和接觸狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換是通過此理想轉(zhuǎn)換器來實現(xiàn)的。轉(zhuǎn)換器通過施加零勢到0結(jié)上，在長度為δ-LB的死區(qū)內(nèi)運動，即間隙狀態(tài)，A和B之間不存在能量轉(zhuǎn)移，相互獨立，兩元件分別在輸入力的作用下運動。轉(zhuǎn)換器通過施加零流到0結(jié)上，兩元件的速度相等，即處于驅(qū)動與被驅(qū)動狀態(tài)(接觸狀態(tài))。A和B之間的法向接觸力即是作用在理想轉(zhuǎn)換器上的勢。通過分配因果關(guān)系，得到含間隙的兩物體的開關(guān)鍵合圖模型見圖2。

圖1　間隙的兩物體模型 Fig.1 Model of two objects with clearance

圖2　存在間隙的兩物體的鍵合圖模型 Fig.2 The bond graph model with clearance

2干摩擦建模

庫倫摩擦模型是典型的干摩擦模型[14-15]，庫倫摩擦模型中摩擦力的方向與相對運動方向相反，其大小正比于其法向接觸反力的絕對值，與接觸面區(qū)域無關(guān)，也與接觸的兩物體間的相對速度大小無關(guān)，它只與速度的符號有關(guān):

(2)

式中：Ff為摩擦力；FW為作用在物體上的外力；FN為作用在物體上的正壓力；μ為摩擦系數(shù)；v為相對運動速度

兩個物體相互接觸，分別對這兩個物體施加外力。為了與鍵合圖符號一致，物體的質(zhì)量可以用I來表示，外力FA和FB為系統(tǒng)的輸入變量，RU為庫倫摩擦系數(shù)，RV為黏滯摩擦系數(shù)。根據(jù)庫倫模型，相對運動狀態(tài)下，向0結(jié)施加勢源；粘性模型下，向0結(jié)施加流源，即零相對速度。對上述模型分配因果關(guān)系，得到如圖3的所示的干摩擦鍵合圖模型。

圖3　存在干摩擦的兩物體鍵合圖模型 Fig.3 The bond graph model with dry friction

3含間隙和干摩擦的鉸鏈建模

圖4　鉸鏈模型 Fig.4 Model of the hinge

圖4為考慮徑向轉(zhuǎn)動的鉸鏈示意圖，兩構(gòu)件相互接觸處F為切向接觸力，N為法向接觸力。建模過程中僅考慮兩構(gòu)件鉸鏈處的徑向間隙，不考慮軸向的不對稱均勻間隙[16]。采用兩狀態(tài)非連續(xù)接觸模型，存在接觸和自由這兩個狀態(tài)，隨著機構(gòu)的運動狀態(tài)而切換改變。在接觸狀態(tài)中，兩個接觸面之間不僅有接觸力的存在，同時還有干摩擦的存在。

圖4中，用慣量I表示物體的質(zhì)量，轉(zhuǎn)動慣量用J表示，Ji-1和Ji分別表示鉸鏈單元所連接的兩個構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量，F(xiàn)i和Ni為鉸鏈處接觸反力，ω表示鉸鏈的相對角速度，加在系統(tǒng)上的外力用鍵合圖理論中的勢源表示，建立的相應(yīng)的非因果開關(guān)鍵合圖模型見圖5。圖5中Sw1和Sw2分別表示間隙和干摩擦的非典型開關(guān)鍵合圖元件，e2、esw1、esw2和f2、fsw1、fsw2分別為勢變量和流變量，表示力矩和速度，r為摩擦阻尼。

圖5　間隙和干摩擦同時存在的鉸鏈非因果鍵合圖模型 Fig.5 Thenon-casual bond graph model of hinge with clearance and dry friction

4四桿機構(gòu)非線性混合鍵合圖模型

以圖6所示的四桿機構(gòu)為例，L1、L2、L3和L4分別表示各個桿件的長度，θ1、θ2、θ3分別表示各個桿件與X軸的夾角。將圖5建立的含間隙和干摩擦非線性因素的非因果關(guān)系開關(guān)鍵合圖模型運用到四桿機構(gòu)的向量鍵合圖建模中，并分配因果關(guān)系，得到考慮連桿兩端鉸鏈間隙和干摩擦的四桿機構(gòu)混合鍵合圖模型見圖7。

圖6　四桿機構(gòu)模型 Fig.6 Model of four-bar linkage mechanism

根據(jù)圖7建立的鍵合圖模型，列寫整理后的矢量狀態(tài)方程如下：

圖7　間隙和干摩擦同時存在的四桿機構(gòu)混合鍵合圖模型 Fig.7 The hybrid bond graph model of four-bar hinge with clearance and dry friction

(A1+A2)m2g-A1e19-(A1+A2)e37-

(3)

(A1+A2)m3gA2[U12R12FN2sgn(v2)-

U13R13FN3sgn(v3)]

