考慮質(zhì)量偏心Timoshenko梁的彎-縱耦合固有振動特性研究

王劍1,2，張振果1,2，華宏星1,2

(1. 上海交通大學機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海200240；2.上海交通大學振動、沖擊及噪聲研究所，上海200240)

摘要：針對有限元法等數(shù)值方法較難處理的質(zhì)量偏心梁問題，考慮質(zhì)心、形心不重合情形下的彎-縱耦合效應，建立了有偏心Timoshenko梁彎-縱耦合振動的數(shù)學模型，推導了相應的特征方程。進而給出了若干偏心工況下Timoshenko梁彎-縱耦合振動的解析表達式，并探討了偏心率和典型邊界條件對縱向和彎曲振動固有頻率和模態(tài)振型的影響規(guī)律。分析結(jié)果表明，固有頻率隨著偏心率的增大而減小，且質(zhì)量偏心對縱向振動的影響較彎曲振動更為明顯。

關(guān)鍵詞：質(zhì)量偏心；彎-縱耦合；Timoshenko梁；振動

中圖分類號:O326；U661.44

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.003

Abstract:Natural vibration of a beam with mass eccentricity is difficult to deal with using numerical methods, such as, the finite element method. Considering the coupling effect caused by the center of mass not coinciding with the center of geometry, the mathematical model of a Timoshenko beam’s flexural-longitudinal coupled vibration was established, the corresponding characteristic equation was derived. Then the analytic solutions to Timoshenko beam’s flexural-longitudinal coupled natural vibration under several mass eccentric conditions were deduced. The effect laws of eccentricities and boundary conditions on the natural frequencies and modal shapes of flexural-longitudinal coupled natural vibration were explored. The results showed that the natural frequencies decrease with increase in eccentricity, and the effects of eccentricity on the longitudinal vibration are more obvious than those on the flexural vibration.

基金項目：國家自然科學基金項目(51409128,51409129,U1430236);江蘇省自然科學青年基金項目(BK20140504) 國家自然科學基金(51375047);教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃(NCET-12-0048)

收稿日期：2015-01-26修改稿收到日期：2015-04-28 2014-04-23修改稿收到日期：2015-04-28

Flexural-longitudinal coupled natural vibration characteristics of a Timoshenko beam considering mass eccentricity

WANGJian1,2,ZHANGZhen-guo1,2,HUAHong-xing1,2(1. State Key Laboratory on Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China;2. Institute of Vibration, Shock and Noise, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Key words:eccentricity; flexural and longitudinal coupled; Timoshenko beam; vibration

本文推導了有偏心Timoshenko梁的彎-縱耦合振動控制方程，給出了不同偏心工況下彎-縱耦合振動的解析解，并分析了偏心率和邊界條件對彎-縱耦合固有振動特性的影響。

1有偏心Timoshenko梁的數(shù)學模型

如圖1所示為質(zhì)量偏心Timoshenko梁微元。其中，Q是剪切力、N是軸向力、M是彎矩、D是形心(剛度中心、彎曲中心)、G是質(zhì)量中心、e是梁質(zhì)心和形心之間的距離、γ是剪切應變、θ是轉(zhuǎn)動角度、v是梁的橫向位移。

圖1　質(zhì)心和幾何中心不重合的Timoshenko梁微元 Fig.1 Timoshenko Beam element with misalignment between centroid and geometric center

根據(jù)縱向力平衡方程：

ρA[utt+eθtt]dx=N+Nxdx-N

(1)

根據(jù)剪力平衡關(guān)系：

ρAvttdx=Q-(Q+Qxdx)

(2)

根據(jù)彎矩平衡關(guān)系：

ρ[I+Ae2]θttdx=

M+Mxdx-M-Qdx-(N+Nxdx-N)e

(3)

式中:ρ是梁的密度,A是梁的截面面積,u是梁的縱向位移,I是梁截面的截面慣性矩。本文研究對象是沿長度方向均勻的梁，因此上述梁的幾何參數(shù)和物理參數(shù)沿梁的長度方向均為常數(shù)。下標t表示對變量關(guān)于t求偏導，下標x表示對變量關(guān)于x求偏導。

由于梁的質(zhì)量中心和形心不重合，梁的轉(zhuǎn)動將引起質(zhì)心的縱向位移。而轉(zhuǎn)動造成質(zhì)心的橫向位移屬于二階小量，可以忽略。梁微元轉(zhuǎn)動引起質(zhì)心的縱向位移為eθ，則質(zhì)心縱向加速度可表示為utt+eθtt。同時質(zhì)心的縱向運動誘使梁微元產(chǎn)生ρAe2dx的附加轉(zhuǎn)動慣量。

應變和力之間的關(guān)系為：

N=EAux

(4)

