有爭議的碰撞恢復(fù)系數(shù)研究進展

姚文莉1， 岳嶸2

(1.青島理工大學(xué)理學(xué)院，山東青島266520; 2.山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東青島266590)

摘要：碰撞恢復(fù)系數(shù)是研究碰撞問題的重要且頗具爭議的參數(shù)，對于該參數(shù)爭議的焦點在于：①哪一個碰撞恢復(fù)系數(shù)的定義更合理；②碰撞恢復(fù)系數(shù)是否只與材料相關(guān)；③可否表達為其他變量的函數(shù)；④是否還存在其他更穩(wěn)定的碰撞過程中的不變量；⑤不同類型的碰撞恢復(fù)系數(shù)如何應(yīng)用。圍繞上述焦點問題，從定義等價性、優(yōu)劣、研究方法以及應(yīng)用方式等各個角度進行了回顧，分析了利用碰撞恢復(fù)系數(shù)來解決碰撞問題中存在的問題，并探討了今后的研究發(fā)展方向。

關(guān)鍵詞：碰撞恢復(fù)系數(shù)；斜碰撞；多體系統(tǒng)；摩擦；瞬時沖量法

中圖分類號:O313.4

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.007

Abstract:Restitution coefficient for impact problems is an important and controversial parameter. The controversial problems are as follows: which definition is more appropriate among those in common use; whether or not the coefficients are only related to material of colliding bodies; whether restitution coefficients can be expressed as a function of other variables; whether is there any another coefficient with stable and constant properties during collision; how to use different types of restitution coefficients? Here, revolving around these problems, the review on impact problems was made. The existing problems were analyzed when solving the collision problems by using restitution coefficients and the future study direction was discussed.

基金項目：國家“973”計劃(2011GB711106);國家“863”計劃(2012AA112002)

收稿日期：2014-05-13修改稿收到日期：2014-09-25

Advance in controversial restitution coefficient study for impact problems

YAOWen-li1,YUERong2(1.School of Sciences, Qingdao Technological University, Qingdao 266520, China;2.College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technoloyg Qingdao 266590, China)

Key words:restitution coefficient; oblique collision; multibody system; friction; instantaneous impulse method

碰撞問題一直以來是動力學(xué)領(lǐng)域研究的難點和熱點問題[1-4]，如果把解決碰撞問題的方法分為：瞬時沖量法，連續(xù)接觸力法及有限元法這三種方法的話，碰撞恢復(fù)系數(shù)則是利用瞬時沖量法來解決剛體系統(tǒng)碰撞問題時所引入的必要的參數(shù)，對于只是關(guān)心碰撞前后的運動狀態(tài)，而不需要了解碰撞過程中力的細節(jié)的問題而言，碰撞恢復(fù)系數(shù)的引進可以將碰撞過程中的法向及切向解耦，從而得到代數(shù)的而非微分或更為復(fù)雜的方程，這點對要求快速模擬及實時仿真控制系統(tǒng)的問題而言無疑具有極大的吸引力，況且不只在瞬時沖量法中，在利用連續(xù)接觸力法及有限元法來解決多體系統(tǒng)的碰撞問題時，碰撞恢復(fù)系數(shù)的引入也有方便之處。

自從牛頓1686年提出碰撞恢復(fù)系數(shù)的定義并用來解決碰撞問題之后，這個參數(shù)一直爭議不斷，但并沒有阻擋廣大的研究者及工程師們研究及應(yīng)用該系數(shù)的熱情，在眾多的關(guān)于碰撞問題的研究文獻中，本文提煉出關(guān)于碰撞系數(shù)的爭議性的問題，從定義的方式、優(yōu)劣、研究方法以及應(yīng)用方式等各個角度進行了回顧及分析，并總結(jié)了對碰撞恢復(fù)系數(shù)未來研究的方向。

1碰撞恢復(fù)系數(shù)的定義研究

1.1三類定義方式

文獻中出現(xiàn)了各種不同的碰撞恢復(fù)系數(shù)定義方法，按該系數(shù)的定義所表現(xiàn)的物理性質(zhì)，一般可以將其劃分以下為三類：

(1)運動學(xué)恢復(fù)系數(shù)

(1)

(2)動力學(xué)碰撞恢復(fù)系數(shù)