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

在對圖7進行狀態(tài)方程列寫、分析因果關(guān)系的過程中，發(fā)現(xiàn)其中兩個慣性元件存在不合適的因果關(guān)系，會引入非獨立的額外變量，增加未知數(shù)的個數(shù)，需要消除，可以用下式表示：

(9)

(10)

圖7中C2i為兩鉸鏈處等效彈簧的非線性系數(shù)，R2i為兩鉸鏈處的阻尼系數(shù)(處于接觸狀態(tài)下)，R1i為兩鉸鏈處的摩擦系數(shù)，m1、m2和m3表示桿件的質(zhì)量，M為系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)矩，MTFi為轉(zhuǎn)換器，Sf為流源，Ji表示各桿件的轉(zhuǎn)動慣量。

5數(shù)值仿真研究

考慮到上述矢量微分方程組含有間隙和干摩擦因素，具有很強的非線性，所以采用變步長四階龍格庫塔法來求解其微分方程組，以連桿為例，通過Matlab對其進行動力學(xué)仿真。仿真參數(shù)值為：各桿長L1=0.1 m，L2=L3=0.2 m；L4=0.32 m；質(zhì)量m2=m3=0.4 kg，m1=0.2 kg，輸入轉(zhuǎn)矩M=[0,0,10]TN·m,鉸鏈處粘滯摩擦系數(shù)Rvi=0.2(i=1,2)，庫倫摩擦系數(shù)R1i=0.5(i=1,2)，等效阻尼系數(shù)R2i=0.2(i=1,2)，剛度系數(shù)C21=C22=0.2，

布爾因子Uij取1，Ai(i=1,2,3,4)具有如下表達。

在t=0時刻，系統(tǒng)在扭矩作用下開始運動，由于間隙和干摩擦的存在，系統(tǒng)運行初期的穩(wěn)定性較差，仿真提取0～2s內(nèi)連桿的速度、質(zhì)心加速度和角加速度隨時間的變化情況，見圖8～圖10。

由含間隙和干摩擦非線性因素與理想情況下的四桿機構(gòu)質(zhì)心速度、質(zhì)心加速度和角加速度隨時間變化對比曲線可知，兩種情況下，連桿的質(zhì)心速度、加速度和角加速度隨時間的變化的總體趨勢相同。理想情況下，連桿的質(zhì)心速度、加速度和角加速度變化曲線較平緩，即系統(tǒng)運動相對穩(wěn)定。但考慮間隙和干摩擦非線性因素，在給定系統(tǒng)一個外扭矩輸入時，運動初期變化有起伏，即0～0.2 s內(nèi)連桿的質(zhì)心速度、加速度和角加速度與理想情況偏差較大且有跳動和沖擊現(xiàn)象，這是因為連桿兩端鉸鏈在從靜止到運動的初期會在間隙的兩狀態(tài)(自由狀態(tài)和接觸狀態(tài))之間變換，因此會使系統(tǒng)運行不穩(wěn)定，并且使速度和加速度在正負峰值處產(chǎn)生突變，發(fā)生沖擊。干摩擦的存在可以有效吸收運動能量，使加速度曲線大部分較為平緩，減緩沖擊，但是增加了鉸鏈處的磨損，使機構(gòu)的壽命降低，因此在實際工程中要綜合考慮間隙和干摩擦兩種非線性因素。

圖8 連桿的質(zhì)心X軸方向的速度曲線Fig.8SpeedcurveofX-axisoflinkcentroid圖9 連桿的質(zhì)心Y軸方向的加速度曲線Fig.9AccelerationcurveofY-axisoflinkcentroid圖10 連桿的角加速度曲線Fig.10Angularaccelerationcurveoflink

6結(jié)論

(1)提出了建立含間隙和干摩擦的四桿機構(gòu)非線性系統(tǒng)動力學(xué)模型的混合鍵合圖方法，分析了非線性因素對連桿動態(tài)特性的影響。

(2)間隙和干摩擦同時存在會使連桿機構(gòu)速度和加速度產(chǎn)生跳動和起伏等不穩(wěn)定現(xiàn)象，特別是在系統(tǒng)啟動初期或運動狀態(tài)改變時，此影響更為劇烈。這對于控制連桿機構(gòu)運動狀態(tài)改變時系統(tǒng)的運行穩(wěn)定性具有一定價值。

(3)在對于精度和穩(wěn)定性有較高要求的機械系統(tǒng)中，如汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，高速、重載機械和外太空機械臂展開機構(gòu)等，間隙和干摩擦同時存在對于連桿機構(gòu)動力學(xué)性能的影響更加需要考慮，因此提出的含間隙和干摩擦的四桿機構(gòu)混合鍵合圖模型的建模和分析方法對這些系統(tǒng)中連桿機構(gòu)的研究和設(shè)計具有一定的借鑒意義。

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