第一作者張亞偉男，博士，1972年生

高速球軸承主軸系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型及其優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

張亞偉1， 金翔1， 李蓓智1， 梁越升2

(1.東華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海201620； 2. 佐治亞理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，Georgia30332-0320)

摘要：提出和實(shí)現(xiàn)了角接觸球軸承的動(dòng)剛度計(jì)算方法，可以有效地考察軸承預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速對(duì)軸承動(dòng)剛度的作用。提出了基于高速軸承動(dòng)剛度的高速主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，以及高速主軸工作性能的綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法通過綜合考慮軸承動(dòng)剛度、主軸軸承配置方式、工作轉(zhuǎn)速受限系數(shù)、主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)、撓性接頭細(xì)頸磨削工藝及其對(duì)高速主軸的精度要求等，快速解析影響主軸工作性能的重要因素及其耦合關(guān)系，準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)高速主軸系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案中的薄弱環(huán)節(jié)，并對(duì)重要影響因素及其取值進(jìn)行有效的協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)，為實(shí)現(xiàn)主軸系統(tǒng)高性能目標(biāo)奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：高速主軸系統(tǒng)；工作性能；角接觸球軸承；動(dòng)力學(xué)模型；計(jì)算方法；優(yōu)化方法

基金項(xiàng)目：國家863計(jì)劃項(xiàng)目(2012AA041309);國家重大科技專項(xiàng)(2011ZX04016-041)

收稿日期：2014-08-11修改稿收到日期：2014-10-23

中圖分類號(hào):TH212；TH213.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Dynamic modelling and optimization design of spindle systems with high-speed ball bearings

ZHANGYa-wei1,JINXiang1,LIBei-zhi1,LIANGYue-sheng2(1. College of Mechanical Engineering, University Donghua, Shanghai 201620, China；2. School of Mechanical Engineering, Georgia Institute of Technology, Atlanta, Georgia 30332-0320, U.S.A)

Abstract:A calculation method for the dynamic rigidity of angular contact ball bearings was put forward and realized. By using the method, the mechanism of how the dynamic rigidity is affected by the preload of bearings and rotation speed was effectively investigated. The dynamic model of a high-speed spindle system was built on the basis of analysing the dynamic rigidity of high-speed bearings, and an integrated optimization design method for the work performance of the high-speed spindle was proposed. In the method, the dynamic rigidity of bearing, spindle bearing configuration, working speed limiting factor, structural parameters of spindle, grinding process for flexible connector necking and demand on accuracy of high-speed spindle were comprehensively considered to analyse quickly the key factors affecting the work performance of spindle and to inspect the coupled relations among these factors. So that, the weakness in the design scheme of high-speed spindle can be accurately identified and the influential key factors and their correspondent values can be effectively determined in a coordinated fashion. The study lays a foundation to realize the design of high performance spindle systems.

Key words:high-speed spindle system; work performance; angular contact ball bearings; dynamic model; .calculation method; optimization method

機(jī)床對(duì)現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展至關(guān)重要。機(jī)床性能是根據(jù)被加工工件的尺寸精度和表面光潔度進(jìn)行評(píng)估的，而這些加工結(jié)果都與機(jī)床主軸-軸承系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性密切相關(guān)[1]。隨著高速超高速加工技術(shù)的優(yōu)勢(shì)得到越來越廣泛的認(rèn)可和應(yīng)用，高速主軸及其常用的高速球軸承的動(dòng)態(tài)特性研究已為越來越多專家學(xué)者和技術(shù)人員所關(guān)注。

