第一作者王紅霞女，博士生，講師，1977年12月生

通信作者龔憲生男，博士生導(dǎo)師，1956年生

O型鋼絲繩隔振器動(dòng)態(tài)遲滯模型參數(shù)識(shí)別方法研究

王紅霞1,2,3，龔憲生1,3，潘飛1,3，譙艷娟4

(1 .重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400044； 2.湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院, 湖北十堰442002； 3.重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400044；4.長(zhǎng)安股份有限公司汽車(chē)工程研究院,重慶401120)

摘要：針對(duì)O型鋼絲繩隔振器具有非線性彈性剛度、非對(duì)稱(chēng)遲滯動(dòng)態(tài)特性,采用改進(jìn)的歸一化Bouc-Wen模型并基于該模型對(duì)鋼絲繩隔振器動(dòng)態(tài)特性參數(shù)識(shí)別方法進(jìn)行研究。提出新的簡(jiǎn)單有效的兩階段識(shí)別方法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)研究。通過(guò)數(shù)值仿真與周期性加載試驗(yàn)相結(jié)合方法對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，參數(shù)識(shí)別方法可準(zhǔn)確有效識(shí)別出O型鋼絲繩隔振器模型參數(shù)，且試驗(yàn)遲滯曲線與識(shí)別模型遲滯曲線吻合較好。

關(guān)鍵詞：O型鋼絲繩隔振器；遲滯；仿真；識(shí)別方法；改進(jìn)的歸一化Bouc-Wen模型

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51175525)；973計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014CB049403)；湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院博士基金(BK201406)

收稿日期：2014-04-21修改稿收到日期：2014-09-18

中圖分類(lèi)號(hào):TU112

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.026

Abstract:A modified normalized Bouc-Wen model was adopted to describe the hysteretic behaviour of an O-type wire-cable vibration isolator which exhibits nonlinear elastic stiffness and asymmetric hysteresis dynamic behavior. The parametric identification of the O-type wire-cable vibration isolator was realized based on the modified normalized Bouc-Wen model. A new simple yet effective two-stage identification method was developed. Numerical simulations and periodic loading experiments were carried out to validate the proposed identification method. The results indicate that the proposed identification method is effective and accurate for identifying the model parameters of O-type wire-cable vibration isolator, and the experimental hysteresis loops are close to the identified hysteresis loops.

Parametric identification method for identifying dynamic hysteretic model parameters of O-type wire-cable vibration isolator

WANGHong-xia1,2,3,GONGXian-sheng1,3,PANFei1,3,QIAOYan-juan4(1. State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044,China;2. Hubei Automotive Industries Institute, Shiyan, Hubei 442002,China; 3. College of Mechanical Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044,China;4.Changan Automotive Engineering Institute, Chongqing 401120,China)

Key words:O-type wire-cable vibration isolator; hysteresis; simulation; identification method; modified normalized Bouc-Wen model

鋼絲繩隔振器作為新一代干摩擦型阻尼遲滯隔振裝置廣泛用于諸多領(lǐng)域[1-4]。本文用多個(gè)彼此獨(dú)立的鋼絲繩圈作為隔振器彈性阻尼元件組成O型鋼絲繩隔振器，見(jiàn)圖1。該隔振器繩圈裝夾更換方便、組裝靈活、維修容易，可延長(zhǎng)隔振器使用壽命。已有的對(duì)鋼絲繩隔振器非線性遲滯系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別方法的研究主要針對(duì)Bouc-Wen模型或其改進(jìn)模型用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，并取得較多成果。如時(shí)域最小二乘法[5-7]、頻域最小二乘法[8-10]、擴(kuò)展卡爾曼濾波算法[11-12]、順序或自適應(yīng)算法[13-14]等，均采用迭代算法尋找參數(shù)最優(yōu)值，涉及初始參數(shù)選取，若果選取不當(dāng)可能無(wú)法收斂、無(wú)法識(shí)別參數(shù)或得不到較優(yōu)參數(shù)。Ikhouane等[15]針對(duì)遲滯系統(tǒng)提出歸一化Bouc-Wen模型，并用極限環(huán)法[16]識(shí)別模型參數(shù)。該方法不涉及迭代算法，不存在收斂性問(wèn)題。只要符合其適用范圍，便能準(zhǔn)確識(shí)別出相應(yīng)參數(shù)。因此，本文提出新的簡(jiǎn)單有效的兩階段識(shí)別方法，基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)O型鋼絲繩隔振器模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)研究。通過(guò)數(shù)值仿真及周期性加載試驗(yàn)相結(jié)合對(duì)該方法與另一模型及參數(shù)識(shí)別方法比較，驗(yàn)證該方法對(duì)O型鋼絲繩隔振器模型參數(shù)識(shí)別的準(zhǔn)確性、有效性。

