超彈性介電型EAP圓柱形驅(qū)動器變激勵電壓下動態(tài)響應分析

朱銀龍1,王化明2,羅華安2, 3,周宏平1

(1. 南京林業(yè)大學機械電子工程學院,南京210037;2.南京航空航天大學機電學院,南京210016； 3.南京信息職業(yè)技術學院機電學院,南京210023)

摘要：超彈性電活性聚合物(electroactive polymer, EAP)圓柱形驅(qū)動器的動態(tài)特性是進行合理設計、使用及優(yōu)化驅(qū)動器的重要依據(jù)。結合介電型EAP機電耦合方程，構建了驅(qū)動器軸向線性運動的動力學方程。通過計算得到驅(qū)動器的電壓-軸向位移曲線，研究了驅(qū)動器在準靜態(tài)點附近的穩(wěn)定性。最后，分析了驅(qū)動器在施加階躍和周期電壓激勵時的動態(tài)響應。結果表明，在有效工作范圍內(nèi)驅(qū)動器是穩(wěn)定的，階躍電壓激勵使驅(qū)動器在準靜態(tài)點附近產(chǎn)生軸向振動，周期電壓使驅(qū)動器產(chǎn)生包含自振的擬周期軸向振動。進一步分析表明，階躍電壓激勵更易導致驅(qū)動器的電擊穿失效。

關鍵詞：超彈性 介電型EAP;圓柱形驅(qū)動器;動態(tài)響應

中圖分類號:TP24

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.035

Abstract:The dynamic performance of a dielectric electroactive polymer (EAP) cylindrical actuator was a basis for its reasonable design, operation and optimization. Combined with the dielectric EAP electromechanical coupled equation, the dynamic equation for the axial linear movement of the actuator was deduced. The relation between the axial displacement of the cylindrical actuator and the applied voltage was obtained with the numerical solution to the dynamic equation, and the stability neigh bouring the quasi static point was analyzed. Finally, the dynamic responses of the actuator to applied step and periodic voltages were studied. The results showed that the actuator is stable in its effective working range, the sudden step voltage can cause the actuator’s axial vibration around the quasi-static position, and the periodic voltage generates its quasi-periodic axial vibration including its natural oscillation; furthermore, the sudden step voltage is easy to cause the actuator’s electric breakdown and damage.

Dynamic responses of a hyperelastic dielectric EAP cylindrial actuator under varying excitation voltage

ZHUYin-long1,WANGHua-ming2,LUOHua-an2,3,ZHOUHong-ping1(1. College of Mechanical and Electronic Engineering, Nanjing Forestry University, Nanjing 210037, China;2. College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China;3. College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing College of Information Technology, Nanjing 210023, China)

Key words:hyperelastic; dielectric electroactive polymer (EAP); cylindrical actuator; dynamic response

由于具有彈性變形大、能量密度高及重量輕等優(yōu)點，EAP材料在驅(qū)動器應用方面的研究得到了廣泛重視，并出現(xiàn)部分商業(yè)產(chǎn)品[1]。圓柱形驅(qū)動器[2-3]由EAP膜預拉伸后卷繞而成，內(nèi)部由壓縮彈簧支撐，通過對膜兩側表面的柔性電極施加電壓，產(chǎn)生的靜電壓力使膜軸向拉應力減小，驅(qū)動器軸向伸長。圓柱形驅(qū)動器結構簡單、能輸出較大的位移和力，在力反饋設備、機器人手臂、仿生昆蟲等方面具有應用前景[1-2, 4]。