很多學(xué)者開展了相關(guān)基礎(chǔ)研究和軸承或高速電主軸的相關(guān)研究基于Hertz[2]接觸理論，建立了包括慣性力在內(nèi)的用于滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)分析的擬靜力學(xué)模型。Harris[3]在Jones的基礎(chǔ)上提出了更完善的軸承計(jì)算模型，其中考慮了高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，滾球的陀螺效應(yīng)，并建立了經(jīng)典的Jones & Harris滾動(dòng)軸承內(nèi)部動(dòng)態(tài)載荷數(shù)值計(jì)算模型。Gupta[4]考慮了滾球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、受力狀態(tài)以及各零件間的相互作用, 提出了滾動(dòng)軸承受力分析的動(dòng)力學(xué)模型。劉艷華等[5]基于Hertz接觸理論，對(duì)軸徑向聯(lián)合載荷作用下的高速角接觸球軸承進(jìn)行了靜剛度計(jì)算與分析。王保民等[6]以彈性力學(xué)理論、滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)分析理論等為基礎(chǔ)，建立了高速角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)方程，考察了預(yù)緊力對(duì)高速角接觸球軸承動(dòng)態(tài)特性的影響。朱益利等[7]等根據(jù)Hertz接觸理論和剛性套圈理論，建立了角接觸滾珠軸承的擬靜力學(xué)模型，提出了減少非線性方程和引入迭代步長調(diào)節(jié)因子的方法，解決了Newton-Raphone迭代法求解非線性方程組存在的不收斂和振蕩問題。陳小安[8]建立了考慮內(nèi)圈彎曲變形的角接觸球軸承動(dòng)剛度分析模型，經(jīng)理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，內(nèi)圈徑向撓度和軸承軸向載荷成正比、與轉(zhuǎn)速成反比。劉良勇[9]根據(jù)彈性力學(xué)理論，建立了軸承內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)速與徑向游隙、保持架和溝道底部應(yīng)力的關(guān)系模型，討論了轉(zhuǎn)速對(duì)軸承工作性能的影響。李純潔等[10]提出了角接觸球軸承動(dòng)剛度的測(cè)試方法，分析了不同預(yù)緊力、轉(zhuǎn)速對(duì)角接觸球軸承動(dòng)剛度的影響，發(fā)現(xiàn)預(yù)緊力<500 N時(shí)，角接觸球軸承動(dòng)剛度與預(yù)緊力正相關(guān)。

然而，正如Lin所言，在回顧與總結(jié)69篇與主軸-軸承系統(tǒng)設(shè)計(jì)建模有關(guān)的研究論文后，認(rèn)為未來值得研究和具有前景的課題包括五方面，其中：①大部分文章與高速機(jī)加工有關(guān)，建議加強(qiáng)高速加工對(duì)主軸和軸承動(dòng)態(tài)特性影響的研究；②設(shè)計(jì)方法論文數(shù)量少于動(dòng)態(tài)模型，因此，建議應(yīng)用經(jīng)典或現(xiàn)代優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行高速主軸-軸承系統(tǒng)設(shè)計(jì)等。為此，本文將以高速球軸承為對(duì)象，構(gòu)建角接觸球軸承的動(dòng)剛度解析模型，提出基于高速軸承工作速度及其精度目標(biāo)的動(dòng)剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，揭示軸承球徑與數(shù)量、預(yù)緊力和工作速度對(duì)軸承剛度的非線性演變規(guī)律，通過對(duì)上述軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)、工作參數(shù)等的綜合協(xié)調(diào)，評(píng)估和實(shí)現(xiàn)高速主軸的目標(biāo)性能。

1高速角接觸球軸承動(dòng)剛度解析模型的推導(dǎo)