圖1　O型鋼絲繩隔振器 Fig.1 O-type wire-cable vibration isolator

1O型鋼絲繩隔振器遲滯模型

O型鋼絲繩隔振器為典型的遲滯隔振裝置。Bouc-Wen模型能有效描述遲滯系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性[17]。歸一化Bouc-Wen模型可表述為

f(t)=κxx(t)+κzz(t)

(1)

(2)

式中：f(t)為總恢復(fù)力；x(t)為輸入激勵(lì)位移；z(t)為遲滯因子；kxx(t)為彈性恢復(fù)力；kzz(t)為純遲滯力；ρ，σ，n，kx，kz為歸一化Bouc-Wen模型參數(shù)。

式(2)可寫(xiě)為

(3)

當(dāng)z達(dá)到最大或最小值時(shí)，關(guān)系式成立

(4)

滿(mǎn)足條件時(shí)z才能達(dá)到極值，即

(5)

由式(3)～式(5)求得z的極值為

zmin=-1,zmax=1

(6)

圖2　歸一化Bouc-Wen模型產(chǎn)生的純遲滯力極限環(huán) Fig.2 The pure hysteretic component limit cycle generated by the normalized Bouc-Wen model

O型鋼絲繩隔振器在垂向承受正弦位移激勵(lì)振幅A=7 mm、頻率為5 Hz的拉壓載荷試驗(yàn)遲滯環(huán)，見(jiàn)圖3。由圖3看出，試驗(yàn)遲滯環(huán)呈現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)性。而歸一化Bouc-Wen模型只能描述對(duì)稱(chēng)遲滯特性。

圖3　O型鋼絲繩隔振器動(dòng)態(tài)響應(yīng)試驗(yàn)遲滯環(huán) Fig.3 The measured dynamic response of O-type wire-cable vibration isolator

為描述非對(duì)稱(chēng)遲滯環(huán)，基于歸一化Bouc-Wen模型進(jìn)行改進(jìn)，該模型可表述為

f(t)=Fae+κzzFa

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：Fae為非線性彈性恢復(fù)力；Fa為非線性放大因子；kaei，kaj分別為非線性彈性恢復(fù)力及非線性放大因子多項(xiàng)式系數(shù)；N，M分別為Fae，F(xiàn)a的多項(xiàng)式階數(shù)。

參數(shù)識(shí)別時(shí)此兩多項(xiàng)式階數(shù)及奇偶冪次確定可據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)及曲線擬合利用程序手動(dòng)調(diào)整階數(shù)N，M數(shù)值，以達(dá)到較好擬合效果。引入的兩多項(xiàng)式階數(shù)選取不同，模型擬合度亦不同。因此針對(duì)不同試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別時(shí)多項(xiàng)式階數(shù)可能不同。

2O型鋼絲繩隔振器模型參數(shù)識(shí)別

2.1非遲滯參數(shù)的識(shí)別

由圖2，激勵(lì)位移x幅值較大、x取值遠(yuǎn)離最大或最小值即x在穩(wěn)定段取值時(shí)，純遲滯響應(yīng)有界且對(duì)稱(chēng)。因此對(duì)幅值較大試驗(yàn)遲滯環(huán)(圖3)，在穩(wěn)定段式(7)中純遲滯響應(yīng)κzzFa有界，上界極值為kzFa。由于采集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)是離散的，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定段恢復(fù)力在加、卸載時(shí)分別表示為

(11)

式中：fu，fl分別為穩(wěn)定段加、卸載恢復(fù)力；下角標(biāo)k為離散數(shù)據(jù)第k個(gè)點(diǎn)，k(1,2,…，K),K為離散數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。

識(shí)別Fa的相關(guān)參數(shù)，由式(11)知

(12)

此時(shí)kz取值尚未確定，非線性放大因子Fa無(wú)法求得。因此在穩(wěn)定段假定某一點(diǎn)時(shí)

(13)

式中：x可取穩(wěn)定段任意值。為便于計(jì)算，x取圖3中一個(gè)周期內(nèi)平均值x=0，即可求得κz，即

(14)

將式(14)代入式(12)得

(15)

