第一作者韓剛男，博士，1971年生

通信作者陳予恕男，教授，中國工程院院士，1931年生

受轉(zhuǎn)子位移激勵的航空壓氣機呼吸裂紋葉片的聯(lián)合共振

韓剛，陳予恕

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001)

摘要：研究了航空壓氣機呼吸裂紋葉片在轉(zhuǎn)子位移激勵下的聯(lián)合共振幅頻響應(yīng)的變化規(guī)律；葉片連續(xù)體模型采用伽遼金法簡化成單自由度的系統(tǒng)模型，通過多尺度法導(dǎo)出了葉片在參數(shù)激勵與位移激勵聯(lián)合作用下的共振幅頻響應(yīng)的一階近似方程；分析了裂紋的開合深度、裂紋所在截面的位置以及轉(zhuǎn)子在垂直與水平方向上的位移幅值差對幅頻響應(yīng)的影響；數(shù)值結(jié)果表明以上三個物理參數(shù)是促使葉片動力學(xué)行為發(fā)生變化的敏感參數(shù)，控制這三個物理參數(shù)的變化是有效防止葉片進一步破壞的根本途徑。

關(guān)鍵詞：壓氣機葉片；呼吸裂紋；聯(lián)合共振；伽遼金法；多尺度法

基金項目：國家自然科學(xué)

收稿日期：2014-05-04修改稿收到日期：2014-09-03

中圖分類號:O322文獻標(biāo)志碼：A

Combination resonance of aero-engine compressor blade with a breathing crack under displacement excitation of rotor shaft

HANGang,CHENYu-shu(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract:The amplitude-frequency response of combination resonance of an aero-engine compressor blade with a breathing crack under the lateral displacement excitation of the rotor shaft was investigated. The blade was simplified into a single degree of freedom system using Galerkin’s method. The first order equation of the resonance response under parametric excitation combining with displacement excitation was derived by using the multi-scale method. The effects of the opening and closing depth of crack, the location of lateral section with crack and the displacement amplitude of rotor shaft on the amplitude-frequency response of resonance were analyzed. The obtained results show that controlling the changes of the above mentioned parameters which are of great influence on the dynamic behavior is an effective measure for preventing fatigue of the blade.

Key words:compressor blade; breathing crack; combination resonance; galerkin’s method; multi-scale method

航空發(fā)動機低壓級葉片是發(fā)動機的重要部件，由于受多種動載荷的作用，極易產(chǎn)生疲勞裂紋，甚至導(dǎo)致破壞。在工程實踐中，基于振動響應(yīng)信號的裂紋無損檢測技術(shù)的研究吸引了大量工程技術(shù)人員的興趣。因此，帶有裂紋的壓氣機葉片振動(線性和非線性)響應(yīng)問題是近20～30年內(nèi)理論研究的熱點問題。通常為了理論計算、數(shù)值仿真以及實驗研究的方便，壓氣機裂紋葉片被簡化成帶有橫向裂紋的旋轉(zhuǎn)懸臂梁模型。在裂紋葉片振動分析中, 目前存在兩類裂紋模型: 張開(open)裂紋模型和呼吸(breathing )裂紋模型。大多數(shù)學(xué)者在研究中，為了簡化計算通常忽略疲勞裂紋的非線性效應(yīng)，而把裂紋看作張開裂紋考慮。然而真實的裂紋狀態(tài)與其所受的動載荷有關(guān)，一般情況下裂紋并不是一直處于張開狀態(tài)，是一種周期性張開-閉合的非線性過程。Gudmundson[1]試驗中發(fā)現(xiàn)：使用張開裂紋模型計算結(jié)構(gòu)頻率，將會導(dǎo)致過低評估結(jié)構(gòu)的損傷程度。

