第一作者孔祥杰男，博士生，1984年7月生

通信作者陳花玲女，教授，博士生導(dǎo)師，1954年8月生

附加自由阻尼梁高頻響應(yīng)的能量有限元方法模型

孔祥杰1,2， 陳花玲1,2，祝丹暉1,2，張文博1,2

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，西安710049； 2.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710049)

摘要：能量有限元方法(EFEA)是一種預(yù)示結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)的新方法。為了利用能量有限元方法準(zhǔn)確的預(yù)示附加阻尼結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)，將復(fù)剛度法與能量有限元的相關(guān)理論相結(jié)合，同時(shí)對現(xiàn)有的能量有限元推導(dǎo)思路進(jìn)行了大結(jié)構(gòu)阻尼條件下的修正，推導(dǎo)了大阻尼工況下，附加自由阻尼梁結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)響應(yīng)的能量密度控制方程。同時(shí)，通過對阻尼處理交界面處能量轉(zhuǎn)移關(guān)系的分析，建立了經(jīng)過局部附加阻尼處理的梁結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)的能量有限元模型。通過與各自工況下模態(tài)解析解的對比，所建立的能量有限元方法模型可以準(zhǔn)確的預(yù)示大結(jié)構(gòu)阻尼工況下附加阻尼梁的高頻響應(yīng)。

關(guān)鍵詞：能量有限元；附加阻尼結(jié)構(gòu)；高頻響應(yīng)預(yù)示

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11172222)

收稿日期：2014-05-23修改稿收到日期：2014-08-19

中圖分類號:TB123

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.016

Abstract:Energy Finite Element Analysis (EFEA) is a method developed for high-frequency structural response prediction in recent years. To study high-frequency vibration responses of beam structures with free-layer damping (FLD) treatment, the governing equation of energy density for bending vibration of beam structures with FLD treatment under large damping condition was derived based on the model of equivalent complex flexural stiffness and the theory of EFEA with special treatments and modifications for high structural damping. Meanwhile, the EFEA model of beam structures with partial FLD treatment was also built by studying the energy transfer relationship at the interface of damping treatment. Numerical simulations verified the proposed model through comparing with the analytical modal solutions. The results showed that the proposed EFEA model can predict the high-frequency vibration responses of beam structures with FLD treatment under high damping condition accurately.

Energy finite element ananlysis for high-frequency vibration of beams with free-layer damping treatment

KONGXiang-jie1,2,CHENHua-ling1,2,ZHUDan-hui1,2,ZHANGWen-bo1,2(1. School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;2. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Key words:energy finite element analysis; free layer damping (FLD) treatment; high-frequency response

阻尼減振降噪技術(shù)是目前常用的振動(dòng)與噪聲控制方法之一，作為其中最常用的一種處理手段，附加阻尼處理對薄壁類大尺寸構(gòu)件的減振降噪效果特別顯著，因此廣泛的應(yīng)用在汽車的外殼、車身立柱，飛機(jī)機(jī)身艙壁大尺寸薄壁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與噪聲控制中。

在結(jié)構(gòu)共性上，此類大尺寸輕薄的附加阻尼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)更多表現(xiàn)為高頻響應(yīng)。目前求解結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)問題的主要預(yù)示方法為有限元法、統(tǒng)計(jì)能量法和能量有限元方法。