式(9)可寫(xiě)為離散形式

(16)

誤差函數(shù)為

e(ka)=Fak-kayTak

(17)

對(duì)應(yīng)的線性最小二乘式為

mine(ka)=‖e(ka)‖2

(18)

采用線性最小二乘法求解式(18)，從而求得放大系數(shù)矢量[ka1,ka2, …,kaM]。由式(8)求得非線性彈性恢復(fù)力Faek的表達(dá)式，用式(18)同樣優(yōu)化方法求得非線性剛度系數(shù)kae=[kae1,kae2, …,kaeN]。整個(gè)位移區(qū)間包括非穩(wěn)定段據(jù)所求系數(shù)分別獲得對(duì)應(yīng)的擬合多項(xiàng)式。采用以上識(shí)別方法由試驗(yàn)遲滯環(huán)(圖3)分解出非線性彈性恢復(fù)力Fae及其擬合見(jiàn)圖4，非線性放大因子Fa及其擬合見(jiàn)圖5。

圖4　分解的多項(xiàng)式F ae及擬合的F ae Fig.4 The decomposed and predicted polynomials of F ae

圖5　分解的多項(xiàng)式F a及擬合的F a Fig.5 The decomposed and predicted polynomials of F a

2.2識(shí)別純遲滯響應(yīng)中各參數(shù)

隔振器承載時(shí)純遲滯響應(yīng)產(chǎn)生的極限環(huán)可通過(guò)式(7)整體響應(yīng)中提取。寫(xiě)成離散形式為

(19)

式中：θ=kzz為整體響應(yīng)中提取的純遲滯力曲線。用式(19)及已識(shí)別的非線性彈性恢復(fù)力Fae、Fa及參數(shù)κz，由(圖3)動(dòng)態(tài)響應(yīng)試驗(yàn)遲滯環(huán)中提取的純遲滯力曲線見(jiàn)圖6。利用提取的純遲滯力數(shù)據(jù)中隱含信息用極限環(huán)法結(jié)合式(10)識(shí)別出ρ,σ,n各模型參數(shù)。與第一階段識(shí)別程序相似，參數(shù)識(shí)別過(guò)程不涉及迭代算法。

圖6　O型鋼絲繩隔振器純遲滯力曲線 Fig.6 The pure hysteretic curve of O-type wire-cable vibration isolator

以試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，據(jù)式(18)用線性最小二乘法先識(shí)別Fae與Fa相應(yīng)參數(shù)及kz值；據(jù)第一階段識(shí)別結(jié)果提取純遲滯力極限環(huán)曲線，用極限環(huán)法識(shí)別出純遲滯響應(yīng)中各參數(shù)，獲得改進(jìn)的歸一化Bouc-Wen模型所有參數(shù)值。

3數(shù)值仿真

為證實(shí)兩階段法的有效性，采用位移激勵(lì)方式對(duì)O型鋼絲繩隔振器動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行數(shù)值仿真測(cè)試。針對(duì)鋼絲繩隔振器具有垂向硬化重疊特性及非線性彈性剛度改進(jìn)的Bouc-Wen模型及頻域識(shí)別方法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)源自Ni’s模型，即

f(t)=F2a(t)[z(t)+F1a(t)]

(20)

F1a(t)=k1x(t)+k2sgn[x]x2(t)+k3x3(t)

(21)

F2a(t)=bcx(t)

(22)

(23)

式中：k1,k2,k3,b,c,α,γ,β,n為模型參數(shù)。

數(shù)值仿真中模擬的位移激勵(lì)信號(hào)為

x=Asin(t)

(24)

式中：A為位移幅值，分別取3,4,5,6,7。

為使仿真響應(yīng)數(shù)據(jù)更接近試驗(yàn)數(shù)據(jù)，加入適當(dāng)噪聲信號(hào)至輸出信號(hào)。被噪聲污染的輸出恢復(fù)力fn(t)信號(hào)為

fn(t)=f(t)+εrif

(25)

式中：ε為噪聲水平，指噪聲與信號(hào)之比；f為f(t)幅值；ri為符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

數(shù)值仿真中取ε=0.025，據(jù)已有鋼絲繩隔振器垂向動(dòng)態(tài)特性模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果k1=39.145，k2=1.360，k3=0.156，b=1.799，c=0.202，α=147.761，γ=-15.512，β=44.726，n=0.434，所得仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)fn(t)見(jiàn)圖7。仿真流程見(jiàn)圖8。