高速滾動(dòng)軸承動(dòng)剛度是制約高性能軸承工作性能的關(guān)鍵指標(biāo)，在這一研究領(lǐng)域，國內(nèi)外專家學(xué)者進(jìn)行了大量研究，取得了許多重要進(jìn)步：Jones[11-12]著重研究了滾動(dòng)體在軸承內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方式和滾動(dòng)體與滾道之間的接觸機(jī)制，這以后，Harris 在Jones理論的基礎(chǔ)上提出了更為全面的軸承計(jì)算模型，這個(gè)模型稱為JH模型，盡管JH在分析軸承動(dòng)力學(xué)某些參數(shù)時(shí)有良好效果，但是其計(jì)算過程太過于復(fù)雜；Gargiulo[13]提出了一個(gè)用于計(jì)算軸承載荷-變形的經(jīng)驗(yàn)公式，然而只能應(yīng)用于計(jì)算靜態(tài)剛度；Kraus等[14]通過模態(tài)測(cè)試測(cè)量了軸承的剛度和阻尼等參數(shù)，認(rèn)為軸承動(dòng)剛度與靜剛度非常接近，用靜剛度代替動(dòng)剛度，顯然結(jié)論難以令人信服，特別是高速狀態(tài)。本文提出了一種高速角接觸球軸承動(dòng)剛度解析計(jì)算模型，與目前已有的滾動(dòng)軸承動(dòng)剛度計(jì)算模型相比，本文提出模型的不同之處與創(chuàng)新點(diǎn)在于：①已有的模型大多數(shù)采用靜剛度優(yōu)勢(shì)動(dòng)剛度，使理論計(jì)算結(jié)果與工程應(yīng)用有較大偏差，本文提出的模型通過定義與外載荷非直接關(guān)聯(lián)的位移和接觸變形量為直接變量函數(shù)，構(gòu)建的計(jì)算模型反映了高速軸承動(dòng)剛度狀況，為高速主軸性能優(yōu)化提供了依據(jù)；②JH模型雖然可用于軸承動(dòng)力學(xué)參數(shù)計(jì)算，但計(jì)算過程復(fù)雜，且計(jì)算涉及相當(dāng)數(shù)量非線性方程組，且參數(shù)間有很強(qiáng)的耦合性，影響計(jì)算的效果。③本文提出的模型聚焦影響軸承動(dòng)剛度關(guān)鍵要素及其關(guān)系，表達(dá)簡單直接明確，大大減少了計(jì)算量。在外載荷和軸承轉(zhuǎn)速的共同作用下，軸承滾球與內(nèi)外環(huán)滾道的接觸位置會(huì)發(fā)生改變。圖1給出了軸承外環(huán)被固定的情況下，滾球與內(nèi)環(huán)相對(duì)外環(huán)滾道的偏移和接觸變形情況，其中:Oi′和Obq′為偏移后的內(nèi)環(huán)滾道曲率中心和滾球中心。Fa、Fcq、Mgq、Qiq、Qoq分別為軸向外載荷、離心力、陀螺力矩，以及內(nèi)外環(huán)滾道對(duì)滾球的反作用力。Fa包括預(yù)緊力Fpl。δiq和δoq分別為滾球與內(nèi)外環(huán)滾道的接觸變形。αiq、αoq分別為滾球與內(nèi)外環(huán)滾道的接觸角，隨著位置偏移量或變形的增大，軸承的動(dòng)態(tài)內(nèi)接觸角αiq增大，但動(dòng)態(tài)外接觸角αoq減小。足標(biāo)q表示第q個(gè)滾球。

圖2定義了軸承坐標(biāo)系和滾球的方位角，其中設(shè)z為軸承軸向、x和y為徑向，相應(yīng)變量統(tǒng)一用足標(biāo)a和r表示。φq為第q個(gè)滾球的方位角，Ri為軸承動(dòng)態(tài)載荷下內(nèi)環(huán)滾道的曲率半徑，Z為軸承滾球數(shù)。

設(shè)：軸承內(nèi)環(huán)徑向、軸向和旋轉(zhuǎn)方向上的外部載荷為Fr、Fa、M。根據(jù)圖1～圖2，可以建立如式(1)～式(3)所示的力平衡方程式。

圖1　滾球與滾道動(dòng)態(tài)接觸及位置偏移示意圖 Fig.1 Schematic diagram for dynamic contact between ball and raceway and their relative offsets

圖2　軸承坐標(biāo)系及滾球方位角示意圖 Fig.2 Schematic diagram for ball’s position angle with bearing’s coordinate

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：Kiq為Hertz接觸剛度系數(shù)，可依據(jù)文獻(xiàn)[13]查詢和計(jì)算。

圖3給出了內(nèi)環(huán)和滾球偏移和接觸變形后的幾何關(guān)系，相關(guān)函數(shù)關(guān)系式如式(5)～式(11)所示。

(5)

(6)

圖3　滾球與內(nèi)環(huán)偏移前后的幾何關(guān)系示意圖 Fig.3 Schematic diagram for geometric relationship between ball and inner ring with their offset and without offset

(7)

Ooi′(r)=BDcosα0+δrq

(8)

(9)

(10)

將式(4)～式(6)代入式(1)～式(3)，以建立外載荷與位移或接觸變形的關(guān)聯(lián)模型，如式(11)～式(13)。

(11)

(12)

(13)

設(shè)：Oob′(a)、Oob′(r)、δiq、cosφq、sinφq是δr、δa、δφ的函數(shù)，如式(14)所示，代入式(11)～式(13)后形成式(15)～式(17)。