有限元法是目前結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析中使用最廣泛的方法。但是，在高頻時(shí)，為保證運(yùn)算精度，有限元法所劃分單元的個(gè)數(shù)需要成倍增加，求解時(shí)所需的計(jì)算時(shí)間和計(jì)算成本急劇增加，甚至使得求解不切實(shí)際而無法實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，高頻下結(jié)構(gòu)響應(yīng)對結(jié)構(gòu)的材料特征微小變化的敏感度遠(yuǎn)高于低頻，因此，有限元法一般用于低頻分析，無法完全勝任此類附加阻尼結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)預(yù)示。統(tǒng)計(jì)能量法(SEA)是一種較為成熟的高頻聲振響應(yīng)的預(yù)示方法。它以模態(tài)理論為基礎(chǔ)，以子系統(tǒng)平均振動(dòng)響應(yīng)的能量密度為研究對象，只需用一組線性代數(shù)方程便可描述子系統(tǒng)間的響應(yīng)能量關(guān)系，計(jì)算效率高。但是，由于統(tǒng)計(jì)特征的限制使子系統(tǒng)劃分粗大，僅能給出結(jié)構(gòu)粗略的平均響應(yīng)，無法預(yù)測子系統(tǒng)中局部位置的精確響應(yīng)及響應(yīng)隨位置的空間變化，且不能考慮能量密度在子系統(tǒng)內(nèi)的變化和阻尼的不均勻性，因此，統(tǒng)計(jì)能量法無法滿足精確描述附加阻尼結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)的要求。

能量有限元方法(EFEA)是近年來提出的一種高頻響應(yīng)預(yù)示的新方法，它基于波動(dòng)的方法以能量形式描述系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，可以描述結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨空間變化的情況，結(jié)構(gòu)的幾何及阻尼特征可以得到充分表達(dá)。能量有限元方法采用有限元數(shù)值求解，只需要很少的網(wǎng)格便可以較為準(zhǔn)確的預(yù)示結(jié)果，克服了有限元法在預(yù)示高頻問題時(shí)計(jì)算成本高計(jì)算時(shí)間長的缺點(diǎn)及統(tǒng)計(jì)能量法無法預(yù)測子系統(tǒng)中局部位置的精確響應(yīng)及響應(yīng)隨位置的空間變化的不足，是一種非常具有研究價(jià)值和發(fā)展前景的結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)預(yù)示方法。

能量有限元方法由Nefske等[2]提出，他們以梁結(jié)構(gòu)為研究對象，采用能量密度及能量流描述結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)，最終得到了以能量密度為變量的、近似于熱傳導(dǎo)方程的二階微分方程。同時(shí)采用有限元對該方程進(jìn)行離散求解，正式創(chuàng)立了能量有限元方法。隨后，Wohlever，Bouthier，Cho等[3-5]先后建立了桿結(jié)構(gòu)、梁、板及耦合結(jié)構(gòu)等基本結(jié)構(gòu)的能量有限元方法模型。在應(yīng)用研究方面，密歇根大學(xué)Vlahopoulos教授研究團(tuán)隊(duì)的Zhang、Wang、Lee、Yan等[6-9]先后建立了流體接觸結(jié)構(gòu)、復(fù)合層合板等結(jié)構(gòu)的能量有限元模型，并應(yīng)用到艦船、汽車白車身、飛機(jī)旋翼等實(shí)際結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)分析中。此外，游進(jìn)等[10-11]、張文博等[12]、Kong等[13]分別對隨機(jī)能量有限元、熱環(huán)境下的能量有限元理論、能量有限元方法的有效性判據(jù)等問題進(jìn)行了研究。

然而，截至目前，有關(guān)附加阻尼結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)響應(yīng)預(yù)示的能量有限元模型的相關(guān)研究尚未見報(bào)道?，F(xiàn)有的能量有限元理論在控制方程推導(dǎo)過程中對振動(dòng)波的波數(shù)及群速度進(jìn)行了小阻尼近似，當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼較小時(shí)，這種基于小阻尼假設(shè)的近似引起的誤差較小，然而，對于附加阻尼結(jié)構(gòu)而言，為達(dá)到相應(yīng)的減振降噪效果，結(jié)構(gòu)的實(shí)際阻尼損耗因子一般很大，若仍采取小阻尼假設(shè)而直接使用現(xiàn)有的EFEA控制方程進(jìn)行求解，勢必會(huì)帶來更大的誤差[14]。因此，有必要建立大阻尼條件下的能量有限元模型，對這類結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)進(jìn)行精確預(yù)示。