呼吸裂紋模型考慮了振動過程中裂紋張開—閉合的過程所帶來的非線性動力特性，更符合實際情況。Shen等[2]采用雙線性彈簧—質(zhì)量振子模型，以及方波函數(shù)模擬呼吸裂紋梁的剛度變化過程，分析了系統(tǒng)在時域中的譜特性和頻域中的諧波成分，該方法僅適用于結(jié)構(gòu)外部激勵頻率較低時呼吸裂紋梁的動力學(xué)分析。Chondros等[3]考慮裂紋的開合作用，推導(dǎo)了裂紋梁的理論分析公式，分析了梁的低階模態(tài)頻率并與實驗測量值進行比對，得到了一致的結(jié)果。Pugno等[4]根據(jù)周期性響應(yīng)和裂紋連續(xù)張開、閉合的假設(shè)，定義非線性系統(tǒng)的代數(shù)方程，采用迭代求解方法得到裂紋梁的動力響應(yīng)，分析了簡諧載荷作用下含多個呼吸裂紋梁的非線性動力響應(yīng)行為。Sunovsky等[5-6]提出呼吸裂紋梁的超諧波振動現(xiàn)象。然而，以上這些工作僅限于非旋轉(zhuǎn)的簡單裂紋梁動態(tài)響應(yīng)的研究。

另外，由于壓氣機葉片處于高速旋轉(zhuǎn)的工作狀態(tài)，考慮轉(zhuǎn)速對裂紋葉片非線性振動響應(yīng)影響是必要的。Chen等[7]采用有限元模型研究了具有各向異性旋轉(zhuǎn)裂紋梁的動態(tài)穩(wěn)定性，討論了旋轉(zhuǎn)速度、局部剛度以及纖維方向?qū)Я鸭y的正交各向異性梁的靜態(tài)屈曲載荷和動態(tài)不穩(wěn)定域影響。Wu等[8]研究了帶有橫向裂紋的旋轉(zhuǎn)梁動態(tài)行為，分析了不同轉(zhuǎn)速情況下裂紋深度和位置對梁固有頻率的影響。Akira等[9]采用頻域/時域的多諧波混合方法分析裂紋葉片的強迫振動響應(yīng)，討論了裂紋長度和旋轉(zhuǎn)速度對共振頻率的影響以及在轉(zhuǎn)速作用下裂紋幾何尺寸變化，共振頻率偏移和幅值多解引起的非線性突跳現(xiàn)象。

以上工作雖然研究了開-閉合裂紋葉片(或梁)的裂紋深度、位置以及轉(zhuǎn)速對固有頻率的改變規(guī)律，針對葉片(或梁)振動的時域信號譜分析給出裂紋葉片(或梁)強迫振動存在亞諧波、超諧波響應(yīng)的非線性動力學(xué)現(xiàn)象，但是并沒有詳細(xì)分析特定工況下(受轉(zhuǎn)子位移激勵)裂紋(尺寸和位置)參數(shù)變化時，系統(tǒng)某一具體共振形式的幅頻響應(yīng)的變化規(guī)律。本文在前面提到的工作基礎(chǔ)之上，采用呼吸裂紋模型，分析旋轉(zhuǎn)呼吸裂紋葉片參數(shù)激勵與外部激勵(時變剛度和轉(zhuǎn)子位移)聯(lián)合作用下的共振幅頻響應(yīng)，討論系統(tǒng)參數(shù)變化時聯(lián)合共振幅頻響應(yīng)的演變規(guī)律。

1位移激勵作用的無裂紋旋轉(zhuǎn)葉片的運動方程

圖1　裂紋葉片的力學(xué)簡圖 Fig.1 Sketch of the blade with a breathing crack

在平面運動時，變形后葉片的一點P的位移為：

yP=xcn1+ycn2+(R+x)a1+wa2

(1)

式中：x，w(x,t)分別為梁變形前P點的位置和變形后P點橫向位移。

采用如下的坐標(biāo)變換

(2)

P點的速度可以表示為

(3)

式中:“·”為變量對時間的導(dǎo)數(shù)。

葉片的動能可以表示為

(4)

式中:m為單位長度葉片的質(zhì)量。

關(guān)于變形能的計算只考慮橫向彎曲變形能，橫向位移引起的軸向變形能以及離心慣性力引起的軸向變形能。

軸向應(yīng)變?yōu)閇10 ]：

式中：u(x,t)為葉片的軸向位移?！啊洹睘樽兞繉ξ恢米鴺?biāo)x的偏導(dǎo)數(shù)。

在軸向應(yīng)變的計算時，忽略相對橫向位移較小的軸向位移u(x,t)以及較小的y·w″項，軸向應(yīng)變可以近似為

(5)

橫向和軸向變形能的和為

(6)