Oob′(a)=fa(δr，δa，δφ)

Oob′(r)=fr(δr，δa，δφ)

δiq=fδi(δr，δa，δφ)

(14)

cosφq=fφc(δr，δa，δφ)

sinφq=fφs(δr，δa，δφ)

(15)

(16)

(17)

BD=ri+ro-D

(18)

對(duì)式(15)～式(17)求偏導(dǎo)，以獲得軸承的軸向、徑向和角動(dòng)剛度，如式(19)～式(21)所示。

Kr=

(19)

Ka=

(20)

Kφ=

(21)

式(19)～式(21)給出了高速角接觸滾動(dòng)球軸承動(dòng)態(tài)載荷下，計(jì)算動(dòng)剛度的解析方法。該數(shù)學(xué)模型以轉(zhuǎn)速和外載荷的作用為前提，與以往的計(jì)算模型不同，計(jì)算的是動(dòng)剛度，通過這個(gè)數(shù)學(xué)模型，可以通過解析法對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可以得到軸承的軸向、徑向和角動(dòng)剛度精確計(jì)算值。

2高速主軸工作性能的綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

任何工序的加工精度及表面質(zhì)量主要取決于機(jī)床主軸系統(tǒng)及進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)工作性能。機(jī)床主軸系統(tǒng)設(shè)計(jì)涉及工藝目標(biāo)、主軸轉(zhuǎn)速、軸承剛度、軸承預(yù)緊力、主軸軸承配置方式、工藝載荷等多種要素，這些要素不僅相互作用，而且還具有交錯(cuò)與分層的耦合作用，從而使主軸系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)變得極為復(fù)雜(見圖4)。為此，以磨削撓性接頭細(xì)頸的納米磨床主軸系統(tǒng)設(shè)計(jì)為對(duì)象，討論和提出高速主軸工作性能的綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法的工作流程：①明確設(shè)計(jì)目標(biāo)及技術(shù)要求；②高速主軸方案設(shè)計(jì)；③軸承預(yù)選及其動(dòng)剛度計(jì)算；④主軸實(shí)際可達(dá)工作轉(zhuǎn)速及最高轉(zhuǎn)速計(jì)算；⑤基于軸承動(dòng)剛度的高速主軸動(dòng)力學(xué)模型及其計(jì)算分析；⑥基于高速主軸相關(guān)要素的優(yōu)化調(diào)設(shè)計(jì)，并給出優(yōu)選設(shè)計(jì)結(jié)果。

圖4　機(jī)床主軸系統(tǒng)設(shè)計(jì)所涉及的要素及其相互作用圖 Fig.4 Factors and their interaction for design of machine tool’s spindle system

2.1設(shè)計(jì)目標(biāo)與技術(shù)要求

根據(jù)納米磨床整機(jī)設(shè)計(jì)、撓性接頭細(xì)頸精度及其表面質(zhì)量等的綜合要求，主要技術(shù)要求如下：砂輪線速度>8 m/s；高速主軸砂輪端部的徑向跳動(dòng)<0.5 μm；磨削力約3～6 N；納米磨床主軸部件重量不超過10 kg。

綜合主要技術(shù)要求，初步確定高速主軸工作轉(zhuǎn)速應(yīng)>80 000 r/min；主軸支承軸頸直徑應(yīng)<18 mm；前后軸承距離應(yīng)<200 mm；砂輪磨桿直徑為9 mm(據(jù)相關(guān)品牌產(chǎn)品目錄)。

2.2主軸軸承選型及其動(dòng)剛度計(jì)算

根據(jù)以上的設(shè)計(jì)目標(biāo)和初選參數(shù)，選擇FAG的高速陶瓷球軸承，并確定前端和后端的軸承內(nèi)徑分別為17 mm和15 mm，型號(hào)分別為HCB71903-C-T-P4S和HCB71902-C-T-P4S，滾球數(shù)均為15。