本文將復(fù)剛度理論與能量有限元相關(guān)理論結(jié)合起來，以附加阻尼結(jié)構(gòu)中最為常用的附加自由阻尼結(jié)構(gòu)為研究對象，對現(xiàn)有的能量有限元推導(dǎo)思路進(jìn)行了大結(jié)構(gòu)阻尼工況下的修正，推導(dǎo)了附加自由阻尼梁及局部附加自由阻尼梁高頻響應(yīng)的能量密度控制方程，并采用有限單元法對控制方程進(jìn)行離散求解。最后，通過與多個(gè)工況下的精確模態(tài)解析解的對比，證明了本文所建立的能量有限元方法模型可以準(zhǔn)確的預(yù)示附加阻尼梁結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)。

1附加自由阻尼梁的能量密度控制方程推導(dǎo)

1.1等效彎曲剛度的求取

圖1為附加自由阻尼梁的橫截面示意圖。在梁整個(gè)上表面粘貼了一層附加阻尼層，組成典型的附加自由阻尼結(jié)構(gòu)。其中彈性基層(梁本身)與附加阻尼層的厚度分別為H與H1，梁的寬度為b。圖中點(diǎn)劃線代表組合梁的中性面位置。

圖1　附加自由阻尼梁的橫截面示意圖 Fig.1 Cross section of FLD beam

(1)

阻尼效應(yīng)對振動(dòng)的影響可以用結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子η來表述，對附加阻尼層而言，有

(2)

其中：η1為附加阻尼層的結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子。

一般而言，梁的彈性基層即梁本身的材質(zhì)為金屬，與附加黏彈阻尼層相比，其阻尼系數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于附加阻尼層，故彈性基層的阻尼系數(shù)可以忽略。因此有

E*=E(1+iη)≈E

(3)

式中：η為梁本身的結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子。

(4)

另一方面，附加自由阻尼梁的等效阻尼損耗因子ηeq可表示為

在求得了等效復(fù)彎曲剛度Deq和等效阻尼損耗因子ηeq后，附加自由阻尼梁的橫向振動(dòng)方程便可表示為

(6)

其中：w為梁的橫向位移；m為附加自由阻尼梁的總質(zhì)量，m=ρS+ρ1S1，ρ與ρ1分別為彈性基層及附加黏彈阻尼層的密度，S與S1分別為彈性基層及附加黏彈阻尼層的橫截面積；F(x-x0)為作用在x=x0位置上的激勵(lì)力。

1.2大阻尼條件下能量密度控制方程的推導(dǎo)

忽略掉近場項(xiàng)后，該附加自由阻尼梁的橫向振動(dòng)方程式(6)的位移w的解可表示為

(7)

式中：A與B為由邊界條件確定的待定系數(shù)；k*為復(fù)彎曲波數(shù)。

聯(lián)立式(6)與(7)，可得等效復(fù)彎曲波數(shù)的表達(dá)式為

(8)

其中：定義tanφ=ηeq；ω為振動(dòng)的圓頻率。

對現(xiàn)有傳統(tǒng)的能量有限元理論而言，由于一般系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼較小，為了簡化推導(dǎo)，對復(fù)彎曲波數(shù)的表達(dá)式(8)進(jìn)行了小阻尼假設(shè)基礎(chǔ)上的近似與簡化。將指數(shù)函數(shù)次冪項(xiàng)中的三角函數(shù)在小阻尼假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了等效近似。對傳統(tǒng)的能量有限元理論[3]而言，波數(shù)可近似表示為

(9)

一般地，定義keq=keq1+jkeq2，則有

(10)

對小阻尼結(jié)構(gòu)而言，上述近似帶來的誤差較小[12]。然而，對于附加阻尼結(jié)構(gòu)而言，由于黏彈阻尼層的存在，整個(gè)結(jié)構(gòu)的阻尼一般都遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)本身的阻尼，當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼顯著增大，對波數(shù)進(jìn)行小阻尼近似帶來的誤差將顯著增加。因此，對附加阻尼結(jié)構(gòu)，為了確保預(yù)示精度，更準(zhǔn)確的描述系統(tǒng)的響應(yīng)特性，應(yīng)該對現(xiàn)有的傳統(tǒng)能量有限元理論進(jìn)行修正，使用未進(jìn)行小阻尼近似的波數(shù)式(8)來進(jìn)行能量控制方程的推導(dǎo)。