牛頓所提出的運動學(xué)的恢復(fù)系數(shù)直接給出了碰撞前后的運動學(xué)關(guān)系，Poisson認為碰撞中之所以會發(fā)生運動速度的變化，是因為力的作用效應(yīng)，故將碰撞力的沖量引入了定義。他提出用碰撞的恢復(fù)階段和壓縮階段的作用沖量之比作為恢復(fù)系數(shù)的定義：

(2)

(3)能量恢復(fù)系數(shù)

碰撞過程是能量損耗的過程的，一些研究者更傾向于從能量的角度來定義碰撞恢復(fù)系數(shù)[5-10]，其中最著名的還屬Stronge所提出的能量恢復(fù)系數(shù)，他同樣將碰撞過程分為壓縮和恢復(fù)兩個階段：

(3)

1.2三類碰撞恢復(fù)系數(shù)的等價性的研究

三種碰撞恢復(fù)系數(shù)等價性的問題一直受到關(guān)注，多位學(xué)者研究了這個問題。

Stronge[6]認為在粗糙的且斜碰撞過程中滑動方向改變的情形下三種恢復(fù)系數(shù)是不等價的，而當(dāng)物體碰撞發(fā)生在對心碰撞、正碰撞、光滑碰撞或者是粗糙斜碰撞中滑動方向不改變的任何一種情形下，三種恢復(fù)系數(shù)都是等價的;Stronge[11]在考慮五種滑動模式的情況下，通過碰撞法向沖量為變量研究了含摩擦的兩個硬物體斜碰撞問題，并得到了三種恢復(fù)系數(shù)之間特殊的解析聯(lián)系式，且再次顯示：在斜碰撞情形下，只有滑動是單向的情況，這些系數(shù)才是等價的。

對于同樣的問題，呂茂烈等[16-17]以沖量形式給出了等價的條件。

上述研究均是針對兩個剛體的碰撞問題，“在兩個剛體的光滑碰撞問題中，三種恢復(fù)系數(shù)等價”的結(jié)論是有共識的，但當(dāng)研究多體系統(tǒng)的多點碰撞問題時，Pfeiffer[18]的計算表明：即使碰撞是對心光滑的正碰撞情形，用運動學(xué)及動力學(xué)恢復(fù)系數(shù)計算的結(jié)果也不同。

總之，三種恢復(fù)系數(shù)不能相互替代，只有在滿足一定的條件下才會等價。

1.3三類恢復(fù)系數(shù)的優(yōu)劣討論

碰撞本身是以速度跳斷的方式體現(xiàn)的，牛頓的運動學(xué)恢復(fù)系數(shù)直接以碰撞前后速度關(guān)系的形式出現(xiàn)，定義最為直接且實驗容易測定；速度突變的根本原因在于力的極短時間內(nèi)的累積效應(yīng)，即碰撞力的沖量，Poisson的動力學(xué)恢復(fù)系數(shù)是從沖量的角度來定義碰撞過程，Kilmister等[20]認為從哲學(xué)意義上來講，Poisson更為合理；而碰撞本身是一個能量消耗的過程，從能量耗散的角度來定義碰撞也更能體現(xiàn)碰撞的本質(zhì)，因此，三類恢復(fù)系數(shù)從碰撞作用不同的角度來定義，各有特點。

從系數(shù)本身的特性及實用的角度來講，三類碰撞恢復(fù)系數(shù)究竟哪一種更優(yōu)呢？這涉及到按照什么樣的標準來評判最優(yōu)的問題。文獻中對該問題的研究主要是從以下兩個方面來進行：

(1)哪類恢復(fù)系數(shù)的數(shù)值在碰撞過程中更接近于常數(shù)

不管哪一類恢復(fù)系數(shù)，最初對于恢復(fù)系數(shù)的定義都是希望能夠得到穩(wěn)定的只與材料有關(guān)的常數(shù)，因此，恢復(fù)系數(shù)在碰撞過程中是否接近于常數(shù)及對初值的敏感性如何，成為判斷的主要標準。

Andrés等[21]研究了細長桿與粗糙的地面相碰撞的情形，分別通過三種恢復(fù)系數(shù)的剛體模型及考慮法向、切向柔度及滑動黏滯效應(yīng)的彈簧振子模型進行了研究，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)彈簧剛度k→∞時，相比另外兩種恢復(fù)系數(shù)而言，采用能量恢復(fù)系數(shù)下的剛體模型計算得到的碰撞后角速度及能量損耗與局部柔化下的更一致。

