四角點固定支承矩形板固有特性研究

李鄭發(fā)1,2,3，曹登慶2，張迎春1,3

(1.深圳航天科技創(chuàng)新技術(shù)研究院，廣東深圳518057； 2.哈爾濱工業(yè)大學航天學院，哈爾濱150001；3. 深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司，廣東深圳518054)

摘要：四角點固定支承矩形板橫向振動固有特性的研究對其實際應用及故障診斷具有重要意義?；谀芰渴睾阍聿⒔Y(jié)合固定支承點處的約束條件建立四角點固定支承矩形板橫向振動的拉格朗日方程。采用冪級數(shù)多項式來描述其振型函數(shù)，根據(jù)Rayleigh-Ritz理論推導出四角點固定支承矩形板的橫向振動頻率方程；由頻率方程給出了不同長/寬比矩形板基頻的理論計算結(jié)果，并應用該方法獲得了四角點簡支矩形板的頻率方程。對典型算例的理論計算結(jié)果和有限元分析結(jié)果進行比較和分析，給出便于工程應用求解其基頻的近似計算式；通過試驗研究表明理論計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果和試驗結(jié)果具有較好的一致性。

關(guān)鍵詞：矩形板；點支承；基頻；Rayleigh-Ritz方法；Lagrange乘子

中圖分類號:O326

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.015

Abstract:The natural characteristics of a rectangular plate clamped at 4 corner points are of importance in its application and fault diagnosis. Firstly, its Lagrange equation of transverse vibration based on the principle of energy conservation under constraint conditions of support locations was established to analyze its free vibration problem. Secondly, the frequency equation of the rectangular plate was obtained using Rayleigh-Ritz method with simple polynomials as its modal functions. Finally, the fundamental frequencies were gained for different side ratios according to the theoretical results of the rectangular plates, they were compared with those obtained using the finite element method. In order to get the fundamental frequencies conveniently, approximate expressions were deduced for a typical plate with certain geometrical parameters and material constants in practical engineering. It was shown that the theoretical results agree well with those obtained using the finite element method and the test data.

Natural characteristics of rectangular plates clamped at 4 corner points

LIZheng-fa1,2,3,CAODeng-qing2,ZHANGYing-chun1,3(1. Shenzhen Academy of Aerospace Technology, Shenzhen 518057, China;2. The School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;3. Shenzhen Aerospace Dongfanghong HT Satellite Ltd. CAST, Shenzhen 518054, China)

Key words:rectangular plates;point supports;fundamental frequency;Rayleigh-Ritz method;Lagrangian multiplier

板的振動問題一直受到科學和工程界的重視，板在不同邊界條下的振動問題仍然是振動研究領(lǐng)域的熱點之一。四點支承矩形板在建筑、航天、電子等工程領(lǐng)域中有著廣泛的應用，如四點支承的玻璃幕墻結(jié)構(gòu)、四點支承的電路板結(jié)構(gòu)、以及四點支承的太陽翼結(jié)構(gòu)等。其中四角點支承矩形板結(jié)構(gòu)形式在工程中應用尤為廣泛，研究其橫向振動固有特性對其工程應用及故障診斷具有非常重要的意義。對簡單邊界條件的矩形板橫向振動固有頻率可以獲得其解析解，如四邊為簡支、四邊固支或者有一對邊簡支等情況。對于其他復雜邊界條件，由于在數(shù)學方面的困難，很少得到解析解。多年來，國內(nèi)外學者在求解點支承薄板自由振動方面進行了大量的研究工作：如Gorman[1-3]基于薄板振動問題的經(jīng)典解析解，提出采用疊加法求解點支承矩形板的振動問題。Huang[4]利用離散分析方法研究點支承矩形板自由振動問題。通過引入狄拉克δ函數(shù)建立了點支承板彎曲問題的基本微分方程，將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程,并利用格林函數(shù)通過數(shù)值積分得到其自由振動特征方程，討論了點支持、板厚度以及長寬比對于振動頻率的影響。Bapat[5]采用柔度函數(shù)法分析了位于板自由邊界和內(nèi)部多點支承矩形板的振動問題。該方法是在自由邊界或內(nèi)部支點處添加一個虛擬的彈性約束條件，并構(gòu)造一個柔度函數(shù)滿足其約束處的位移邊界條件。Narita[6]利用雙冪級數(shù)試函數(shù)，支承點的約束條件由Lagrange乘子引入，并根據(jù)Ritz法分析了對稱四點支承正交異性矩形板、帶內(nèi)部支承點的正交異性懸臂板和任意多支承點正交異性橢圓板的自由振動問題。王硯[7]采用無網(wǎng)格Galerkin法求解具有有限多個彈性支承點的矩形薄板橫向振動問題。通過彈性動力學Hamilton原理的推廣應用得到具有有限多個支承點的薄板橫向振動方程變分式,采用無網(wǎng)格Galerkin方法建立橫向振動方程,并得到該問題的特征方程。此外，還有學者采用分求積法、Rayleigh-Ritz法、有限差分法和有限層法等對點支承矩形薄板的振動特性作過研究,請參閱文獻[8-15]。