因此，式(8)可以改寫為

(11)

則等效群速度Cg-eq可以表示為

(12)

橫向振動(dòng)的附加阻尼梁的能量密度為勢能密度和動(dòng)能密度之和。時(shí)間平均的能量密度可以表示為[3]

式中：W為能量密度；“〈〉”表示時(shí)間平均；“*”表示共軛運(yùn)算。

時(shí)間平均的能量流可以表示為[3]

(14)

式中：q為能量強(qiáng)度；Re表示取實(shí)部運(yùn)算。

將位移的遠(yuǎn)場解式(7)及其相應(yīng)的等效復(fù)彎曲波數(shù)式(8)代入式(13)和(14)，并在半個(gè)波長上進(jìn)行如下式的本地空間平均，化簡后最終可得到

(15)

(16)

聯(lián)立式(15)和(16)，可得能量密度與能量流的關(guān)系為

(17)

定義ηeq-EFEA為附加阻尼結(jié)構(gòu)的等效能量有限元阻尼系數(shù)，且

ηeq-EFEA=

(18)

對整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)而言，穩(wěn)態(tài)下的能量平衡方程可以表示為

(19)

振動(dòng)系統(tǒng)的能量耗散關(guān)系可以近似表示為

(20)

聯(lián)立能量密度與能量流的關(guān)系式(17)、能量平衡方程(19)及能量耗散關(guān)系式(20)，可得到附加自由阻尼梁的EFEA能量密度控制方程為

(21)

式(21)即為大阻尼條件下附加自由阻尼梁高頻振動(dòng)的能量密度控制方程。與傳統(tǒng)的梁結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程[3]相比，式(21)既考慮了附加阻尼層對梁的影響，又采用了完整的波數(shù)表達(dá)式，無需小阻尼假設(shè)，因此能更好的預(yù)示附加阻尼結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)。

采用有限單元法對能量密度控制方程式(21)進(jìn)行離散求解。離散后的最終的節(jié)點(diǎn)單元線性方程則可表示為

[Ke]{We}={Fe}+{Qe}

(22)

式中：上標(biāo)e為表示該量為單元量；{We}為節(jié)點(diǎn)能量密度向量；[Ke] 為單元系數(shù)矩陣；{Fe}為外加輸入功率矩陣；{Qe}為單元邊界節(jié)點(diǎn)處內(nèi)部功率列陣。

2局部附加自由阻尼梁能量模型的建立

上節(jié)的推導(dǎo)基于整個(gè)梁均進(jìn)行了自由阻尼處理的情況，在工程實(shí)際中，對整個(gè)結(jié)構(gòu)均進(jìn)行附加阻尼處理會(huì)大幅提升處理成本。因此，通常僅對彈性基體的某些位置進(jìn)行局部附加阻尼處理。因此，本節(jié)將建立進(jìn)行了局部附加阻尼處理的梁結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)的能量有限元模型。

圖2為一個(gè)典型的進(jìn)行了局部附加自由阻尼處理的梁結(jié)構(gòu)，僅在其中部區(qū)域粘貼了黏彈阻尼材料，而其它位置未進(jìn)行阻尼處理。當(dāng)振動(dòng)波傳遞到附加阻尼層交界面位置時(shí)，由于交界面處的剛度、厚度和橫截面積等參數(shù)發(fā)生了改變，振動(dòng)波將產(chǎn)生部分反射與部分傳遞的現(xiàn)象。因此，可以將進(jìn)行了局部附加自由阻尼處理的梁結(jié)構(gòu)等效為數(shù)個(gè)具有不同物理參數(shù)的耦合梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題來處理。

圖2　進(jìn)行了局部附加自由阻尼處理的梁結(jié)構(gòu)示意圖 Fig.2 A beam with partial free layer damping treatment