M=EIθx

(5)

Q=-kAG(vx-θ)

(6)

式中:E是彈性模量、k是截面的剪切系數(shù)、G是剪切模量。

將式(4)～式(6)代入式(1)～式(3)，可得到：

ρA(utt+eθtt)=EAuxx

(7)

ρAvtt=kGA(vxx-θx)

(8)

ρ(I+Ae2)θtt=EIθxx+kGA(vx-θ)-eEAuxx

(9)

根據(jù)式(8)，可得到：

(10)

根據(jù)式(10)，可得到：

(11)

(12)

將式(7)、式(9)對x求一階偏導：

ρA(uttx+eθttx)=EAuxxx

(13)

ρ(I+Ae2)θttx=EIθxxx+

kGA(vxx-θx)-eEAuxxx

(14)

將式(10)～式(12)代入式(13)、式(14)，化簡可得考慮質(zhì)量偏心Timoshenko梁的彎-縱耦合控制方程：

ρ2evtttt-ρekGvxxtt+kGEuxxx-kGρuttx=0

(15)

ρ2(I+2Ae2)vtttt+EIkGvxxxx-[EIρ+ρkG(I+

2Ae2)]vxxtt-ρAekGuttx+kGρAvtt=0

(16)

2求解方法

利用分離變量法，可令

u(x,t)=U(x)sin(ωt+φ)

v(x,t)=V(x)sin(ωt+φ)

(17)

將式(17)代入式(15)及(16)，得到：

ρ2eω4V+ρekGω2Vxx+

kGEUxxx+kGρω2Ux=0

(18)

ρ2(I+2Ae2)ω4V+EIkGVxxxx+[EIρ+ρkG(I+

2Ae2)]ω2Vxx+ρAekGω2Ux-kGρAω2V=0

(19)

令

V(x)=CeλxU(x)=Beλx

(20)

將式(20)代入(18)、(19)，得到：

(21)

式中：

Z11=ρ2eω4+ρekGω2λ2

Z12=kGEλ3+kGρω2λ

Z21=ρ2(I+2Ae2)ω4+EIkGλ4-

kGρAω2+[EIρ+ρkG(I+2Ae2)]ω2λ2

Z22=ρAekGω2λ

式(21)有非零解的條件為系數(shù)矩陣的行列式要為零，由此可得到偏心梁縱-橫耦合振動的特征方程：

E2k2G2IS3+kGEρω2(EI+2kGI+2kGAe2)S2-

kGρω2(-2EIρω2-2EAe2ρω2-kGρIω2-

kGρAe2ω2+kGEA)S-

kGρ2ω4[-(I+Ae2)ρω2+kGA]=0

(22)

式中：S=λ2。

式(22)為λ的六次方程，則其根可表示為：

故而振型函數(shù)可表示為：

V(x)=Ceλx=C1eλ1x +

C2eλ2x +C3eλ3x +C4eλ4x +C5eλ5x +C6eλ6x

(23)

U(x)=Beλx=B1eλ1x+B2eλ2x+

B3eλ3x+B4eλ4x+B5eλ5x+B6eλ6x=

H(λ1)C1eλ1x+H(λ2)C2eλ2x+H(λ3)C3eλ3x+

H(λ4)C4eλ4x+H(λ5)C5eλ5x+H(λ6)C6eλ6x

(24)

式中：

eλ1x=ch(αx)+sh(αx)，eλ2x=ch(αx)-sh(αx)

eλ3x=cos(βx)+isin(βx)，eλ4x=cos(βx)-isin(βx)

eλ5x=cos(γx)+isin(γx)，eλ6x=cos(γx)-isin(γx)

根據(jù)式(21)，B和C之間存在如下關(guān)系：

Bj=H(λj)Cj，j=1,2…6

式中：

(25)

考慮三種典型邊界條件。

自由-自由梁的邊界條件：

簡支-簡支梁的邊界條件：

U=V=EIΘx=0

(27)

固支-固支的邊界條件：

U=V=Θ=0

(28)

以自由-自由邊界條件為例，由式(27)、(28)可得：

(29)

(30)

將式(17)代入式(10)中，可得：

(31)

對式(31)積分：

(32)

將式(31)、(32)代入式(29)、(30)，可得：

(33)

(34)

利用式(25)對式(23)、式(24)進行整理，可得：

Ux=λ1H(λ1)C1eλ1x+λ2H(λ2)C2eλ2x+

λ3H(λ3)C3eλ3x+λ4H(λ4)C4eλ4x+

λ5H(λ5)C5eλ5x+λ6H(λ6)C6eλ6x

(35)

(36)

(37)

