第一作者鄧小偉男，碩士生，1989年生

通信作者余征躍男，高級(jí)工程師，碩士生導(dǎo)師，1969年生

古箏弦振動(dòng)及琴碼的動(dòng)力學(xué)分析

鄧小偉1，余征躍1，姚衛(wèi)平1，陳民杰2

(1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240；2.上海民族樂(lè)器一廠(chǎng)，上海201101)

摘要：將古箏弦振動(dòng)簡(jiǎn)化為有界弦振動(dòng)模型，分別對(duì)撥弦和掃弦狀態(tài)下弦的振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。以撥弦為例，建立了弦振動(dòng)通過(guò)琴碼傳遞到古箏面板的動(dòng)力學(xué)模型，并利用Matlab數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量進(jìn)行驗(yàn)證。為古箏的弦振動(dòng)和琴碼傳遞過(guò)程的分析建立了理論模型，解決了古箏振動(dòng)聲學(xué)特性分析中的結(jié)構(gòu)模型簡(jiǎn)化問(wèn)題，為古箏的進(jìn)一步的研究提供了參考。

關(guān)鍵詞：古箏；有界弦振動(dòng)；琴碼；動(dòng)力學(xué)模型；動(dòng)力響應(yīng)分析；實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11132007，11272203)

收稿日期：2014-11-03修改稿收到日期：2015-01-13

中圖分類(lèi)號(hào):O329;TB532文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Dynamic analysis on Guzheng string vibration and bridge transmission

DENGXiao-wei1,YUZheng-yue1,YAOWei-ping1,CHENMin-jie2(1. School of Naval Architecture, Ocean & Civil Engineering, Shanghai Jiaotong Universty, Shanghai 200240, China; 2. Shanghai National Musical Instrument Factory, Shanghai 201101, China)

Abstract:The Guzheng string vibration was simplified into a bounded string vibration, and the vibrations during plucking and sweeping strings were dynamically analysed. A dynamic model of the process that the string vibration passes from the bridge to the Guzheng panel was built. The accuracy of the model proposed was verified through the comparison between the numerical results by using the Matlab simulation and the experimental data. The work of this paper provides a reliable theoretical model for the analysis of the string vibration and the bridge transmission process. The simplification of the structural model in analyzing the Guzheng vibro-acoustic characteristics was achieved and it will provide more or less support and guidance for the improvement of future Guzhengs.

Key words:guzheng; bounded string vibration; bridge; dynamics model; analysis of the dynamic response process; experimental verification

古箏是中國(guó)最古老的樂(lè)器之一，其音域?qū)拸V，音色清亮，表現(xiàn)力豐富，是可與鋼琴相媲美的弦樂(lè)器，既承載了傳播中國(guó)民族文化的重任，又能實(shí)現(xiàn)在未來(lái)得到很好的普及。而琴弦、琴碼作為古箏聲學(xué)系統(tǒng)中重要的振動(dòng)和傳導(dǎo)系統(tǒng)，其對(duì)古箏結(jié)構(gòu)的振動(dòng)聲學(xué)特性有著重要的影響[1]。但由于其振動(dòng)模型復(fù)雜，而對(duì)相關(guān)民族樂(lè)器的研究本就很少，所以對(duì)于古箏琴弦和琴碼的研究一直沒(méi)有受到重視。為了更好地了解古箏的發(fā)聲機(jī)理，系統(tǒng)地分析古箏的振動(dòng)聲學(xué)特性，為古箏的結(jié)構(gòu)聲學(xué)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)，并最終實(shí)現(xiàn)品質(zhì)可控古箏的批量化生產(chǎn)，對(duì)于古箏琴弦和琴碼的研究顯得尤為重要。總結(jié)相關(guān)樂(lè)器的弦振動(dòng)研究，李云芳[2]利用弦振動(dòng)的基本方程推導(dǎo)分析了使用平面錘、凸面錘和細(xì)棒敲擊揚(yáng)琴弦時(shí)的振動(dòng)方程，通過(guò)分析n次諧波衰減的快慢，得出不可使用細(xì)棒；楊健[3]回顧了琴弦研究的發(fā)展，討論了達(dá)朗貝爾的弦振動(dòng)方程，用理想撥弦模型分析了撥弦振動(dòng)的軌跡、觸弦點(diǎn)對(duì)音色和音量的影響等；Aramaki等[4]對(duì)相近的兩根鋼琴弦列的耦合作用進(jìn)行了分析，并通過(guò)數(shù)字波導(dǎo)模型的耦合對(duì)其進(jìn)行了聲音重建；Taguti[5]利用弦振動(dòng)方程建立了sawari的弦振動(dòng)模型，分析了弦端在振動(dòng)中觸弦點(diǎn)變化致使發(fā)出獨(dú)特音色的理論依據(jù)。