如圖2所示，對(duì)于不同的徑向載荷，處于每個(gè)方位角的滾動(dòng)體也有不同的實(shí)際接觸角，當(dāng)徑向載荷增大時(shí)，內(nèi)外接觸角的差異開始變得明顯；同時(shí)軸承內(nèi)滾動(dòng)體的離心力和陀螺力矩的作用使得每一個(gè)滾動(dòng)體都會(huì)與內(nèi)外滾道發(fā)生接觸，產(chǎn)生接觸力和接觸變形。

采用所提出的軸承動(dòng)剛度計(jì)算方法及研制的計(jì)算模塊，對(duì)上述軸承進(jìn)行動(dòng)剛度等的計(jì)算。計(jì)算時(shí)不考慮磨削力。本文給出軸承誤差敏感方向，即徑向剛度與軸承轉(zhuǎn)速和預(yù)緊力的演變規(guī)律(見圖5)。其中預(yù)緊力是FAG推薦的輕中重三檔值。由圖5可知，徑向動(dòng)剛度與預(yù)緊力成正比，該結(jié)論與大多數(shù)學(xué)者的研究成果一致；隨著轉(zhuǎn)速提高，軸承內(nèi)滾道與外滾道的實(shí)際接觸角的大小差異將逐漸明顯，進(jìn)入高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)，主軸軸承滾動(dòng)體產(chǎn)生的離心力以及陀螺力矩等慣性力會(huì)大幅度增加，高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，離心力改變了滾動(dòng)體與滾道之間的接觸機(jī)制，外滾道的接觸載荷明顯高于內(nèi)滾道的接觸載荷，且在軸承剛開始啟動(dòng)時(shí)這樣的變化非常急劇，達(dá)到相對(duì)高的轉(zhuǎn)速后趨于平穩(wěn)。反映在圖5上，剛度表現(xiàn)為重預(yù)緊強(qiáng)度下，徑向動(dòng)剛度與轉(zhuǎn)速成反比，該結(jié)論與大多數(shù)學(xué)者的研究成果一致，但在輕或中預(yù)緊情況下，徑向動(dòng)剛度先隨轉(zhuǎn)速上升而下降，當(dāng)轉(zhuǎn)速高于50 000 r/min或100 000 r/min后，徑向動(dòng)剛度呈輕微上升趨勢(shì)。

圖5　徑向剛度與軸承轉(zhuǎn)速和預(yù)緊力的演變規(guī)律 Fig.5 The rule of among radical stiffness, rotation speed of bearing and preload

2.3主軸實(shí)際可達(dá)工作轉(zhuǎn)速及最高轉(zhuǎn)速的計(jì)算

主軸實(shí)際可達(dá)到的工作速度與主軸系統(tǒng)的總能量平衡情況有關(guān)，如軸承數(shù)量及其布置方式、內(nèi)外載荷、潤滑和散熱等。表1為FAG軸承實(shí)際工作速度的受限系數(shù)。主軸轉(zhuǎn)速應(yīng)按式(22) 計(jì)算確定。

nR=nW/fn

(22)

式中：nR、nW、fn分別為主軸最高轉(zhuǎn)速、實(shí)際工作轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速受限系數(shù)。

表1　軸承工作轉(zhuǎn)速的受限系數(shù)(f n)

對(duì)比考察方案：①表1所示的第1和第2種設(shè)計(jì)方案，即方案1為主軸系統(tǒng)前后支撐各用一個(gè)軸承并背靠背配置；方案2為主軸系統(tǒng)前后支撐各用一對(duì)軸承并背靠背配置；②輕或中等預(yù)緊強(qiáng)度。將設(shè)計(jì)目標(biāo)中初步確定的80 000 r/min主軸轉(zhuǎn)速，以及方案中最小的主軸工作轉(zhuǎn)速受限系數(shù)0.7代入式(22)，則可確定主軸最高轉(zhuǎn)速應(yīng)為120 000 r/min，這樣，方案1的主軸系統(tǒng)實(shí)際可達(dá)的工作速度分別為102 000 r/min和90 000 r/min；方案2的實(shí)際工作速度分別為96 000 r/min和84 000 r/min。

2.4高速主軸動(dòng)力學(xué)模型及其計(jì)算分析方法

高速主軸工作精度必須滿足納米磨床的設(shè)計(jì)目標(biāo)與技術(shù)要求，必須綜合考慮工藝載荷、軸承剛度及其配置方式等的影響，以保證工具，或工件精度和表面質(zhì)量。為此，構(gòu)建基于軸承動(dòng)剛度的高速主軸動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算與分析。圖6給出了基于軸承動(dòng)剛度的主軸動(dòng)力學(xué)模型示意圖，工具端部變形的計(jì)算模型如式(23)所示。