圖7　一個(gè)周期不同幅值仿真輸出響應(yīng)數(shù)據(jù) Fig.7 A period of certain groups of the response simulated experimental data

圖8　數(shù)值仿真流程圖 Fig.8 A flow chart of numerical simulation

頻域法涉及的Levenberg-Marquardt迭代算法旨在尋找最優(yōu)參數(shù)，涉及初始參數(shù)選取。選兩組初始參數(shù)產(chǎn)生仿真數(shù)據(jù)，一組產(chǎn)生仿真數(shù)據(jù)準(zhǔn)確模型參數(shù)；一組為隨機(jī)模型參數(shù)，即k1=1，k2=0，k3=0.1，b=1，c=1，α=1，γ=1，β=0，n=0。 利用準(zhǔn)確初值直接產(chǎn)生原始數(shù)據(jù)作為真值，采用Ni’s方法識(shí)別后產(chǎn)生的數(shù)據(jù)作為模型數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。預(yù)測(cè)響應(yīng)與真實(shí)響應(yīng)遲滯環(huán)見(jiàn)圖9～圖11。

圖9　用精確初值Ni’s方法預(yù)測(cè)響應(yīng)遲滯環(huán)與真實(shí)響應(yīng)遲滯環(huán) Fig.9 A period of the true responses and the predicted responses hysteresis loops using parameters identified through Ni’s method with exact initial values

圖10　用隨機(jī)初值Ni’s方法預(yù)測(cè) 響應(yīng)遲滯環(huán)與真實(shí)響應(yīng)遲滯環(huán) Fig.10 A period of the true responses and the predicted responses hysteresis loops using parameters identified through Ni’s method with random initial values

圖11　用兩階段識(shí)別方法預(yù)測(cè) 響應(yīng)遲滯環(huán)與真實(shí)響應(yīng)遲滯環(huán) Fig.11 A period of the true responses and the predicted responses hysteresis loops using parameters identified through the two-stage identification method

為定量分析預(yù)測(cè)效果優(yōu)劣，利用兩數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)參數(shù)對(duì)每組仿真預(yù)測(cè)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。其中RMSE為均方根誤差，用于衡量觀測(cè)值與真值間偏差。RMSE值越小預(yù)測(cè)響應(yīng)越接近真實(shí)響應(yīng)。

表1　預(yù)測(cè)遲滯環(huán)的RMSE及R NL

針對(duì)非線性模型，更有效的曲線回歸擬合優(yōu)度指標(biāo)RNL[18]為

(26)

式中：pk為預(yù)測(cè)離散響應(yīng)值；fk為測(cè)試離散響應(yīng)值；K為一個(gè)穩(wěn)定周期內(nèi)離散數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

由式(26)，RNL將殘差平方和與相對(duì)誤差結(jié)合，RNL愈接近1表明識(shí)別參數(shù)擬合的曲線優(yōu)度愈好。

由圖9～圖11及表1看出，所有預(yù)測(cè)遲滯環(huán)均非常接近真實(shí)遲滯環(huán)。而表1的RMSE與RNL值表明，用本文模型及兩階段識(shí)別方法較Ni’s模型參數(shù)識(shí)別時(shí)采用隨機(jī)初值預(yù)測(cè)真實(shí)響應(yīng)效果好，且仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)為由Ni’s模型產(chǎn)生。為使Ni’s模型參數(shù)收斂至合適的解，需正確選擇初始值。數(shù)值仿真中嘗試隨機(jī)選取諸多初始值，大多無(wú)法收斂至合適的解，且至少超過(guò)100次迭代方可獲得一個(gè)收斂解。而每步的迭代Ni’s方法均需進(jìn)行傅里葉變換及反變換，因此用該方法耗時(shí)較長(zhǎng)。而兩階段識(shí)別方法不涉及迭代算法，不存在初始參數(shù)選取及收斂性問(wèn)題，因而能提高計(jì)算效率。采用Ni’s模型、方法取精確初值所得預(yù)測(cè)響應(yīng)較用本文參數(shù)識(shí)別方法更接近真實(shí)響應(yīng)。此因兩階段法在參數(shù)識(shí)別第二階段未涉及優(yōu)化問(wèn)題，不能保證識(shí)別參數(shù)為最優(yōu)值。