總結(jié)上述的琴弦振動(dòng)研究，結(jié)合弦振動(dòng)的基本理論[6-7]，本文對(duì)古箏的弦振動(dòng)進(jìn)行了分析，分別建立了撥弦和掃弦狀態(tài)下弦振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型[8-9]。對(duì)撥弦狀態(tài)下琴碼的傳遞作用做了理論分析，建立了振動(dòng)從琴弦到琴碼再到面板的動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了Matlab數(shù)值計(jì)算和驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)測(cè)量，對(duì)比驗(yàn)證了理論結(jié)果。

1簡(jiǎn)化古箏弦振動(dòng)模型

古箏的琴弦是以?xún)啥斯潭?，中間利用琴碼頂在古箏面板上的，演奏者一般通過(guò)撥弦或掃弦的形式讓琴弦獲得初始狀態(tài)后自由振動(dòng)，再由琴碼將振動(dòng)以力的形式傳遞到古箏面板上。雖然琴碼在弦振動(dòng)的過(guò)程中會(huì)有位移，但相對(duì)弦的振動(dòng)幅度屬于微小位移，琴碼可視為固定，可將其弦振動(dòng)簡(jiǎn)化為有界弦的振動(dòng)[10]。

設(shè)有效弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，以弦的左端固定點(diǎn)為原點(diǎn)，琴碼端為終點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，弦長(zhǎng)方向?yàn)閤軸，弦的振動(dòng)方向?yàn)閡軸，彈撥點(diǎn)在x=x0處，簡(jiǎn)化模型(見(jiàn)圖1)。

圖1　古箏弦振動(dòng)簡(jiǎn)化模型 Fig.1 A simplified model of Guzheng string vibration

2弦振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)建模分析

古箏演奏中最常用到的彈奏技法就是撥弦和掃弦，其中撥弦包括托、勾、抹、打等指法，它們都是在彈撥中給予弦初始狀態(tài)后自由振動(dòng)，但它們所給予的初始狀態(tài)卻有所不同，下面將分別對(duì)這兩種情況進(jìn)行力學(xué)分析。

2.1撥弦x=x0點(diǎn)

由于撥弦中各指法的撥弦角度不同，這里假設(shè)撥弦角度垂直向上，且忽略手指寬度，則整個(gè)弦的初始位移在u軸方向成線(xiàn)性變化。設(shè)彈撥點(diǎn)弦的初始位移為u0，之后弦開(kāi)始自由振動(dòng)，則撥弦的振動(dòng)可歸結(jié)為定解問(wèn)題(1)：

(1)

式中：a2=T/ρ，T為弦張力，ρ為弦的線(xiàn)密度。

利用分離變量法，以傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)其定解為：

(2)

式中：

(3)

(4)

將式(3)、式(4)代入定解式(2)得：

(5)

式(5)為撥弦時(shí)的振動(dòng)方程，其中n為正整數(shù)，n=1的部分為基波，其它每一個(gè)n代表一個(gè)諧波成分。當(dāng)x取定值且t=0時(shí)，由式(5)可知各階諧波的相位都為π/2，所以此處弦振動(dòng)方程的各階諧波成分的初始相位都相同且與基頻的初始相位一致。

2.2掃弦x=x0點(diǎn)

在掃弦過(guò)程中假設(shè)掃弦的手指寬度為p，則掃弦區(qū)間為x0-p/2≤x≤x0+p/2，弦的初始狀態(tài)除了呈線(xiàn)性變化的初始位移外，還在掃弦區(qū)間內(nèi)有初始速度。設(shè)彈撥點(diǎn)弦的初始位移為u0，在掃弦區(qū)間的初始速度為v0，之后弦開(kāi)始自由振動(dòng)，則掃弦時(shí)的振動(dòng)可歸結(jié)為定解問(wèn)題式(6)：

