第一作者涂亞慶男，博士，教授，1963年生

計(jì)及負(fù)頻率的DFT與DTFT相位差測量誤差分析

涂亞慶，李明，沈廷鰲，張海濤

(后勤工程學(xué)院信息工程系，重慶401311)

摘要：針對(duì)噪聲背景下計(jì)及負(fù)頻率的DFT(Discrete Fourier Transform)與DTFT(Discrete Time Fourier Transform)相位差測量誤差問題，用誤差理論分別推導(dǎo)出高斯白噪聲背景下計(jì)及負(fù)頻率的DFT與DTFT相位差估計(jì)方差計(jì)算公式。對(duì)不同的泄漏誤差系數(shù)、采樣序列長度及信噪比，在負(fù)頻率影響條件下進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。結(jié)果表明，仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果一致，表明相位差測量誤差分析公式的正確性。提升頻率估計(jì)精度、增加采樣序列長度、提高信號(hào)信噪比，可有效提升計(jì)及負(fù)頻率的DFT與DTFT相位差測量方法精度。采樣序列長度大于2048點(diǎn)或信噪比大于5 dB時(shí)，相位差測量精度提升有限，且DTFT相位差測量方法對(duì)頻率估計(jì)精度更敏感。

關(guān)鍵詞：相位差測量；誤差分析；負(fù)頻率；DFT；DTFT

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(61271449,61302175)；重慶市自然科學(xué)基金(CSTC2011BA2015,CSTC2012jjA0877,CSTC2013jcyjA40030)

收稿日期：2014-01-08修改稿收到日期：2014-05-14

中圖分類號(hào):TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.015

Abstract:Aiming at the errors in phase difference measurement based on DFT(Discrete Fourier Transform) or DTFT (Discrete Time Fourier Transform) methods, taking into account the negative frequency contribution under white noise background, the formulas for evaluating the variance of phase difference were presented according to the error theory. With the consideration of negative frequency contribution, the different leakage error coefficients, sampling sequence lengths and signal-noise-ratios (SNR) were calculated. The results of some the simulations coincide well with those results calculated by using the presented formulas, which shows the correctness of the phase measurement error analysis method. The accuracy of DFT or DTFT based phase difference measurement methods considering the negative frequency contribution could be further improved effectively by enhancing the frequency estimation accuracy, increasing the sampling sequence length, and improving the SNR. When the sampling sequence length is more than 2048 or SNR is greater than 5dB, the further improvement of the accuracy of phase difference measurement is limited. The DTFT based phase measurement method is more sensitive to frequency estimation accuracy.

Error analysis of DFT or DTFT based phase difference measurement considering the negative frequency contribution

TUYa-qing,LIMing,SHENTing-ao,ZHANGHai-tao(Department of Information Engineering, Logistical Engineering University, Chongqing 401311, China)

Key words:phase difference measurement; error analysis; negative frequency; DFT; DTFT

正弦信號(hào)相位差測量在雷達(dá)、導(dǎo)航、電力系統(tǒng)、機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷、工業(yè)測量等領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用。相位差測量方法較多，而數(shù)字相關(guān)法[1-2]及頻譜分析法[3-6]為研究、應(yīng)用較多的兩種方法。數(shù)字相關(guān)法具有良好的噪聲抑制能力，但難以消除諧波干擾，且要求對(duì)周期信號(hào)實(shí)行嚴(yán)格整周期采樣；頻譜分析法對(duì)諧波及隨機(jī)噪聲干擾抑制能力較強(qiáng)，且能利用FFT快速算法取得高運(yùn)算效率，便于硬件實(shí)現(xiàn)，因而應(yīng)用較廣。

然而，當(dāng)信號(hào)頻率較低或接近奈奎斯特頻率(即采樣頻率一半)時(shí)負(fù)頻率干擾嚴(yán)重，數(shù)字相關(guān)法及頻譜分析法的相位差測量精度均不理想。為此，文獻(xiàn)[7]通過詳細(xì)分析，對(duì)計(jì)及負(fù)頻率影響的頻譜分析方法進(jìn)行綜述。文獻(xiàn)[8-9]針對(duì)負(fù)頻率影響提出消除負(fù)頻率影響的頻率校正方法，可有效提升低頻頻率估計(jì)精度。隨對(duì)負(fù)頻率研究不斷深入[10-12]，針對(duì)負(fù)頻率對(duì)相位差測量影響，文獻(xiàn)[13]提出改進(jìn)的全相位FFT相位差頻譜校正方法，能有效改善負(fù)頻率條件下相位差的測量精度，但計(jì)算略顯復(fù)雜，且未對(duì)測量性能進(jìn)行理論分析。文獻(xiàn)[14-15]在傳統(tǒng)DFT與DTFT計(jì)算基礎(chǔ)上計(jì)及負(fù)頻率影響，提出DFT與DTFT相位差測量方法，該法計(jì)算簡便、精度較高，可有效消除負(fù)頻率對(duì)相位差測量影響，但未在噪聲背景下對(duì)該方法進(jìn)行性能分析。

本文在對(duì)計(jì)及負(fù)頻率的DFT與DTFT相位差測量方法歸納基礎(chǔ)上對(duì)其在噪聲背景下的測量誤差進(jìn)行分析、對(duì)比，推導(dǎo)出高斯白噪聲背景下計(jì)及負(fù)頻率的相位差估計(jì)方差計(jì)算公式，以期提高相位測量精度。

1計(jì)及負(fù)頻率的DFT相位差測量誤差分析

1.1DFT相位差測量原理

設(shè)觀測信號(hào)為兩路單一頻率的實(shí)正弦信號(hào)s1(t)，s2(t)以fs(fs≥2f0)同時(shí)對(duì)兩路信號(hào)進(jìn)行采樣，獲得采樣序列為