圖3為交界面位置的節(jié)點(diǎn)示意圖，交界面節(jié)點(diǎn)位置的能量密度W和能量流q可以用傳播出去部分(上標(biāo)用“t”表示)和反射回來部分(上標(biāo)用“r”表示)來描述

(23)

qi=qit+qir

(24)

式中：下標(biāo)i=1表示進(jìn)行了附加阻尼處理的部分梁，i=2或3表示未進(jìn)行附加阻尼處理的那部分梁。由于兩側(cè)未進(jìn)行附加處理的那部分梁物理參數(shù)相同，故下述推導(dǎo)中用下標(biāo)2、3或者其中之一(下標(biāo)2)來統(tǒng)一表示。

圖3　進(jìn)行了附加阻尼處理和未進(jìn)行阻尼處理 的交界面位置的節(jié)點(diǎn)關(guān)系示意圖 Fig.3 The interface between the sector with or without partial free layer damping treatment

對于單個(gè)正在傳遞的振動(dòng)波而言，能量流與能量密度存在如下關(guān)系

(25)

如圖3所示，流出交界面節(jié)點(diǎn)每一側(cè)的凈能量可以分別表示為

(26)

(27)

式中：τij為i部分梁到j(luò)部分梁之間的能量傳遞系數(shù)；rii為i部分梁的能量反射系數(shù)。對于保守耦合的一維梁結(jié)構(gòu)而言，有τij=τji，rii=rjj同時(shí)τ+r=1。

將式(25)代入式(26)及(27)可得到

(28)

(29)

聯(lián)立式(23)～(29)最終可得到進(jìn)行了附加阻尼處理和未進(jìn)行阻尼處理的交界面位置的振動(dòng)能量轉(zhuǎn)移關(guān)系為

(30)

(31)

另外，對于未進(jìn)行阻尼處理的部分梁的高頻響應(yīng)，可用傳統(tǒng)的梁結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)的EFEA能量密度控制方程來表示

(32)

參考文獻(xiàn)能量傳遞系數(shù)與能量反射系數(shù)通過耦合處理交界面位置的位移、剪力彎矩等連續(xù)性條件求取，具體方法可[5]。

將進(jìn)行了附加自由阻尼處理的梁部分的控制方程式(21)及未進(jìn)行阻尼處理的梁部分的控制方程(32)與阻尼處理的交界面位置的振動(dòng)能量轉(zhuǎn)移關(guān)系式(30)和(32)聯(lián)立，即可求取局部附加阻尼結(jié)構(gòu)的下高頻響應(yīng)。

3附加自由阻尼梁能量有限元模型的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文推導(dǎo)的能量控制方程，本節(jié)將分別利用一個(gè)進(jìn)行了完全附加自由阻尼處理的簡支梁和一個(gè)對局部位置進(jìn)行了附加自由阻尼處理的簡支梁進(jìn)行相關(guān)對比驗(yàn)證。EFEA的計(jì)算結(jié)果將與相應(yīng)的“精確”模態(tài)解析解進(jìn)行對照驗(yàn)證。為了保證計(jì)算結(jié)果的收斂性和精度，所有的模態(tài)解析解均截取前5000階模態(tài)的計(jì)算結(jié)果。

3.1附加自由阻尼梁的驗(yàn)證

首先進(jìn)行完全附加自由阻尼處理的簡支梁的能量有限元模型的驗(yàn)證。梁的示意圖見圖4，簡諧激勵(lì)力作用在梁的中間位置。梁及附加黏彈阻尼層的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

圖4　附加自由阻尼梁示意圖 Fig.4 A beam with free layer damping treatment

參數(shù)名稱參數(shù)值梁尺寸L×b(長×寬)/m1×0.01梁本身材料密度ρ/(kg·m-3)2700梁本身彈性模量E/Pa7.1×1010梁本身厚度H/mm2梁本身結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子η0.01附加阻尼層材料密度ρ1/(kg·m-3)980附加阻尼層結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子η10.8附加阻尼層彈性模量E/Pa3.3×108附加阻尼層厚度H1/mm2或4(按工況不同)