式中：E和I分別為葉片材料的楊氏彈性模量和葉片的截面的慣性矩。

離心慣性力為

(7)

離心慣性力引起的軸向伸長變形能為

(8)

實踐表明，結(jié)構(gòu)共振時共振模態(tài)起決定性作用，而其它模態(tài)影響較小。根據(jù)實際情況，我們認(rèn)為系統(tǒng)的外激勵頻率應(yīng)與系統(tǒng)第一階模態(tài)頻率相接近。為了簡化計算，本文只考慮第一階模態(tài)對裂紋葉片振動性態(tài)的影響，采用伽遼金法把葉片(懸臂梁)簡化為具有集總參數(shù)的單自由度系統(tǒng)[11]。

設(shè)裂紋梁具有如下的振動形式：

w(x,t)=q(t)φ(x)

(9)

式中：φ(x)為一階模態(tài)振型函數(shù)，q(t)為一階模態(tài)坐標(biāo)的位移函數(shù)。

為了得到系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度，假設(shè)一階模態(tài)振型函數(shù)為[12]：

(10)

根據(jù)拉格朗日原理，推導(dǎo)系統(tǒng)的運動方程。拉格朗日函數(shù)為

(11)

把式(4)，式(6)，式(8)，式(9)，式(10)和式(11)代入下式

(12)

得到系統(tǒng)的運動方程為：

(13)

考慮到實際系統(tǒng)會受到阻尼的影響，在方程(13)中引入阻尼系數(shù)為c的粘性阻尼作用，把方程(13)改寫為：

(14)

式中:

2位移激勵作用的旋轉(zhuǎn)裂紋葉片的運動方程

本文考慮的裂紋是一種呼吸裂紋形式，此裂紋有三種開—閉合狀態(tài)：全開，全閉和半開半閉。因此呼吸式裂紋梁的剛度是由張開式裂紋剛度和閉合式裂紋剛度組合而成，剛度表達式為:

(15)

式中:kbr為呼吸式裂紋剛度；ko為張開式裂紋剛度；kc為閉合式裂紋剛度。當(dāng)裂紋全閉時，kbr=kc=k。裂紋全開時，kbr=ko。F(t)為裂紋開閉合函數(shù)。

裂紋全閉時剛度為：

(16)

式中:Cc為裂紋閉合時梁的柔度。

裂紋全開時剛度為：

(17)

式中:Co為裂紋全開時梁的柔度。根據(jù)斷裂力學(xué)理論Co=Cc+ΔC，ΔC為裂紋引入的附加柔度。它的表達式為[13]：

(18)

式中:αc=lc/L為裂紋所在橫截面的無量綱位置。

φ=19.60α10-40.69α9+47.04α8-32.99α7+

20.30α6-9.98α5+4.60α4-1.05α3+0.63α2

α=a/B為裂紋的無量綱深度。E為楊氏彈性模量，ν為泊松比。

根據(jù)以上的論述，用裂紋的呼吸剛度kbr代替式(14)中剛度k得到呼吸裂紋梁的運動方程：

(19)

把xc=D1sin(ωt)，yc=D2cos(ωt)代入式(19)中，得到運動方程為:

(20)

對式(20)進行無量綱處理，引入變量

得到無量綱后的運動方程

f1cos(n1τ)+f2cos(n2τ)

(21)

3裂紋葉片的聯(lián)合共振響應(yīng)

從系統(tǒng)運動方程式(21)可知:系統(tǒng)可能存在多種復(fù)雜的聯(lián)合共振響應(yīng)。但是系統(tǒng)最終會出現(xiàn)什么樣的聯(lián)合共振響應(yīng)，還要取決于實際的物理參數(shù)(例如模態(tài)頻率和外激勵頻率等)。我們對實際葉片進行分析，認(rèn)為系統(tǒng)極有可能出現(xiàn)外激和參激聯(lián)合的一階模態(tài)主共振的情況。

(22)

重新標(biāo)度η→εη，γ→εγ，β→εβ，f1→εf1，f2→εf2，使阻尼項，非線性項以及激勵項同時出現(xiàn)在一個攝動方程中。于是式(21)變?yōu)?/p>

(23)

采用多尺度法求式(22)的一階近似幅頻響應(yīng)方程[15]。首先設(shè)

將式(22)、式(24)代入式(23)，令兩端ε同次冪系數(shù)相等，得

(25)