為判斷本文參數(shù)識(shí)別方法的抗噪聲能力，在不同噪聲水平下進(jìn)行數(shù)值仿真。參數(shù)預(yù)測(cè)見(jiàn)表2。由表2看出，噪聲水平越低預(yù)測(cè)響應(yīng)越接近真實(shí)響應(yīng)，隨噪聲水平增加對(duì)預(yù)測(cè)效果影響不大，說(shuō)明該方法抗噪聲能力較強(qiáng)。

表2　不同噪聲水平下預(yù)測(cè)遲滯環(huán)的RMSE及R NL

4試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證兩階段參數(shù)識(shí)別方法對(duì)O型鋼絲繩隔振器動(dòng)態(tài)特性參數(shù)識(shí)別的有效性，在某汽車(chē)研究院MTS彈性元件測(cè)試系統(tǒng)(型號(hào)831)試驗(yàn)機(jī)上用位移激勵(lì)方式對(duì)隔振器動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行試驗(yàn)研究。用本文模型與兩階段參數(shù)識(shí)別方法所得試驗(yàn)、預(yù)測(cè)模型遲滯環(huán)比較見(jiàn)圖12。

圖12　用兩階段識(shí)別法預(yù)測(cè)、試驗(yàn)遲滯環(huán) Fig.12 The measured responses and the predicted responses hysteresis loops using parameters identified through the two-stage identification method

采用Ni’s模型、參數(shù)識(shí)別方法在只有試驗(yàn)遲滯環(huán)無(wú)精確模型參數(shù)情況下,隨機(jī)選取初始參數(shù)k1=1,k2=0,k3=1,b=1,c=1,α=1,γ=1,β=0,n=0，所得試驗(yàn)、預(yù)測(cè)模型遲滯環(huán)比較見(jiàn)圖13。

圖13　用隨機(jī)初值Ni’s法預(yù)測(cè)、試驗(yàn)遲滯環(huán) Fig.13 The measured responses and the predicted responses hysteresis loops using parameters identified through Ni’s method with random initial values

基于試驗(yàn)結(jié)果，用Ni’s方法、Ni’s模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果及預(yù)測(cè)效果見(jiàn)表3。

用本文模型與兩階段參數(shù)識(shí)別方法所得參數(shù)識(shí)別結(jié)果及預(yù)測(cè)效果見(jiàn)表4。由圖12、圖13及表3、表4看出，用改進(jìn)歸一化Bouc-Wen模型及兩階段法所得預(yù)測(cè)、試驗(yàn)遲滯環(huán)吻合較好，用Ni’s模型及其頻域法在不知精確模型參數(shù)情況下隨機(jī)選取模型參數(shù)初始值所得預(yù)測(cè)、真實(shí)響應(yīng)間差距較大，雖用諸多隨機(jī)初始值，但有些情況不能獲得模型參數(shù)值，無(wú)法預(yù)測(cè)響應(yīng)。

表3　用Ni’s識(shí)別方法Ni’s模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果

表4　采用兩階段識(shí)別方法本文模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果

5結(jié)論

通過(guò)理論分析及數(shù)值仿真、試驗(yàn)驗(yàn)證，研究分析兩階段參數(shù)識(shí)別方法，結(jié)論如下：

(1)兩階段法可準(zhǔn)確有效識(shí)別出O型鋼絲繩隔振器模型參數(shù)，預(yù)測(cè)響應(yīng)接近真實(shí)響應(yīng)；該法對(duì)噪聲污染不敏感，雖信號(hào)被噪聲嚴(yán)重污染，待識(shí)別模型參數(shù)可能偏離其真值，但用識(shí)別參數(shù)產(chǎn)生的預(yù)測(cè)遲滯環(huán)仍與真實(shí)遲滯環(huán)一致，認(rèn)為結(jié)果合理。

(2)兩階段參數(shù)識(shí)別方法試驗(yàn)曲線與模型預(yù)測(cè)曲線吻合較好，能準(zhǔn)確有效描述O型鋼絲繩隔振器非對(duì)稱(chēng)遲滯環(huán)動(dòng)態(tài)特性。該方法在整個(gè)參數(shù)識(shí)別中不涉及迭代算法，使參數(shù)識(shí)別順利進(jìn)行，且能提高識(shí)別的準(zhǔn)確性。

(3)該方法在識(shí)別程序中未考慮優(yōu)化問(wèn)題，不能保證所得模型參數(shù)為最優(yōu)值。若想獲得最優(yōu)值，可先用該方法獲取參數(shù)值作為初始值，再用傳統(tǒng)迭代算法求解，快速獲得收斂值。

參考文獻(xiàn)

[1]Massa G D, Pagano S, Rocca E,et al. Sensitive equipments on WRS-BTU isolators[J]. Meccanica,2013, 48:1777-1790.