(6)

其定解同式(2)，其中：

(7)

(8)

將式(7)、式(8)代入定解式(2)得：

(9)

式(9)為掃弦時(shí)的振動(dòng)方程，其各階初始相位與n有關(guān)，為：

(10)

式中：

根據(jù)式(10)可知其振動(dòng)中各階諧波的初始相位都與n有關(guān)，相互之間存在著一定的相位差。

2.3對(duì)比分析撥弦與掃弦時(shí)的弦振動(dòng)

本文通過(guò)Matlab數(shù)值計(jì)算的方法以古箏21號(hào)弦為例對(duì)比分析撥弦與掃弦下的弦振動(dòng)情況。經(jīng)過(guò)對(duì)傳統(tǒng)古箏的測(cè)量，得到其有效弦長(zhǎng)L=950 mm，利用Tensometric-Combi-490張力測(cè)量?jī)x測(cè)得琴弦張力T=400 N，線(xiàn)密度ρ=20.57 kg/mm，彈撥位置取常用演奏位置x0=1/7L處[3]，最大初始位移u0=4 mm，利用polytec激光測(cè)振儀測(cè)得最大初始速度v0=1000mm/s，手指寬度p=15 mm。

分別對(duì)21號(hào)弦撥弦和掃弦時(shí)撥弦點(diǎn)即x=x0點(diǎn)的振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，其中取n=10，計(jì)算時(shí)長(zhǎng)t=1 s，時(shí)間間隔為Δt=0.000 04 s.對(duì)比式(5)與式(9)，發(fā)現(xiàn)掃弦狀態(tài)下正好比撥弦狀態(tài)下多出了初始速度引起的振動(dòng)項(xiàng)，為：

(11)

計(jì)算撥弦和掃弦時(shí)的時(shí)域曲線(xiàn)與Δu(x0,t)的時(shí)域曲線(xiàn)，見(jiàn)圖2。

圖2　琴弦振動(dòng)時(shí)x 0點(diǎn)的位移時(shí)域曲線(xiàn) Fig.2 Time domain curve of x 0 point of string vibration displacement

圖2(a)和圖2(b)分別給出了撥弦和掃弦時(shí)0.1 s內(nèi)弦振動(dòng)x0點(diǎn)的位移時(shí)域曲線(xiàn)，對(duì)比發(fā)現(xiàn)兩曲線(xiàn)的趨勢(shì)基本一致，最大位移也基本相同，大概在3.5～4.0 mm，由此可說(shuō)明古箏在撥弦和掃弦時(shí)的振動(dòng)幅度基本一樣。圖2(c)給出了掃弦中初始速度引起的振動(dòng)項(xiàng)Δu(x0,t)的時(shí)域曲線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)其振動(dòng)幅度相對(duì)撥弦狀態(tài)下的屬高階微小量，可知初始速度對(duì)于弦的振動(dòng)幅度影響較小，即撥弦與掃弦時(shí)的振動(dòng)幅度基本相同。根據(jù)前面分析的撥弦時(shí)各階諧波成分的初始相位都與基頻一致，而掃弦時(shí)各階諧波的初始相位與n相關(guān)，存在相位差，可見(jiàn)初始速度對(duì)于弦振動(dòng)的初始相位有影響。

3琴碼傳遞作用的建模分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

古箏演奏中琴弦的振動(dòng)通過(guò)琴碼傳遞到古箏面板，其傳遞過(guò)程主要是弦振動(dòng)時(shí)弦的形態(tài)產(chǎn)生變化，使琴弦張力以及琴弦與琴碼法相的夾角產(chǎn)生變化，這種變化使得通過(guò)琴碼向下傳遞到面板的力不斷改變，迫使古箏結(jié)構(gòu)做強(qiáng)迫振動(dòng)，從而發(fā)聲。