姚文莉[22]采用同樣的例子，研究了三種恢復(fù)系數(shù)對初始角的敏感度問題，相對不同的入射角，Stronge能量恢復(fù)系數(shù)的曲線非常密集，且呈單調(diào)關(guān)系，而Newton運動學(xué)和Poisson動力學(xué)恢復(fù)系數(shù)則變化明顯，即對入射角的敏感度較大。相對Newton及Poisson恢復(fù)系數(shù)，Stronge恢復(fù)系數(shù)表達式對初值的微小變化具有更好的穩(wěn)定性。

(2)能否保證碰撞前后的能量協(xié)調(diào)

Kane[23-24]在將牛頓運動學(xué)恢復(fù)系數(shù)及Whittaker假定綜合應(yīng)用來解決一般多剛體系統(tǒng)碰撞問題時，針對某些初始條件，計算中出現(xiàn)了碰撞后動能增加的奇怪現(xiàn)象，隨后，他以 “一個動力學(xué)之謎”為題，將碰撞計算中所發(fā)生的能量不協(xié)調(diào)的問題提了出來；而Seabra等[25]采用了運動學(xué)恢復(fù)系數(shù)，通過角坐標及正則方程在模擬雙擺問題時，同樣遇到碰撞后能量增加的不協(xié)調(diào)的問題。

這個問題使得很多研究者對于用簡單的Newton恢復(fù)定律來解決含摩擦的一般多剛體碰撞問題的方法發(fā)生了懷疑，是否碰撞前后能夠保證能量協(xié)調(diào)成為判斷碰撞恢復(fù)系數(shù)優(yōu)劣性的重要標準。

Wang等[26]研究了含摩擦兩維剛體的碰撞問題，他們考慮了可能的碰撞模式，分別選用了Newton恢復(fù)定律及Poisson恢復(fù)定律來計算碰撞后的能量，在簡單的桿與粗糙地面的斜碰撞問題中，發(fā)現(xiàn)Newton恢復(fù)系數(shù)依然會出現(xiàn)能量不協(xié)調(diào)問題，而Poisson則不能；Ivanov[9]分別用三種恢復(fù)系數(shù)研究兩體碰撞問題，通過將分析結(jié)果與實驗結(jié)果相對比，他認為能量恢復(fù)系數(shù)更有實際意義。

Stronge[15]在提出新的能量恢復(fù)系數(shù)之后，采用三種恢復(fù)系數(shù)重新計算了Kane的算例后發(fā)現(xiàn)：雖然通過動力學(xué)恢復(fù)系數(shù)計算的碰撞后能量損失總是為負值，但它相比于能量恢復(fù)系數(shù)，耗散了過多的能量,于是他認為：在三種關(guān)于恢復(fù)系數(shù)的定義中，能量恢復(fù)系數(shù)是唯一與能量協(xié)調(diào)的。

關(guān)于恢復(fù)系數(shù)優(yōu)劣性的爭論一直在持續(xù)，Djerassi[12-14]在近年的連續(xù)三篇文章中，分別基于三種不同的恢復(fù)系數(shù)，采用Routh的半圖解方法及庫侖摩擦模型，研究了簡單非完整系統(tǒng)的單點碰撞問題，結(jié)果顯示:當(dāng)碰撞過程中有粘滯或反向滑動發(fā)生時，Routh方法的并入并不能阻止采用Newton恢復(fù)系數(shù)時所帶來的動能增加，對于Poisson假定而言，系統(tǒng)存在唯一、能量一致的解，而同樣采用Stronge的能量恢復(fù)系數(shù)時則應(yīng)用范圍明顯變窄。

Stronge針對上述觀點進行了回應(yīng)，他認為上述觀點的原因在于作者誤解了能量恢復(fù)系數(shù)的物理含義而在系統(tǒng)上強加了由Poisson系數(shù)表達的沖量比的人工約束。對于含摩擦的斜碰撞而言，三種定義的恢復(fù)系數(shù)會得到碰撞后速度及能量損耗的不同結(jié)果，當(dāng)三者取值相同時，三種定義下恢復(fù)系數(shù)產(chǎn)生的能量改變滿足ΔEp≤ΔEs≤ΔEN(其中ΔEp、ΔEs、ΔEN分別代表Poisson、Stronge及Newton恢復(fù)系數(shù)下的碰撞中的動能損失), 采用eN會產(chǎn)生動能的增加，因而違背能量守恒；采用ep，則因在恢復(fù)階段計算了過多的法向接觸沖量的功而導(dǎo)致系統(tǒng)損耗了比實際更多的能量，只有在采用es計算時，才可以得到系統(tǒng)碰撞前后能量的守恒。