[2]班書(shū)昊,李曉艷,蔣學(xué)東,等.鋼絲繩隔振器的非線性動(dòng)力學(xué)模型[J].力學(xué)與實(shí)踐,2012,34(1):66-69.

BAN Shu-hao, LI Xiao-yan, JIANG Xue-dong, et al. Nonlinear dynamic model on steel-wire isolator[J]. Mechanics in Engineering,2012,34(1):66-69.

[3]周桐,張思箭,李健.電子器件隔振設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)研究[J].實(shí)驗(yàn)力學(xué),2006,21(3):387-392.

ZHOU Tong, ZHANG Si-jian, LI Jian. A experimental study on isolation design of electronic equipment[J].Journal of Experimental Mechanics, 2006,21(3):387-392.

[4]Demetriades G F,Constantinou M C, Reinhorn A M. Study of wire rope systems for seismic protection of equipment in buildings[J].Engng Structs,1993, 15(5): 321-334.

[5]朱濤,趙科,肖守訥,等.基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的動(dòng)載荷時(shí)域識(shí)別方法研究[J].振動(dòng)與沖擊,2012,31(13):138-146.

ZHU Tao, ZHAO Ke, XIAO Shou-ne,et al. Force identification in time domain based on dynamic programming[J].Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(13):138-146.

[6]Zapateiro M, Luo N S. Parametric and non parametric characterization of a shear mode magnetorheological damper[J]. Journal of Vibroengineering,2007, 9(4):14-18.

[7]Kaul S. Multi-degree-of-freedom modeling of mechanical snubbing systems[J].Journal of Vibroengineering, 2011, 13(2):195-211.

[8]Ni Y Q, Ko J M, Wong C W. Identification of non-linear hysteretic isolators from periodic vibration tests[J]. Journal of Sound and Vibration, 1998,217(4): 737-756.

[9]Ni Y Q, Ko J M, Wong C W, et al. Modelling and identification of a wire-cable vibration isolator via a cyclic loading test part 2: identification and response prediction [J]. Journal of Systems and Control Engineering,1999, 213(3):173-182.

[10]唐煒,喬倩,史中科.頻域最小二乘辨識(shí)方法的參數(shù)約束條件選取[J].航空學(xué)報(bào),2012,33(12):2253-2260.

TANG Wei, QIAO Qian, SHI Zhong-ke. On the choice of parameter constraint for frequency domain least squares identification[J].ActaAeronautica et Astronautica Sinica, 2012,33(12):2253-2260.

[11]Yin Q, Zhou L, Mu T F,et al. System identification of rubber-bearing isolators based on experimental tests[J]. Journal of Vibroengineering,, 2012,14(1):315-324.

[12]Lin J S, Zhang Y G. Nonlinear structural identification using extended Kalman filter[J]. Computers& Structures, 1994, 52(4):757-764.

[13]Roberts J B, Sadeghi A H. Sequential parametric identification and response of hysteretic oscillators with random excitation[J]. Struct. Safety, 1990, 8:45-68.

[14]李理敏,龔文斌,劉會(huì)杰,等.基于自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波的載波跟蹤算法[J].航空學(xué)報(bào),2012,33(7):1319-1328.

LI Li-min, GONG Wen-bin, LIU Hui-jie,et al.A carrier tracking algorithm based on adptive extended kalman filter[J].Acta Aeronauticaet Astronautica Sinica, 2012,33(7): 1319-1328.

[15]Ikhouane F, Rodellar J. On the hysteretic Bouc-Wen model-part I: forced limit cycle characterization[J]. Nonlinear Dynamics, 2005, 42(1): 63-78.

[16]Ikhouane F, Gomis-Bellmunt O. A limit cycle approach for the parametric identification of hysteretic systems[J]. Systems & Control Letters,2008, 57(8):663-669.

[17]Ni Y Q, Ko J M, Wong C W,et al. Modelling and identification of a wire-cable vibration isolator via a cyclic loading test, part 1: experiments and model development[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Journal Systems and Control Engineering,1999, 213(3): 163-171.

[18]張世強(qiáng).曲線回歸的擬合優(yōu)度指標(biāo)的探討[J].中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì),2002,19(1):9-11.

ZHANG Shi-qiang. Approach on the fitting optimization index of curve regression[J].Chinese Journal of Health Statistics, 2002,19(1):9-11.