3.1琴碼作用的動(dòng)力學(xué)建模分析

假設(shè)琴弦的有效振動(dòng)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，琴碼的作用高度為h，琴弦振動(dòng)時(shí)弦張力為時(shí)變函數(shù)TL(t)，而琴碼向下傳遞給面板的力為時(shí)變函數(shù)F(t)，琴碼在傳遞作用時(shí)的位移忽略不計(jì)，只考慮力的作用，琴碼右邊的按弦部分作用也忽略，可得到琴碼傳遞的簡(jiǎn)化模型見(jiàn)圖3。

圖3　古箏琴碼傳遞簡(jiǎn)化模型 Fig.3 A simplified model of transfer function of the Guzheng bridge

根據(jù)所給出的簡(jiǎn)化模型圖3，進(jìn)行受力分析可知琴弦張力為：

(12)

式中：A=πd2/4，d為裸弦直徑，Δl為弦振動(dòng)時(shí)的形變量，E為弦芯鋼絲的彈性模量，T為靜態(tài)的弦張力。

根據(jù)撥弦時(shí)的弦振動(dòng)方程(5)分析弦的形變可知：

(13)

式中：

ux2(x,t)=(T(t)X′(x))2=

根據(jù)數(shù)學(xué)極限公式可得：

(14)

將式(14)代入式(13)有：

Δls(t)+Δlc(t)

(15)

這里將弦的形變量表示為各階弦振動(dòng)形變的疊加項(xiàng)Δls(t)與相互間的耦合項(xiàng)Δlc(t)之和，其中：

(16)

(17)

分析琴弦與琴碼的位置關(guān)系和受力情況，得到其左半弦(振動(dòng)部分)簡(jiǎn)化模型(見(jiàn)圖4)。

圖4　古箏琴碼傳遞理論模型 Fig.4 The theoretical model of the transmission function of Guzheng bridge

根據(jù)圖4對(duì)琴碼做受力分析，可知琴碼傳遞力為：

F(t)=TL(t)sin(α-β)≈TL(t)(sinα-sinβ)=

(18)

因?yàn)橄艺駝?dòng)的位移相對(duì)弦長(zhǎng)為小量，其中α、β都為小角度，所以有：

sin(α-β)≈sinα-sinβ，而sinβ=-ux(L,t)

將式(12)代入式(18)可得：

(19)

根據(jù)撥弦時(shí)推導(dǎo)的弦振動(dòng)方程(5)可得：

(20)

受力分析靜止?fàn)顟B(tài)下琴碼對(duì)面板向下的力為：

(21)

所以可知琴弦振動(dòng)通過(guò)琴碼向下傳遞的力為式(18)減去式(21)：

FL(t)=F(t)-F0≈

(22)

式中：

3.2琴碼作用力的Matlab計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量驗(yàn)證

對(duì)于上面推導(dǎo)的理論結(jié)果，本文通過(guò)Matlab數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量對(duì)比分析。以古箏21號(hào)弦為例，所涉參數(shù)同“2.3”，另弦有效內(nèi)徑為d=0.6 mm，彈性模量E=220 GPa，阻尼系數(shù)為ξ=0.35，彈撥位置取x0=1/7L處，琴碼與弦固定端垂直距離h=45 mm。計(jì)算中取前10階即n=10，計(jì)算時(shí)長(zhǎng)t=1 s，時(shí)間間隔為Δt=0.000 04s。其琴碼向下傳遞力的計(jì)算結(jié)果(見(jiàn)圖6)。

古箏琴碼對(duì)面板作用力的測(cè)量。利用KD3001力傳感器黏貼在處理過(guò)的琴碼的左右碼腳上，并保證其整體高度與原琴碼一致，將傳感器連接到AVANT-MI-2004調(diào)理放大器，信號(hào)通過(guò)9234采集卡連接至計(jì)算機(jī)，并利用LabVIEW進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，測(cè)試框圖(見(jiàn)圖5)。其中KD3001力傳感器成圓環(huán)形，外徑為φ16 mm內(nèi)徑為φ5 mm，且底面為平面，其測(cè)量范圍在1～5 kN，自身固有頻率在70 kHz，使用頻率在20 kHz。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，現(xiàn)場(chǎng)將弦的發(fā)音調(diào)至規(guī)定值，即21號(hào)弦所對(duì)應(yīng)音名D的頻率73.4 Hz，然后在弦1/7處進(jìn)行撥弦，同時(shí)記錄下弦振動(dòng)時(shí)琴碼左右碼腳力變化的數(shù)據(jù)。將測(cè)量結(jié)果按照左右碼腳對(duì)應(yīng)時(shí)間軸相加即琴碼整體向下作用的力，畫(huà)出最終的琴碼向下傳遞力實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線(xiàn)(見(jiàn)圖6)。