(23)

式中：δ(wo)、δ(fb)、δ(bb)、δ(sp)分別為工具端部、前主軸、后軸承和主軸的變形。

本設(shè)計(jì)中，工作精度指標(biāo)主要是主軸的徑向跳動(dòng)，即δ(wo)=0.5 μm；因此，必須考察軸承及主軸的徑向載荷和工作剛度。徑向載荷除徑向磨削力外，還應(yīng)考慮離心力的影響(忽略陀螺力矩，因其引起的徑向分力僅為離心力的1/10～1/11)。即式(23)中的高速磨削環(huán)境下的徑向合力應(yīng)滿足式(24)。

Fr(work)=Fr(proc.l)+Fc

(24)

本設(shè)計(jì)中：Fr(Proc.l)=10 N，并計(jì)算不同工作速度下的離心力，主軸系統(tǒng)在可達(dá)速度條件下的工作剛度(見表2)。

表2　主軸實(shí)際可達(dá)工作速度下的工作剛度

將圖6的相關(guān)力學(xué)幾何關(guān)系代入式(23)，主軸伸出端變形如式(24)所示。

圖6　基于軸承動(dòng)剛度的主軸動(dòng)力學(xué)模型示意圖 Fig.6 Schematic diagram for the spindle’s dynamic modelling based on the dynamic stiffness of bearing

(25)

2.5基于主軸工作性能的相關(guān)要素協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)方法

相關(guān)設(shè)計(jì)協(xié)調(diào)要素及其取值如下：磨桿直徑為9～12 mm；主軸伸出長度為30～60 mm(大者為優(yōu))；軸承間距為120～240 mm；軸承數(shù)為2～4個(gè)。經(jīng)對(duì)本設(shè)計(jì)對(duì)比方案進(jìn)行計(jì)算分析后發(fā)現(xiàn)，伸出端(磨桿)直徑和長度是控制砂輪端部變形的重要因素。軸承間距與伸出端長度之比幾乎對(duì)軸端變形沒有任何影響，即在必要的伸出端長度前提下，縮短軸承間距可實(shí)現(xiàn)主軸減重和體積目標(biāo)。相對(duì)軸承剛度，磨桿剛度顯得非常微弱，因此，采用2對(duì)軸承相對(duì)一對(duì)軸承對(duì)控制砂輪端變形并不具備很大優(yōu)勢(shì)(見圖7)。

綜上，滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求和δ(work)< 1 μm的最優(yōu)方案是：磨桿直徑為12 mm、主軸伸出長度為45 mm，并采用2對(duì)軸承背靠背配置。此外，由于高線速度更有利于改善表面質(zhì)量，工程應(yīng)用中可選用小預(yù)緊力(11 N)和高的轉(zhuǎn)速。

圖7　相關(guān)設(shè)計(jì)要素與砂輪變形的關(guān)聯(lián)作用 Fig.7 the correlations between the relevant design factors and deform of grinding wheel

3結(jié)論

(1)以外環(huán)固定的軸承及其滾球?yàn)檩d體，描述了作用軸承內(nèi)環(huán)上的外載荷及其位移或接觸變形的關(guān)聯(lián)模型，通過定義與外載荷非直接關(guān)聯(lián)的位移和接觸變形量為直接變量的函數(shù)，構(gòu)建了預(yù)測(cè)軸承動(dòng)剛度的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算模型，并研制了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)軟件，可以有效地預(yù)測(cè)高速球軸承的動(dòng)剛度。

(2)通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，高速角接觸球軸承的徑向剛度與轉(zhuǎn)速呈非單調(diào)遞減規(guī)律。除重預(yù)緊外，采用輕或中預(yù)緊情況下，徑向動(dòng)剛度曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，即在拐點(diǎn)之前，徑向剛度隨轉(zhuǎn)速上升而下降；反之，徑向動(dòng)剛度隨速度上升而略有提高。輕預(yù)緊拐點(diǎn)發(fā)生在50%的額定轉(zhuǎn)速時(shí)，中預(yù)緊則發(fā)生在83%的額定轉(zhuǎn)速。即采用輕預(yù)緊強(qiáng)度，更有利于體現(xiàn)高速軸承的高速與高動(dòng)態(tài)特性。