靜態(tài)特性是驅(qū)動器的基本特性，但驅(qū)動器的工作過程本質(zhì)上是動態(tài)的，研究其動態(tài)特性是優(yōu)化結構、合理應用的重要依據(jù)。采用非線性動力學研究超彈性薄膜動態(tài)響應受到研究者的關注[5-13], 任等[5-9]對超彈性薄膜的非線性動力學問題進行了較深入的研究，研究發(fā)現(xiàn)球殼在周期載荷下，當施加的平均載荷超過臨界值時，在球殼中心會突然生成空穴并產(chǎn)生擬周期振動[5]；圓柱殼在動載荷作用下也存在易導致其破壞的臨界值，且不動點與動態(tài)響應及運動性質(zhì)存在關系[6]；球形薄膜在某些情形下周期振動的振幅會出現(xiàn)“∞”型同宿軌道以及周期振動的振幅會出現(xiàn)不連續(xù)增長現(xiàn)象[7]；另外，考慮到溫度場下熱傳導因素，任等還對熱超彈性圓柱殼[8]、球殼[9]的振動、破壞及穩(wěn)定性問題進行研究。Goncalves等[10]分析了預拉伸率對超彈性圓形膜的振動頻率、非線性幅頻曲線、分岔圖的影響。Zhu等[11-14]分析了介電型EAP單層圓形、筒形[12]、球形膜[13]在其兩側表面施加電壓作用后動態(tài)響應問題，Yong還進一步分析了膜厚度對球殼穩(wěn)定性的影響[14]，在文獻[11]中Zhu還指出可通過改變周向固定的圓形薄膜的預拉伸率、內(nèi)側表面的壓力、施加電壓的值改變其自然頻率。

上述文獻僅涉及具有典型幾何結構的單層薄膜在施加壓力載荷(或電壓)時的動態(tài)響應問題，但上述的圓柱形驅(qū)動器與這些典型結構是有區(qū)別的。為研究多層圓柱形驅(qū)動器施加電壓后的動態(tài)響應，本文首先提出圓柱形驅(qū)動器的簡化幾何結構，在此基礎上利用介電型EAP膜機電耦合方程建立了驅(qū)動器軸向位移的動力學方程，分析了超彈性介電型EAP驅(qū)動器在不動點處的穩(wěn)定性。最后，對驅(qū)動器在施加階躍及周期激勵電壓時的動態(tài)響應問題進行研究。

1圓柱形驅(qū)動器的簡化結構

圓柱形驅(qū)動器[3]是由經(jīng)過預拉伸的EAP膜在經(jīng)過預壓縮的彈簧外圈卷繞而成，在驅(qū)動器兩端用端蓋及熱縮套管對EAP膜進行固定，膜的兩面涂覆有柔性電極。電極涂覆區(qū)域一般稱為活動(或主動)區(qū)域。當在EAP膜上施加電壓時，彈簧的壓縮力與EAP膜的預拉伸力平衡被破壞，驅(qū)動器產(chǎn)生軸向伸長變形。根據(jù)文獻[3]對圓柱形驅(qū)動器靜態(tài)特性分析結果，在卷繞層數(shù)不多、驅(qū)動器電壓激勵產(chǎn)生軸向變形不大的情況下，為簡化分析可作如下假設：

(1)驅(qū)動器軸向伸長過程中，由于周向被固定，EAP膜只發(fā)生沿其軸向及厚度方向變形，各層EAP膜變形均勻一致；

(2)忽略EAP膜卷繞后周向側邊收縮變形對軸向拉力的影響；

(3)忽略EAP膜層間壓力的影響。

于是，可將EAP圓柱形驅(qū)動器的活動區(qū)域簡化為圖1所示結構，該結構主要由經(jīng)過預拉伸的矩形EAP膜和預壓縮彈簧組成，D0為彈簧外徑，EAP膜活動區(qū)域的初始幾何尺寸為L1×L2×H。設在未施加電壓，驅(qū)動器軸向力平衡時其周向及軸向預拉伸率分別為λp1和λp2。當驅(qū)動器EAP膜在電壓U刺激作用下軸向伸長到λ2L2(λ2為EAP膜的軸向延伸率)時，其周向長度根據(jù)上述假設仍為L1λp1，而厚度變薄為H/(λ2λp1)。根據(jù)變形關系，設EAP膜在電場作用下產(chǎn)生的軸向延伸率為λza，則有λ2=λp2λza。