需要說明的是，在結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)預(yù)示領(lǐng)域，高頻的定義是一個(gè)相對的概念，并不是一個(gè)確定性頻率范圍，而是一個(gè)與結(jié)構(gòu)材料及尺寸參數(shù)及激勵(lì)頻率有關(guān)的相對概念。一般認(rèn)為，當(dāng)分析頻率下對應(yīng)的振動(dòng)波長遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)尺寸時(shí)，即可認(rèn)為該振動(dòng)頻率下的預(yù)示問題為高頻問題[15-16]。本部分將選取激勵(lì)頻率為2 000 Hz和8 000 Hz兩種頻率工況進(jìn)行相關(guān)驗(yàn)證，這兩種工況下各自對應(yīng)的振動(dòng)波波長(0.13 m及0.06 m)均遠(yuǎn)小于梁的幾何長度，屬于高頻響應(yīng)問題。

首先計(jì)算了激勵(lì)頻率為2 000 Hz，附加阻尼層厚度為4 mm時(shí)附加自由阻尼梁沿x方向的振動(dòng)能量密度，并與模態(tài)解析解進(jìn)行了對比，計(jì)算結(jié)果見圖5。圖中能量密度的參考值為10-12J/m(下同)。由圖中可以看出，EFEA的預(yù)示結(jié)果與模態(tài)解析解之間有著良好的一致性。EFEA的計(jì)算結(jié)果較為精確的反映了模態(tài)解析解的均值。而在激勵(lì)點(diǎn)附近，EFEA的預(yù)示結(jié)果與模態(tài)解析解之間存在著一定的誤差，其原因是在能量密度控制方程的推導(dǎo)中，忽略了代表漸逝波的近場項(xiàng)。

圖5　激勵(lì)頻率為2 000 Hz，附加阻尼層厚度為4 mm時(shí)， 沿著x方向上梁的能量密度分布圖 Fig.5The energy density distribution along the x-axis across the excitation point when frequency centered on 2 000 Hz with the thickness of damping layer equals 4 mm

圖6　激勵(lì)頻率為8 000 Hz，附加阻尼層厚度為4 mm時(shí)， 沿著x方向上梁的能量密度分布圖 Fig.6The energy density distribution along the x-axis across the excitation point when frequency centered on 8 000 Hz with the thickness of damping layer equals 4 mm

保持其他參數(shù)不變，將激勵(lì)頻率增加到8 000 Hz，EFEA與模態(tài)解析解的預(yù)示結(jié)果見圖6。可以看到，EFEA的預(yù)示結(jié)果依然與模態(tài)解析解吻合。并且，當(dāng)激勵(lì)頻率增加后，振動(dòng)能量的衰減更為明顯，與2 000 Hz相比，由激勵(lì)點(diǎn)到邊界位置共0.5 m的長度上，能量衰減量增加了約30 dB，因此，附加自由阻尼對高頻振動(dòng)的減振效果更加的明顯。

若附加阻尼層厚度發(fā)生了變化，見圖7，當(dāng)附加阻尼層的厚度由4 mm減小到2 mm時(shí)，整個(gè)梁結(jié)構(gòu)的等效阻尼損耗因子也相應(yīng)降低，附加阻尼層對振動(dòng)能量的衰減作用變?nèi)?，與4 mm厚度時(shí)的預(yù)示結(jié)果相比，由激勵(lì)點(diǎn)到邊界位置共0.5 m的長度上，能量衰減量降低了將近40 dB。EFEA的預(yù)示結(jié)果準(zhǔn)確的反映了這一現(xiàn)象。

圖7　激勵(lì)頻率為8 000 Hz，附加阻尼層厚度為2 mm時(shí)， 沿著x方向上梁的能量密度分布圖 Fig.7 The energy density distribution along the x-axis across the excitation point when frequency centered on 8 000 Hz with the thickness of damping layer equals 2 mm

圖8　激勵(lì)頻率為50 000 Hz，附加阻尼層厚度為2 mm時(shí)， 沿著x方向上梁的能量密度分布圖 Fig.7The energy density distribution along the x-axis across the excitation point when frequency centered on 50 000 Hz with the thickness of damping layer equals 2 mm