圖5　琴碼傳遞力測(cè)試框圖 Fig.5 The measurement test schematic diagram of transfer force of the bridge

圖6　琴碼向下傳遞力的理論值與實(shí)驗(yàn)值時(shí)域曲線(xiàn) Fig.6 The theoretical calculation and experimental time curves of bridge downward transfer force

根據(jù)時(shí)域曲線(xiàn)通過(guò)Matlab對(duì)其進(jìn)行FFT變換得到理論值和實(shí)驗(yàn)值的頻譜曲線(xiàn)(見(jiàn)圖7)。

圖7　琴碼向下傳遞力的理論值與實(shí)驗(yàn)值頻響曲線(xiàn) Fig.7 The theoretical calculation and experimental curves of bridge downward transfer force

圖6描述的是0.1s內(nèi)琴碼作用力理論值與實(shí)測(cè)值時(shí)域曲線(xiàn)的對(duì)比，可以看出兩者曲線(xiàn)形狀相似，其中理論值范圍從-10～3 N，而實(shí)驗(yàn)值為-10.5～2.5 N(力值為負(fù)值是因?yàn)榍俅a初始狀態(tài)就有受壓力，壓力減小即為負(fù))，理論值與實(shí)測(cè)值基本相近，其主要的峰值出現(xiàn)的時(shí)間差也相近。圖7描述了理論值和實(shí)驗(yàn)值頻譜曲線(xiàn)的對(duì)比，可知理論值與實(shí)測(cè)值的幅值變化趨勢(shì)相似，其中理論值基本接近實(shí)驗(yàn)值，第二階理論值小于實(shí)驗(yàn)值，相對(duì)誤差較大，第7階的理論值與實(shí)測(cè)值都接近為0。表1給出了前四階的具體數(shù)值對(duì)比和相對(duì)誤差。

表1　琴碼向下傳遞力理論值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

總體來(lái)說(shuō)琴碼向下傳遞力的理論數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值具有較好的一致性，考慮理論簡(jiǎn)化以及數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量的誤差，可見(jiàn)理論計(jì)算的結(jié)果基本可信，琴碼向下傳遞力的模型可行。其中頻響結(jié)果中第二階相對(duì)誤差較大，可能是忽略了面板與琴弦、琴碼的耦合作用導(dǎo)致的，因?yàn)樵诠殴~結(jié)構(gòu)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，古箏主結(jié)構(gòu)的二階固有頻率為138.13 Hz，正好與21號(hào)弦的二階諧波頻率146.8 Hz接近，可見(jiàn)其耦合作用較大，為此理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量都有待進(jìn)一步的完善。而其中第7階幅值都接近于0是由于彈撥時(shí)彈撥位置取了x0=1/7L時(shí)使得第7階以及7的倍數(shù)階諧波無(wú)法激起，故振幅為零。

4結(jié)論

通過(guò)對(duì)古箏在撥弦和掃弦時(shí)的弦振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模分析，分別得到了其弦振動(dòng)方程，對(duì)比發(fā)現(xiàn)掃弦時(shí)相對(duì)撥弦時(shí)多出了初始速度引起的弦振動(dòng)項(xiàng)，其對(duì)弦振動(dòng)的振幅影響較小，而對(duì)初始相位影響較大，其中撥弦時(shí)各階諧波的初始相位都一致，而掃弦時(shí)各階諧波都有不同的初始相位與n相關(guān)。建立了琴碼傳遞作用的動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)Matlab數(shù)值計(jì)算與動(dòng)力學(xué)測(cè)試分別得到了理論與實(shí)測(cè)的琴碼傳遞力曲線(xiàn)以及頻響曲線(xiàn)，對(duì)比發(fā)現(xiàn)琴碼向下傳遞力的理論數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值具有較好的一致性，考慮理論簡(jiǎn)化以及數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量的誤差，可見(jiàn)理論計(jì)算的結(jié)果可信，琴碼向下傳遞力的模型可行。

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