將式(35)～式(37)代入邊界條件式(26)、式(33)、式(34)，可以得到關(guān)于C1-C6的方程組表示為矩陣形式如下：

[T][C]=[0]

(38)

式中：

[C]=[C1C2C3C4C5C6]T

T11=T12=αH(α),T13=T14=βH(β),

T15=T16=γH(γ)

T21=αH(α)[sh(αL)+ch(αL)]

T22=αH(α)[ch(αL)-sh(αL)]

T23=βH(β)[-sin(βL)+icos(βL)]

T24=βH(β)[sin(βL)+icos(βL)]

T25=γH(γ)[-sin(γL)+icos(γL)]

T26=γH(γ)[sin(γL)+icos(γL)]

T是一個關(guān)于ω的矩陣，式(38)存在非零解的條件為T矩陣的行列式為零，從而可獲得特征方程，并可解出梁的固有頻率。將固有頻率代入T中，即可求得相應的振型系數(shù)，從而得到梁的振型函數(shù)。

3算例分析

本文所采用梁模型參數(shù)見表1所示，其中剪切因子k是根據(jù)Cowper[11]對圓形截面的研究所取。為驗證本文方法的正確性，首先在未考慮偏心情況下，將解析結(jié)果與ANSYS軟件數(shù)值結(jié)果進行比較。其后考察各種偏心率工況下，梁的彎-縱振動特性。

表1　計算模型的參數(shù)

3.1未考慮偏心下的結(jié)果對比

以自由-自由邊界條件為例，前十階模態(tài)頻率的對比如表2所示。不難看出，本文結(jié)果與有限元結(jié)果吻合良好，各階誤差均小于0.0518%，從而可驗證本文方法的有效性。表2所示其中第6階和第9階分別對應梁的一縱和二縱固有振動。

表2　未偏心下本文方法與數(shù)值方法的結(jié)果比較

相對誤差：(解析法固有頻率FEM固有頻率)/解析法固有頻率100%

3.2各種偏心率工況下的結(jié)果對比

在表3中，列出了三種典型邊界，即固支-固支(C-C)、自由-自由(F-F)、簡支-簡支(S-S)邊界條件下，偏心率ee(ee=e/R)為0、0.3、0.6和0.9工況下的梁模型前六階固有振動頻率的結(jié)果。圖2、3、4為各工況下梁模型的一彎和一縱振型比較。

通過對表3中的結(jié)果對比，不難發(fā)現(xiàn)：除了自由-自由邊界條件下的一階縱向振動固有頻率會隨著質(zhì)量偏心的增大略有增大以外，其它邊界條件下的各階振動固有頻率都會隨著偏心率的增大而降低；對于任一階固有振動，其模態(tài)頻率均會隨著偏心率的增大而減小，偏心率越大，其頻率下降的越明顯；在任意偏心率工況下，梁模型固有振動階數(shù)越高，其自然頻率的下降越明顯。

表3　三種典型邊界條件下，各種偏心時梁模型的前六階固有頻率

通過對圖2～圖4中的振型結(jié)果比較，可以發(fā)現(xiàn)：質(zhì)量偏心對梁模型的一彎和一縱固有振型影響均很小。相對而言，每一種邊界條件下，質(zhì)量偏心對一階縱向振動振型的影響比對一階彎曲振動振型的影響要大，見圖2。

圖2 固支-固支邊界條件時的振型Fig.2Vibrationmodesunderclamped-clampedboundarycondition圖3 自由-自由邊界條件時的振型Fig.3Vibrationmodesunderfree-freeboundarycondition圖4 簡支-簡支邊界條件時的振型Fig.4Vibrationmodesundersimply-simplyboundarycondition

4結(jié)論

本文通過對質(zhì)心和形心不重合Timoshenko梁的力學分析，導出了質(zhì)量偏心梁的彎-縱耦合振動解析表達式。給出了三種典型邊界條件下，對應于不同偏心率工況的偏心梁固有振動頻率和模態(tài)振型，研究了質(zhì)量偏心對梁固有振動特性的影響，主要結(jié)論如下：

(1)通過未考慮偏心情況下的解析解和有限元結(jié)果的比較，證實了本文方法的有效性；

(2)除自由-自由邊界條件的一階縱振之外，隨著質(zhì)量偏心的增大，系統(tǒng)各階振動頻率略微降低，且隨著偏心率增大，頻率下降越明顯；在各工況下對應于任一偏心率，振動階數(shù)越高，頻率下降越明顯；

(3)質(zhì)量偏心對梁的一階彎曲和一階縱振固有振型的影響較小，相對而言，偏心對一縱振型的影響要比對一彎大。

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第一作者崔杰男，博士，講師，碩士生導師，1984年生

第一作者劉輝女，博士，教授，博士生導師，1975年生