目前對四點支承矩形板振動分析大部分局限于簡單情況，但在實際工程中板固定處的連接通常偏向于剛性連接(即四點固定支承形式)，而對四角點固定支承矩形板橫向振動固有特性的研究還沒有相關(guān)報道。本文主要圍繞獲得較為精確的四角點固定支承矩形板橫向振動固有頻率開展相關(guān)工作。首先，基于能量守恒原理并結(jié)合固定支承點處的約束條件建立四角點固定支承矩形板橫向振動的拉格朗日方程；其次，采用冪指數(shù)多項式來描述其振型函數(shù)，基于Rayleigh-Ritz理論近推導四角點固定支承矩形板的橫向振動頻率方程；最后，給出了不同長/寬比矩形板基頻的理論計算結(jié)果，并應用該方法得到四角點簡支矩形板的頻率方程。對典型算例理論計算結(jié)果和有限元分析結(jié)果進行了比較和分析，給出便于工程應用求解其基頻的近似計算式；通過試驗研究表明理論計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果和試驗結(jié)果具有較好的一致性。

1振動拉格朗日方程的建立

考慮邊長分別為a,b的各向同性均質(zhì)矩形板，其板的兩邊分別位于坐標軸ξ、ζ上(見圖1)。固定支承點分別位于A,B,C和D處,四邊處于自由狀態(tài)。

圖1　四角點固定支承板 Fig.1 Sketch of a rectangular plate clamped at corner points

當板作橫向振動時，其撓度函數(shù)可以表示為：

w(ξ,ζ,t)=W(ξ,ζ)sin(ωt)

(1)

式中，ω為板的振動角頻率，W(ξ,ζ)為板橫向振動形函數(shù)。

那么，板在橫向振動過程中的動能T和勢能U分別表示為：

(2)

(3)

為了便于分析，引入無量綱參數(shù)x=ξ/a、y=ζ/b。將式(1)代入式(2)和(3)整理得到結(jié)構(gòu)板最大動能Tmax和板的最大變形勢能Umax分別為：

(4)

(5)

式中，α=a/b是板的長寬比，W(x,y)為其無量綱撓度函數(shù)。

由能量守恒原理，板在振動過程中最大變形勢能Umax等于其最大動能Tmax得到：

Umax-Tmax=0

(6)

把式(4)和(5)代入到式(6)整理得到：

U0-ηT0=0

(7)

式中，

(8)

η=ρhω2a4/D

(9)

(10)

對于見圖1的四角點固定支承板，其支承點A,B,C和D處應滿足如下基本條件：

(1)位移條件：

W(xp,yp)=0,p=A,B,C,D

(11)

(2)轉(zhuǎn)角條件：

(12)

(13)

為了便于敘述令：

(14)

2矩形板頻率方程的推導

對四角點固定支承矩形板其振型函數(shù)W(x,y)可以選用如下函數(shù)表示：

(15)

式中，Amn為待定常數(shù)，φm(x)和φn(y)分別表示為：

(16)

(17)

(18)

將表達式(15)代入方程(18)得到系統(tǒng)的頻率方程為：

(19)

式中，

(20)

(21)

(22)

(23)

Kp=φm(xp)φn(yp)，

(24)

m,i=0,1,2,…,M；n,j=0,1,2,…N;p=A,B,C,D;r,s=0,1,2。

給定表達式(15)中的項數(shù)M,N后，通過方程(19)可求得參數(shù)η，從而得到系統(tǒng)的頻率：

(25)

3數(shù)值分析與結(jié)果分析

由方程(19)求得最小特征值，并由式(25)得到系統(tǒng)基頻fmin。從方程(19)可以看出，當系統(tǒng)振型函數(shù)W(x,y)多項式的項數(shù)M和N值確定后，η僅與板長寬比α和材料泊松比v有關(guān)。圖2給出最小特征值ηth-fmin與α關(guān)系的理論計算曲線，其中材料泊松比v=0.3，W(x,y)多項式的項數(shù)取M=7、N=7。

由于振型函數(shù)W(x,y)選取上采用冪指數(shù)多項式，所以其項數(shù)取到一定數(shù)量時才能得到較精確的計算結(jié)果，當項數(shù)取較多時使得求解過程較為耗時。為了便于工程應用求解，由圖2中的理論計算可以擬合出1≤α≤2范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)基頻的近似計算式ηap-fmin為：

ηap-fmin=189-472e(-α/0.68),(v=0.3)

(26)

圖2　長寬比α與參數(shù)η關(guān)系(四角固支) Fig.2 Side ratio α vs. parameters η (clamped at corners)