為了驗(yàn)證本章所給出的能量有限元模型在更高的激勵(lì)頻率下對附加自由阻尼梁的預(yù)示情況，圖8計(jì)算了激勵(lì)頻率為50000 Hz、附加阻尼層的厚度為2 mm時(shí)，梁結(jié)構(gòu)沿x方向的振動(dòng)能量密度分布情況。由圖5～9可知，當(dāng)激勵(lì)頻率增加到50 000 Hz后，振動(dòng)能量更加快速地衰減，而本文所給出的EFEA模型的預(yù)示結(jié)果依然與模態(tài)解析解吻合，可以準(zhǔn)確地預(yù)示更高頻率下的附加自由阻尼梁的響應(yīng)。

3.2局部附加自由阻尼梁的驗(yàn)證

下面對進(jìn)行了局部附加自由阻尼處理的簡支梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算和對比驗(yàn)證。在圖2所示的簡支梁結(jié)構(gòu)中，梁的中部區(qū)域(0.3 m～0.7 m的區(qū)段)粘貼了黏彈阻尼層，梁本身及附加黏彈阻尼層的相關(guān)參數(shù)均如表1所示，其中附加阻尼層厚度為4 mm。

簡諧激勵(lì)力作用在梁的中間位置。激勵(lì)頻率為8 000 Hz。分別采用EFEA的能量密度控制方程和模態(tài)解析解對振動(dòng)能量響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見圖9。

圖9　激勵(lì)頻率為8 000 Hz，局部附加自由 阻尼梁沿x方向上能量密度分布圖 Fig.9The energy density distribution along the x-axis across the excitation point when frequency centered on 8 000 Hz of the beam with partial FLD treatment

從圖中可以看出，對激勵(lì)點(diǎn)位置進(jìn)行了附加阻尼處理后，振動(dòng)能量發(fā)生了明顯的衰減，結(jié)構(gòu)整體的振動(dòng)大幅度降低，充分地顯示了恰當(dāng)?shù)木植扛郊幼枘崽幚砟軌驇韺Ω哳l結(jié)構(gòu)振動(dòng)的顯著減振效果。同樣的，EFEA的預(yù)示結(jié)果較好的反映了進(jìn)行了附加阻尼處理的區(qū)段和未進(jìn)行附加阻尼處理的區(qū)段的“精確”模態(tài)解析解的平滑處理后的變化趨勢。

通過以上的算例可以看出，本文所給出的能量有限元模型可以較為精確的預(yù)示附加自由阻尼結(jié)構(gòu)梁的高頻響應(yīng)。當(dāng)結(jié)構(gòu)整體的阻尼較大時(shí)，預(yù)示結(jié)果依然具有較高的準(zhǔn)確度。

4結(jié)論

本文將等效復(fù)剛度理與能量有限方法的相關(guān)理論相結(jié)合，得到了附加自由阻尼梁及局部附加自由阻尼梁高頻響應(yīng)的能量有限元模型。通過與多個(gè)工況下的精確模態(tài)解析解的對比，對模型進(jìn)行了驗(yàn)證。對推導(dǎo)出來的控制方程模型討論如下：

(1)考慮到附加自由阻尼結(jié)構(gòu)的實(shí)際結(jié)構(gòu)阻尼較大的實(shí)際，在推導(dǎo)的過程中，對現(xiàn)有能量有限元方法的推導(dǎo)思路進(jìn)行了大阻尼條件下的修正，采用了完整的波數(shù)及群速度進(jìn)行推導(dǎo)，因而可以更準(zhǔn)確的預(yù)示大阻尼條件下的響應(yīng)情況，相關(guān)驗(yàn)證證明了該點(diǎn)。

(2)對進(jìn)行了局部附加自由阻尼處理的梁結(jié)構(gòu)而言，本文將其等價(jià)為數(shù)個(gè)具有不同物理參數(shù)的耦合梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題來處理，相關(guān)驗(yàn)證也證明了這種處理方法是可行的。

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