按上述標準來看，相比另外兩類恢復(fù)系數(shù)，能量的恢復(fù)系數(shù)es更穩(wěn)定且符合能量守恒，但因其表達的復(fù)雜性，使得在多體系統(tǒng)的實際應(yīng)用中，eN及ep仍然得到廣泛的應(yīng)用。

2碰撞恢復(fù)系數(shù)與其他因素的相關(guān)性

碰撞恢復(fù)系數(shù)是表明碰撞過程的宏觀簡化量，當(dāng)細化碰撞過程時，根據(jù)現(xiàn)有的恢復(fù)系數(shù)的定義，恢復(fù)系數(shù)都不會只是與材料有關(guān)的常數(shù)。實驗及有限元數(shù)值計算都表明除了碰撞材料的特性，它還與一些其他因素有關(guān)，如碰撞點的初始速度、碰撞位形[27-29]、碰撞物體表面的分形參數(shù)[30]、因強烈的振動效應(yīng)導(dǎo)致的多個連續(xù)碰撞次數(shù)[31]、多體系統(tǒng)的連接方式[32]等, 恢復(fù)系數(shù)對上述因素的依賴作用可以通過實驗驗證、有限元方法或固體接觸力學(xué)方法解析計算。

2.1恢復(fù)系數(shù)與其他變量的依賴模型

既然碰撞恢復(fù)系數(shù)已被證明是與碰撞速度等相關(guān)，那么現(xiàn)有的恢復(fù)系數(shù)與這些因素的解析模型的建立是恢復(fù)系數(shù)能夠有效運用的方法之一。

Goldsmith[33]指出：如果碰撞時間比物體的最低本征周期長，那么波的效應(yīng)可以忽略，碰撞可以用準靜態(tài)接觸理論來考察。借助于接觸力學(xué)中不同的力與位移關(guān)系模型，得到了碰撞恢復(fù)系數(shù)與其他因素依賴關(guān)系的不同形式的解析表達式：

(1)彈塑性球之間的碰撞模型[27]

(4)

式(4)中采用牛頓恢復(fù)系數(shù)計算，Vy是法向相對碰撞速度的屈服界限(在此之下假設(shè)碰撞是彈性的)，該式體現(xiàn)了恢復(fù)系數(shù)與碰撞初始相對速度的依賴關(guān)系。

(2)能量恢復(fù)系數(shù)表達式[8]

(5)

(3)單點多體系統(tǒng)斜碰撞問題的能量恢復(fù)系數(shù)[32]

(6)

式中,λ1，λ2，λ3及λ4是碰撞物體相對碰撞角度、速度及摩擦的函數(shù)，f為接觸力與位移的關(guān)系模型，只與碰撞物體的材料特征相關(guān)，該表達式顯示了能量恢復(fù)系數(shù)對碰撞物體的材料、碰撞位形、速度、切向特征及多體系統(tǒng)連接方式之間的依賴關(guān)系。

2.2恢復(fù)系數(shù)的修正模型

碰撞恢復(fù)系數(shù)的最初引入其實是為了得到一個在碰撞過程中的只與材料相關(guān)的宏觀不變量，從而簡化計算。但如前節(jié)所闡述的：即使是相對穩(wěn)定的Stronge能量恢復(fù)系數(shù)也不是只與材料有關(guān)的常數(shù)，那么是否能通過對現(xiàn)有系數(shù)的修正，使其等于或接近于常數(shù)呢？

碰撞過程中會造成能量的損失，能量損失主要來源于波傳播、塑性變形及摩擦。對于細長的桿件、薄的殼體而言，大部分的初始動能都被轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚺鲎伯a(chǎn)生的波。如：Zener[34]析了球?qū)潭旱耐耆珡椥耘鲎矄栴}，其中高達90%的動能轉(zhuǎn)變?yōu)椴?；即使是致密的物體，當(dāng)碰撞物體之間的材料及大小相差過大時，因碰撞所導(dǎo)致的振動波散失的能量也不可忽略，Lim等[35]研究了粗糙的圓柱體與地面的斜碰撞問題，當(dāng)碰撞速度取系統(tǒng)的塑性變形的初始速度臨界值時，以波的形式散失的能量達到48%或46%，Schiehlen[36]在彈性碰撞的數(shù)值及實驗研究中，展示了碰撞物體的形狀對波的能量損失的作用。