(26)

設(shè)式(25)的通解為

式中:φ=n0T0+φ(T1)。

(27)

式中:A′，φ′分別為對T1的偏導(dǎo)數(shù)。

(28)

式中:θ1=σ1T1-φ，θ2=σ2T1-φ。

由式(28)可見，如果穩(wěn)態(tài)解(A′=0)存在，則必有θ1和θ2等于常數(shù)，于是σ1=φ′=σ2。令θ=σ1T1-φ，改寫式(28)為

(29)

對于穩(wěn)態(tài)振動，A′=θ′=0。于是得到如下方程：

(30)

式(30)中兩式兩邊平方相加，得

(31)

式(31)代入式(30) 的第二式，得

(1)平凡解，A=0。

(2)非平凡解A≠0時，A滿足下式

(32)

4數(shù)值結(jié)果與討論

表1　葉片不變的物理參數(shù)

實際上，在方程(21)中參數(shù)激勵幅值γ的大小與裂紋開合深度以及裂紋所在截面的位置是相關(guān)的。裂紋開合深度α越大，裂紋所在橫截面位置αc越小(距離葉片根部越近)，參數(shù)激勵幅值γ越大。

4.1裂紋深度對幅頻響應(yīng)的影響

圖2　隨裂紋深度α變化的幅頻響應(yīng) ( 1=0.000 5，α c=0.5) Fig.2 Amplitude-frequency response versus depth of crack α( 1=0.000 5，α c=0.5)

圖3　隨裂紋深度α變化的幅頻響應(yīng) α( 1=0.000 5，α c=0.5) Fig.3 Amplitude-frequency response versus depth of crack ( 1=0.000 5，α c=0.5)

4.2裂紋位置對幅頻響應(yīng)的影響

為了考察裂紋所在橫截面的位置變化對共振響應(yīng)的影響。首先設(shè)轉(zhuǎn)子的位移幅值差和裂紋在橫截面內(nèi)的開合深度為某一固定值，從而改變裂紋所在橫截面的位置，分析其對幅頻特性的影響。

4.3轉(zhuǎn)子位移幅值差對幅頻響應(yīng)的影響

分為兩種情況考察轉(zhuǎn)子的垂直與水平位移幅值差對聯(lián)合共振響應(yīng)的影響。

圖4　隨裂紋位置α c變化的幅頻響應(yīng) ( 1=0.000 5，α=0.38) Fig.4 Amplitude-frequency response versus location of crack α c ( 1=0.000 5，α=0.38)

圖5　隨轉(zhuǎn)子位移幅值差( 1變化的 幅頻響應(yīng)(α c=0.1,α=0.30) Fig.5 Amplitude-frequency response versus difference of displacement amplitude ( 1(α c=0.1,α=0.30)

圖6　轉(zhuǎn)子位移幅值差 1變化的 幅頻響應(yīng)(α c=0.1,α=0.38) Fig.6 Amplitude-frequency response versus difference of displacement amplitude 1(α c=0.1,α=0.38)

5結(jié)論

裂紋的開合深度以及裂紋所在橫截面的位置變化直接導(dǎo)致參數(shù)激勵幅值的改變，從而使得幅頻響應(yīng)的幅值以及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(滯后和分岔)發(fā)生變化。裂紋在橫截面內(nèi)的開合深度存在一個特定的分岔臨界閾值，不同的橫截面內(nèi)分岔臨界閾值不同。越靠近葉片根部的橫截面內(nèi)，裂紋開合深度閾值越小。這說明裂紋出現(xiàn)在葉片根部區(qū)域時，裂紋的開合變化對葉片振動性態(tài)影響較大，微小的改變會帶來幅頻響應(yīng)的顯著變化。