圖1　圓柱形驅(qū)動器結構示意圖 Fig.1 Structure schematic of o cylindrical actuator

2驅(qū)動器動力學方程

假設驅(qū)動器EAP膜材料為理想的超彈性介電型EAP[15]，則可采用neo-Hookean模型來描述其非線性超彈性應變。在電場作用下，EAP膜的周向應力σ1、軸向應力σ2、徑向應力σ3有如下關系[12]

(1)

式中，ε=ε0εr，ε0為真空介電常數(shù)，εr為EAP材料的相對介電常數(shù)；λ1、λ2、λ3為圖1中驅(qū)動器EAP膜的周向、軸向和徑向延伸率，且λ1=λp1、λ3=1/λ1/λ2；E=λ1λ2U/H為電場強度；μ為材料的剪切模量。

當忽略驅(qū)動器卷繞層之間的壓力時，可得邊界條件σ3=0。根據(jù)式(1)可求得σ1和σ2，并可求得在電壓激勵作用下，EAP膜軸向彈性力Fela為

Fela=σ2L1H/(λp2λza)

(2)

圓柱形驅(qū)動器采用軸向預壓縮的壓縮彈簧提供預載荷。假設彈簧為線性恒剛度彈簧，則其軸向彈性回復力Fs為

Fs=Fp-kspringλp2L2(λza-1)

(3)

式中，kspring為彈簧剛度；Fp為彈簧預壓縮力。

驅(qū)動器未通電時，EAP膜的軸向彈性力Fela與Fp相等，即式(2)中當U=0，λza=1時Fela的值，故實際計算Fp時也可按下式確定

(4)

施加電壓后驅(qū)動器伸長實際上是壓縮彈簧克服EAP膜的彈性阻力而發(fā)生軸向位移的過程。根據(jù)牛頓第二定律，其軸向位移的動力學方程為

Fs-Fela=kmFm

(5)

式中，F(xiàn)m為膜活動部分(即涂覆電極部分)質(zhì)量慣性力；km為折算系數(shù)，主要考慮彈簧、固定端蓋及膜的非驅(qū)動部分等附加質(zhì)量引起的慣性力。驅(qū)動器活動部分薄膜的慣性力

(6)

式中，me=2ρL1L2H為活動部分(雙層)膜的質(zhì)量。于是，驅(qū)動器軸向運動方程可簡化

(7)

(8)

3驅(qū)動器空載時準靜態(tài)平衡位置分析

表1　圓柱形驅(qū)動器參數(shù)值

注：剪切模量μ由等軸拉伸試驗[16]數(shù)據(jù)擬合獲得

圖2　驅(qū)動器準靜態(tài)電壓-位移曲線 Fig.2 Quasi-static curve of voltage and displacement for actuator

(9)

表2　Jacobi矩陣的值

4驅(qū)動器的動態(tài)響應

圓柱形驅(qū)動器施加電壓后的軸向伸長是一個動態(tài)過程，本文仍以表1所列參數(shù)為例來分析超彈性EAP圓柱形驅(qū)動器在施加階躍及周期電壓激勵時的動態(tài)響應。

4.1施加階躍電壓時的動態(tài)響應

(10)

圖中計算得到的λza-υλ曲線為封閉“橢圓形”曲線，準靜態(tài)平衡點為其中心。于是，可認為基于上述理想的幾何模型，當在圓柱形驅(qū)動器EAP膜上施加階躍電壓時，驅(qū)動器會產(chǎn)生繞其準靜態(tài)平衡點的軸向周期振動；進一步分析可知，激勵電壓越高其軸向伸長率及伸長速率越大。對照圖3(a)及3(b)，附加質(zhì)量會減小驅(qū)動器最大伸長速率，但對軸向伸長率幅度無影響。由于采用可變預載荷，驅(qū)動器雖沒有發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，但振幅會使EAP膜的最大工作電場超過其電擊穿強度。因此，考慮到EAP膜的電擊穿，實際驅(qū)動器的最大工作電壓比準靜態(tài)計算得到的最大工作電壓要低。