Stronge的能量恢復(fù)系數(shù)的定義中并沒有考慮碰撞引起的波動及振動所帶來的能量損失，這是能量恢復(fù)系數(shù)非常數(shù)的主要因素，因此，對能量恢復(fù)系數(shù)e*定義的修正如下：

(1)合并波動效應(yīng)[35]

(7)

式中,Ww代表因應(yīng)力波所造成的能量散失，其數(shù)值可根據(jù)接觸力與位移的特征預(yù)先算出；

(2)合并模態(tài)振動效應(yīng)[10]

(8)

式中,T0為系統(tǒng)初始能量，PE，DE及FEi分別為系統(tǒng)應(yīng)變能、動能及碰撞力能量。

(3)包含碰撞局部及整體能量損失[9]

e*=eL⊕eS

(9)

式中針對細長桿件與地面斜碰撞問題，其中es代表法向局部能量損失，eL代表整體的振動能量損失，二者非簡單的加法，而是代表能量效應(yīng)上的疊加。

3恢復(fù)系數(shù)在碰撞動力學(xué)計算中的應(yīng)用方法

碰撞動力學(xué)計算一般可分為三種方法：瞬間沖量法；連續(xù)接觸力模型；有限元方法。碰撞恢復(fù)系數(shù)是利用瞬時沖量法來解決剛體系統(tǒng)碰撞問題時所引入的必要的參數(shù)，不只在瞬時沖量法中，在利用連續(xù)接觸力法及有限元法來解決多體系統(tǒng)的碰撞問題時，碰撞恢復(fù)系數(shù)的引入也有它的方便之處。本文按是否考慮其對其它參數(shù)的依賴性，將其在計算中的應(yīng)用方法分為以下兩種：

3.1將碰撞恢復(fù)系數(shù)作為材料常數(shù)

(1)在瞬間碰撞假定模型中的應(yīng)用

這種應(yīng)用方式是碰撞恢復(fù)系數(shù)最常見、廣泛的應(yīng)用方法。最初，牛頓首次提出用運動學(xué)恢復(fù)系數(shù)來作為碰撞動力學(xué)問題的補充方程，首次解決了近球狀物體的對心正碰問題；Kane第一次大膽的將牛頓恢復(fù)系數(shù)與Witterker假定相結(jié)合應(yīng)用到一般多剛體系統(tǒng)的斜碰撞問題中，但遇到了“Kane的動力學(xué)之謎”，使得研究者重新思考斜碰撞中恢復(fù)系數(shù)及切向模式問題；Feiffer采用Poisson動力學(xué)恢復(fù)系數(shù)，將多體系統(tǒng)的多點斜碰撞過程通過線性互補性關(guān)系(LCP)表達出來; Stronge[37]采用能量恢復(fù)系數(shù)研究了多體系統(tǒng)的單點斜碰撞問題。

(2)與彈簧振子模型的阻尼系數(shù)間的聯(lián)系

Johnson[38]認為：當(dāng)碰撞速度比波的傳播速度小的時候，碰撞處的切向和法向柔度可以用無質(zhì)量的彈簧來模擬。因為一般波速在46m/s(橡膠)和5200m/s(鋼)之間，而本文主要涉及的是不引起結(jié)構(gòu)損壞的低速碰撞問題，故上述條件是很容易達到的。

一般采用的非線性彈簧阻尼模型：

(10)

(11)

Carbonelli等[40]也研究了反彈球問題中彈簧振子模型與碰撞恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系。

(3)作為連續(xù)接觸力模型中碰撞結(jié)束的標準

Liu等[41-44]在一系列文章中，引入彈性力與位移關(guān)系，同時用能量恢復(fù)系數(shù)作為碰撞結(jié)束的標準研究了多點碰撞問題，該方法在一些剛體碰撞的難點問題上取得了與實驗相吻合的結(jié)果。

3.2考慮碰撞恢復(fù)系數(shù)對其他參數(shù)的依賴性

如在第3節(jié)中所述，恢復(fù)系數(shù)不只是材料常數(shù)，而且與初始條件等因素相關(guān)，因此一些研究者在利用恢復(fù)系數(shù)來解決碰撞問題時，考慮了恢復(fù)系數(shù)的非常數(shù)特征。