當已知結(jié)構(gòu)的α值時，由方程(26)可快速獲得η值。為了驗證其正確性，任意選取4種不同長寬比的矩形板分別進行理論計算、采用近似公式(26)計算和有限元計算，所得結(jié)果分別列于表2，相關(guān)參數(shù)見表1。其中有限元分析采用通用Patran&Nastran前后處理和求解軟件。采用4節(jié)點四邊形Bending Panel單元對整板進行網(wǎng)劃分，單元長度為0.03m；采用表1中材料參數(shù)對單元屬性進行賦值；通過約束4個角點處節(jié)點的3個平動和3個轉(zhuǎn)動自由度來模擬固定連接。

從表2中可以看出理論計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果的誤差在0.42%以內(nèi)，能滿足絕大多數(shù)工程應用的精確要求。當需要更高精度時可以增加振型函數(shù)多項式的項數(shù)進一步提高計算精度。

表1　矩形板參數(shù)

表2　基頻分析結(jié)果(四角點固支)

注：表2中ffix-1為理論計算結(jié)果；ffix-2利用近似公式(26)得到的計算結(jié)果；fFEM為有限元分析結(jié)果；

上述算例表明通過頻率方程(19)可以得到四角點固定支承板較精確的一階固有頻率。通過釋放轉(zhuǎn)角約束條件(12)，應用該方法也可求解四角點簡支板的固有頻率。通過與方程(19)類似的推導方法可以得到四角點簡支板的頻率方程為：

(27)

由方程(27)得到其最小特征值ηth-smin與α關(guān)系，其理論計算曲線見圖3。由圖3中的理論計算結(jié)果，可以擬合出長寬比在1≤α≤2范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)基頻的近似計算式ηap-smin為：

ηap-Smin=88.35-725e(-α/0.34),(v=0.3)

(28)

圖3　長寬比α與參數(shù)η關(guān)系(四角簡支) Fig.3 Side ratio α vs. parameters η (simply-supported at corners)

分別采用理論、近似公式(28)和有限元計算，所得結(jié)果列于表3。有限元分析模型采用四角點固支板有限元模型相同，約束4個角點處節(jié)點3個平動自由度來模擬簡支連接。從表中可以看出理論計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果的誤差僅在±1%以內(nèi)，表明該方法用于求解四角點簡支板的基頻也具有很好的精度。

表3　基頻分析結(jié)果(四角點簡支板)

4試驗驗證

為了驗證理論分析的正確性，通過試驗測試了四角點固定支承板結(jié)構(gòu)的一階固有頻率。試驗件所用材料是2A12T4，試樣公稱尺寸為230mm×200mm×2mm，試驗件在四角處通過M3的鋼螺釘與試驗工裝緊固連接，其振動測試狀態(tài)見圖4。振動試驗在中國航天希爾公司研制的電動振動臺上完成，振動臺的型號為MPA3324/H1248A/BT1210；數(shù)據(jù)采集采用比利時LMS公司的LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、丹麥PK公司型號為2692的電荷放大器；美國PCB公司型號為PCB35721的加速度傳感器。

圖4　板的振動測試狀態(tài) Fig.4 Vibration testing state of the plate

為了避免在試驗件上安裝過多的加速度傳感器而引入附加質(zhì)量，僅在試驗件中間安裝一個加速度傳感器。采用低量級正弦掃頻試驗，振動方向垂直于被測板面，振動幅值為0.5g，掃頻范圍為10Hz～500Hz,掃描速率為2oct/min。通過其響應曲線來獲得該板的一階固有頻率。

經(jīng)試驗獲得該四角點支承板的一階固有頻率約為97.2Hz。2A12T4的材料參數(shù)：ρ=2780kg/m3、E=72GPa、v=0.3，將相關(guān)參數(shù)代入到公式(26)求得理論值為93.6Hz。理論值比試驗結(jié)果低3.6Hz，其原因在于理論計算時支承點位于板的幾何角點處，而試驗件4個固定點僅是靠近角點處，存在一定的邊界誤差。此外，由于采用螺栓緊固連接使得螺釘與板接觸面都被固定約束，與理論計算采用點約束相比約束明顯要強。因此，試驗結(jié)果比理論計算結(jié)果偏大是屬于合理現(xiàn)象。

5結(jié)論

對四點固定支承矩形板結(jié)構(gòu)固有特性的研究具有明顯的工程應用背景。本文基于能量守恒原理并結(jié)合固定支承點處的約束條件建立了四角點固定支承矩形板橫向振動的拉格朗日方程，并由Rayleigh-Ritz理論建立了四角點固定支承矩形板結(jié)構(gòu)的頻率方程。給出了便于工程應用的求解基頻的近似表達式，并通過數(shù)值模擬和試驗研究驗證了該方法的正確性。此外，通過減少支承點處的轉(zhuǎn)角約束條件，應用該方法也可求解四角點簡支矩形板結(jié)構(gòu)的一階固有頻率。對四角點支承矩形薄板的橫向自由振動問題的研究對實際工程應用有重要的理論和實際意義。

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