圖3　驅(qū)動器軸向位移運動相圖 Fig.3 Phase diagram for axial displacement of actuator

4.2施加周期電壓時的動態(tài)響應

圖4　U 1=3 kV, U 2=1 kV時驅(qū)動器軸向位移時程曲線 Fig.4 Axial displacement time history curve of actuator (U 1=3 kV, U 2=1 kV)

研究當施加形如U(t)=U1+U2sin(ωt)的周期電壓時驅(qū)動器的軸向位移動態(tài)響應，可對上式采用Runge-Kutta法進行數(shù)值積分，U1、U2分別為周期電壓的直流電壓分量及正弦電壓分量的幅值。圖4、圖5分別列出了當周期激勵電壓的最大幅值相同(即U1、U2之和相同)情況下，ω=0.1π及ω=10π時，驅(qū)動器軸向位移的時程曲線。

圖5　U 1=2 kV, U 2=2 kV時驅(qū)動器軸向位移時程曲線 Fig.5 Axial displacement time history curve of actuator (U 1=2 kV, U 2=2 kV)

由圖可知，在施加周期電壓時，驅(qū)動器的軸向位移運動是擬周期振動，可認為是由自振和強迫振動疊加而成。附加質(zhì)量影響自振頻率，強迫振動頻率取決于周期電壓的頻率ω。由于自振的存在，驅(qū)動器軸向振動時，膜的最大延伸率會超過其相應恒值直流電壓激勵產(chǎn)生的變形；同時，當周期激勵電壓的瞬時電壓為(或接近)0V時，EAP膜最小延伸率會小于1(λza<1)。

通過計算可知，驅(qū)動器軸向位移幅度主要受U1、U2值的影響。雖然U1、U2之和相同(4 kV),但直流分量U1越大則驅(qū)動器的軸向位移幅度越大，越易導致膜電擊穿。當U1= 3kV、U2=1 kV時，其最大軸向伸長λza可達1.76；而當U1=2 kV、U2=2 kV時，膜的最大軸向延伸率λza只有1.61，比上述小10%左右。另外，從圖5可知，當周期電壓波谷值接近0 V時，驅(qū)動器軸向擬周期振動呈現(xiàn)波谷平坦，而波峰尖銳的特征，這對避免EAP膜的電擊穿是有利的。

因此，從電擊穿角度來講，突加恒值激勵電壓易使驅(qū)動器發(fā)生電擊穿失效。一般來講，黏性會對振動有一定的抑制作用，為方便分析，上述論述中采用具有黏性的VHB4910膜作為超彈性EAP材料的參數(shù)進行理論計算，這在具有分析時需引起注意。

5結論

本文通過構建超彈性EAP圓柱形驅(qū)動器的動力學方程，分析了其在準靜態(tài)平衡點附近的穩(wěn)定性問題，并對其動態(tài)響應進行研究，得到如下結論：

(1) 由于圓柱形驅(qū)動器采用變載荷的預加載形式，施加電壓后驅(qū)動器不會發(fā)生機電失穩(wěn)，但EAP膜的電擊穿失效會限制其電壓許用范圍。

(2) 驅(qū)動器的附加質(zhì)量主要影響其最大伸長速率及自振頻率，在一定伸長范圍內(nèi)不影響驅(qū)動器的穩(wěn)定性，對其軸向位移幅值影響也不明顯。

(3) 施加形如U(t)=U1+U2sinωt的周期激勵電壓，在U1、U2之和相同時，其直流分量(U1)越大，驅(qū)動器軸向振動最大幅值也越大；增加其交流分量幅值U2，會產(chǎn)生波谷平坦的非對稱擬周期振動，在瞬時電壓0 V附近出現(xiàn)λza<1。

(4)相對于周期電壓，階躍電壓激勵更易導致驅(qū)動器EAP膜的電擊穿失效。

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