(1)直接采用與初始條件相關(guān)的恢復(fù)系數(shù)解析表達式

在考慮軸承間隙的機械動力學(xué)問題中，Stammers等[45-46]均采用了速度依賴的碰撞恢復(fù)系數(shù)：

e=1-0.26v1/3

(12)

Yao等[32]在單點多體系統(tǒng)碰撞問題中采用了解析形式的能量恢復(fù)系數(shù)，并得到了能量協(xié)調(diào)的碰撞后的速度。

(2)直接通過有限元方法計算恢復(fù)系數(shù)的數(shù)值

Schiehlen[47]在含碰撞的多體系統(tǒng)的計算中采用了多尺度的方法，即先采用Poisson的動力學(xué)恢復(fù)系數(shù)來表達碰撞過程中的總沖量，然后利用有限元的方法精細地計算Piosson動力學(xué)恢復(fù)系數(shù)，最后返回到慢尺度中繼續(xù)多體系統(tǒng)的計算過程。這種模擬的方式并非預(yù)先給定恢復(fù)系數(shù)的數(shù)值或表達式，優(yōu)點在于可以相對精確的計算恢復(fù)系數(shù)，缺點在于增加了計算時間。

4結(jié)論

對于含多點碰撞的復(fù)雜系統(tǒng)(如：數(shù)以萬計的顆粒相互接觸、碰撞的系統(tǒng))而言，引入碰撞恢復(fù)系數(shù)所能帶來的計算效率的提高是至關(guān)重要的，而為保證計算精度，對碰撞恢復(fù)系數(shù)進行深入研究是必要的。到目前為止，對于碰撞恢復(fù)系數(shù)的研究工作可達成以下共識：

(1)現(xiàn)有定義的碰撞恢復(fù)系數(shù)均不是只與材料有關(guān)的常數(shù)，目前對恢復(fù)系數(shù)的修正工作主要是從能量損耗的角度入手，找到碰撞中的不變量；

(2)關(guān)于碰撞恢復(fù)系數(shù)與其他變量的關(guān)系表達式主要是基于力與位移關(guān)系，其精確度依賴于力與位移關(guān)系的建立模型，且目前所得到的表達式均過于復(fù)雜，從而給其在復(fù)雜系統(tǒng)中的應(yīng)用帶來了不便；

(3)碰撞恢復(fù)系數(shù)性質(zhì)的研究還主要集中在兩個物體單點碰撞之間，當(dāng)碰撞點增多時，各個接觸處恢復(fù)系數(shù)之間的耦合作用的研究甚少。

碰撞恢復(fù)系數(shù)是碰撞研究中最為基礎(chǔ)性的工作，目前的工作雖然有一定的進展，但遠未成熟，針對研究現(xiàn)狀，我們認為今后對碰撞恢復(fù)系數(shù)的研究工作可以在以下幾方面尋求突破:

(1)從更多的角度尋找碰撞過程中不變量，得到碰撞恢復(fù)系數(shù)的更合適的定義方式；

(2)將碰撞恢復(fù)系數(shù)的研究從兩點向多點擴展，考慮因多個碰撞點動力學(xué)效應(yīng)的相互耦合所帶給碰撞恢復(fù)系數(shù)的影響；

(3)碰撞恢復(fù)系數(shù)是極強短暫的碰撞作用的宏觀簡化，而接觸力學(xué)有限元數(shù)值及實驗設(shè)計的精確度是這個簡化的基礎(chǔ)，有效利用計算接觸力學(xué)及碰撞實驗研究的最新研究成果，碰撞恢復(fù)系數(shù)的研究有望取得突破。

本文主要關(guān)注了碰撞中的法向特征，文中的碰撞恢復(fù)系數(shù)也是指法向碰撞恢復(fù)系數(shù)，當(dāng)考慮碰撞的切向特征時，工程中一般會采用庫侖的干摩擦模型，也有學(xué)者提出了切向恢復(fù)系數(shù)的概念來表征切向柔度，但因切向恢復(fù)系數(shù)在應(yīng)用中遠遠不如法向碰撞恢復(fù)系數(shù)那么廣泛，故文中沒有過多闡述。

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第一作者張波男，博士生，1988年生

通信作者曾京男，教授,博士生導(dǎo)師，1963年生