(3)提出的基于高速軸承動(dòng)剛度的主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，以及高速主軸工作性能的綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，可以快速解析影響主軸工作性能的重要因素及其耦合關(guān)系，準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)高速主軸系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案中的薄弱環(huán)節(jié)，并通過對(duì)重要影響因素及其取值進(jìn)行有效的協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)主軸系統(tǒng)既定的工作性能目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

[1]Lin C W, Lin Y K, Chu C H. Dynamic models and design of spindle-bearing systems of machine tools: A review[J]. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing, 2013, 14(3): 513-521.

[2]Jones A B. A general theory for elastically restrained ball and radial roller bearings under arbitrary load and speed conditions[J]. ASME Journal of Basic Engineering, 1960,82: 309-320.

[3]Harris T A, Mindel M H. Rolling element bearing dynamics[J]. Wear, 1973, 23: 311-337.

[4]Gupta P K. Advanced dynamics of rolling elements [M]. New York: Springer, 1984.

[5]劉艷華,李志遠(yuǎn),張朝煌,等. 高速角接觸球軸承靜態(tài)剛度的分析與計(jì)算[J].軸承,2005,8:1-3.

LIU Yan-hua, LI Zhi-yuan, ZHANG Chao-huang, et al.Analysis and calculation on static stiffness of high speed angular contact ball bearings[J].Bearing, 2005,8:1-3.

[6]王保民,梅雪松,胡赤兵,等.預(yù)緊高速角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)特性分析[J]. 軸承,2010,5:1-4.

WANG Bao-min, MEI Xue-song, HU Chi-bin, et al.Analysis on dynamic characteristics of preloaded high-speed angular contact ball bearings[J]. Bearing,2010,5:1-4.

[7]朱益利,金超武,許磊,等. 滾珠軸承力學(xué)模型的數(shù)值求解方法研究[J]. 中國機(jī)械工程,2013, 4: 427-431.

ZHU Yi-li, JIN Chao-wu, XU Lei, et al.Numerical solution methods of ball bearing mechanics model[J]. China Mechanical Engineering,2013,4: 427-431.

[8]陳小安,劉俊峰,陳宏,等. 計(jì)及套圈變形的電主軸角接觸球軸承動(dòng)剛度分析[J]. 振動(dòng)與沖擊,2013,32: 81-85.

CHEN Xiao-an, LIU Jun-feng, CHEN Hong, et al.Dynamic stiffness analysis for motorized-spindle angular contact ball bearings considering ferrule deformation[J].Journal of Vibration and Stock, 2013,32:81-85.

[9]劉良勇,李鴻亮,康正坡,等.高轉(zhuǎn)速對(duì)滾動(dòng)軸承性能影響的分析與計(jì)算[J]. 軸承,2013, 2:1-4.

LIU Liang-yong, LI Hong-liang, KANG Zheng-po,et al.Analysis and calculation on effect of high rotating speed on performance for rolling bearings[J]. Bearing,2013, 2:1-4.

[10]李純潔,洪軍,張進(jìn)華,等. 角接觸球軸承動(dòng)剛度的實(shí)驗(yàn)研究[J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),2013, 7: 67-72.

LI Chun-jie, HONG Jun, ZHANG Jin-hua,et al.Analysis and calculation on effect of high rotating speed on performance for rolling bearings[J]. Bearing,2013, 7: 67-72.

[11]Jones A B. Ball motion and sliding friction in ball bear [J]. Journal of Basic Engineering, 1959,81:1-12.

[12]Jones A B. A general theory for elastically constrained ball and radial roller bearings under arbitrary laod and speed conditions [J]. Journal of Basic Engineering, 1960, 82:309-320.

[13]Gargiulo jr E P. A simple way to estimate bearing stiffness[J]. Machine Design, 1980:107-110.

[14]Kraus J, Blech J, Braun S. In situ determination of rolling bearing stiffness and damping by modal analysis [J]. Journal of Vibration, Acoustics, Stress and Reliability in Design, 1987, 109:235-240.