轉(zhuǎn)子位移幅值差的變化僅僅改變幅頻響應(yīng)幅值的變化，而響應(yīng)幅值的變化促使響應(yīng)的滯后趨勢發(fā)生變化。共振峰的分岔又僅取決于裂紋的開合深度以及裂紋所在橫截面的位置(即參數(shù)激勵幅值的大小)。共振峰分岔前，轉(zhuǎn)子位移幅值差增加，響應(yīng)幅值加大，滯后趨勢增強。共振峰分岔后，轉(zhuǎn)子位移幅值差增加使得幅頻響應(yīng)的分岔區(qū)域所對應(yīng)的幅值逐漸上升到一個很高的水平，分岔區(qū)域?qū)?yīng)的頻率域遠(yuǎn)離線性共振頻率點。以上的分析是假定裂紋的開合深度不隨轉(zhuǎn)子位移幅值差的變化而改變的。然而實際上，在響應(yīng)分岔前，轉(zhuǎn)子的位移幅值差增加使得響應(yīng)幅值增加，而響應(yīng)幅值增加會不可避免地使得裂紋持續(xù)開裂，最終導(dǎo)致響應(yīng)分岔。導(dǎo)致轉(zhuǎn)子幅值差變化的因素很多。例如在轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)中，如果轉(zhuǎn)子軸承間隙或剛度在方向上存在較大差異，那么必然導(dǎo)致轉(zhuǎn)子在兩個方向上的位移幅值差變大(橢圓軌跡變得狹長)，最終可能導(dǎo)致葉片的響應(yīng)分岔。

對于裂紋來說，葉片的根部區(qū)域是一個敏感區(qū)域。此區(qū)域由于應(yīng)力水平高，應(yīng)力集中明顯，又是裂紋極易萌生的區(qū)域。轉(zhuǎn)子位移幅值差的變化又是促使裂紋開合深度變化的外在驅(qū)動力。因此盡可能地消除產(chǎn)生裂紋的外部因素，抑制裂紋的擴展，避免裂紋產(chǎn)生于葉片根部敏感區(qū)域以及控制可能引起轉(zhuǎn)子振動位移幅值差變化的結(jié)構(gòu)參數(shù)是葉片保持低幅值的、平穩(wěn)的振動性態(tài)，有效地防止葉片進一步破壞的根本措施。

參考文獻

[1]Gudmundson P. The dynamic behavior of slender structures with cross-sectional cracks[J]. Journal of Mechanics Physics Solids, 1983, 31(4):329-345.

[2]Shen M H H, Chu Y C. Vibrations of beams with a fatigue crack[J]. Computers & Structures, 1992, 45(1):79-93.

[3]Chondros T, Dimarogonas A, Yao J. Vibration of a beam with a breathing crack[J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 239(1):57-67.

[4]Pugno N, Surace C, Ruotolo R. Evaluation of the non-linear dynamic response to harmonic excitation of a beam with several breathing cracks[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 235(5):749-762.

[5]Bovsunovsky A P, Surace C. Consideration regarding superharmonic vibrations of a cracked beam and the variation in damping caused by the presence of the crack[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 288(4/5):865-886.

[6]胡家順, 馮新, 周晶. 呼吸裂紋梁非線性動力特性研究[J].振動與沖擊, 2009, 28(1):76-87.

HU Jia-shun, FENG Xin, ZHOU Jing. Study on nonlinear dynamic response of a beam with a breathing crack[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(1):76-87.

[7]Chen Lienwen, Shen Gengshin. Dynamic stability of cracked rotating beams of general orthotropy[J]. Composite Structures, 1997, 37(2):165-172.

[8]Wu M C, Huang S C. On the vibration of a cracked rotating blade[J]. Shock and Vibration, 1998, 5(5/6):317-323.

[9]Saito A, Castanier M P, Pierre C, et al. Efficient nonlinear vibration analysis of the forced response of rotating cracked blades[J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2008, 4(1):011005.

[10]Arvin H, Bakhtiari-Nejad F. Non-linear modal analysis of a rotating beam[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2011, 46(6):877-897.

[11]Rezaee M, Hassannejad R. Free vibration analysis of simply supported beam with breathing crack using perturbation method[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2010, 23(5):459-470.

[12]Dimarogonas A D, Paipetis S A. Analytical methods in rotor dynamics[M]. Elsevier Applied Science, London, 1986.

[13]Douka E, Hadjileontiadis L J. Time-frequency analysis of the free vibration response of a beam with a breathing crack[J]. NDT&E International,2005, 38(1):3-10.

[14]Cheng M, Wu J, Wallace W. Vibrational response of a beam with a breathing Crack[J]. Journal of Sound and vibration, 225(1):201-208.

[15]陳予恕. 非線性振動[M]. 北京:高等教育出版社, 2002.