(1)

式中:A1,A2為信號(hào)幅度；f0為信號(hào)頻率；θ1,θ2為信號(hào)初相位；N為采樣點(diǎn)數(shù)。

對(duì)式(1)進(jìn)行DFT求得頻譜S1(k)，在k0處譜線具有最大值(k0為整數(shù))，f0可表示為

f0=(k0+δ)fd

(2)

式(1)的采樣序列表示為

(3)

由DFT定義，計(jì)及負(fù)頻率的S1(k)在k=k0處具有最大譜峰值，即

(4)

推導(dǎo)得

(5)

式中：cf1=sin(2πk0/N)；cf2=sin[2π(k0+δ)/N]；cf3=2sin(πδ/N)sin[π(2k0+δ)/N]；φf1為S1(k0)相位。

同理，對(duì)第二路正弦采樣序列s2(n)，有

(6)

式中：φf2為s2(n)在最大譜線k0處DFT變換相位。

由式(5)、(6)可求得兩路信號(hào)間相位差(即加矩形窗時(shí)DFT相位差計(jì)算公式)為

(7)

1.2高斯白噪聲背景下DFT法誤差分析

在加性噪聲背景下第一路觀測信號(hào)采樣序列可表示為

r1(n)=s1(n)+z1(n)，(n=0,1,…,N-1)

(8)

r1(n)的N點(diǎn)DFT變換可表示為

(9)

式中：S1(k)為s1(n)的DFT變換；Ak，φk分別為S1(k)幅度、相位；Z1(k)為z1(n)DFT變換；b，φz分別為Z1(k)的幅度、相位。

由DFT定義，有

(10)

對(duì)z1(n)進(jìn)行DFT變換相當(dāng)于z1(n)通過一個(gè)線性系統(tǒng)輸出。由于z1(n)為高斯白噪聲，Z1(k)也服從高斯分布，其均值、方差[16]分別為

(11)

(12)

據(jù)式(10)，Z1(k)的自相關(guān)函數(shù)為

(13)

對(duì)白噪聲序列z1(n)，m≠n時(shí)有E[z1(m)z1(n)]=0，故式(13)可簡化為

(14)

可見，由于DFT基函數(shù)的正交特性，由同一組隨機(jī)變量線性組合而成的Z1(k)不相關(guān)[17]。而對(duì)z1(n)的不同次實(shí)現(xiàn)，由于z1(n)本身不相關(guān)性，Z1(k)也不相關(guān)。因此，Z1(k)為復(fù)高斯白噪聲序列。故Z1(k)的實(shí)部(bcosφz)及虛部(bsinφz)亦均為高斯白噪聲序列，且有

E[bcosφz]=E[bsinφz]=E[Z1(k)]=0

(15)

var[bcosφz]=var[bsinφz]=

(16)

在最大譜線k0處，r1(n)的DFT變換可表示為

R1(k0)=S1(k0)+Z1(k0)=Ak1ejφf1+bejφz

(17)

式中：Ak1為S1(k0)幅度。

由式(4)得

(18)

式中：φf1為S1(k0)相位。

式(17)可進(jìn)一步整理為

(19)

(20)

當(dāng)信噪比不特別低時(shí)，對(duì)較大N一般認(rèn)為b/Ak1?1，于是有

(21)

式中：b，φz為隨機(jī)變量；Ak1，φf1為非隨機(jī)變量。

式(21)可表示為

(22)

式中：φz1為迭加在φf1上的噪聲，且

φz1=bsin(φz-φf1)/Ak1

(23)

顯然，φz1為高斯白噪聲，其均值、方差分別為

E[φz1]=E[bsinφzcosφf1-bcosφzsinφf1]/Ak1=

(E[bsinφz]cosφf1-E[bcosφz]sinφf1)/Ak1=0

(24)

(var[bsinφz]cos2φf1+

(25)

同理，對(duì)第二路觀測信號(hào)r2(n)=s2(n)+z2(n)，(n=0,1,…,N-1)。在最大譜線k0處r2(n)的DFT變換可表示為

R2(k0)=S2(k0)+Z1(k0)=Ak2ejφf2+bejφz

(26)

式中：Ak1為S1(k0)幅度，由式(4)得

(27)

(28)

式中：φf2為S2(k0)相位，φz2=bsin(φz-φf2)/Ak2為迭加在φf2的噪聲，且其均值、方差分別為

E[φz2]=0

(29)

(30)

據(jù)DFT法測量原理，高斯白噪聲環(huán)境下，兩路信號(hào)間相位差計(jì)算式為

(31)

Δθ=f(T)

(32)

將f在點(diǎn)T0=E[T]=[φf1φf2]T=[μ1μ2]T=μ附近用一階泰勒級(jí)數(shù)展開[18]，即

(33)

E[Δθ]=f(μ)=

(34)

則Δθ估計(jì)方差為

(35)

式中：CT為矩陣T的協(xié)方差矩陣。

(36)

(37)

(38)

通常迭加在兩路觀測信號(hào)的高斯白噪聲可認(rèn)為互不相關(guān)，因而φz1，φz2亦不相關(guān)，則有

(39)

將式(36)～式(39)代入式(35)可得Δθ的估計(jì)方差為

(40)

2計(jì)及負(fù)頻率的DTFT相位差測量誤差分析

2.1DTFT相位差測量原理

DTFT的相位差測量方法(簡稱DTFT法)，先用離散頻譜校正方法求出信號(hào)頻率的準(zhǔn)確估計(jì)值，再利用DTFT求出兩路信號(hào)的相位差。式(3)的采樣序列s1(n)與s2(n)可表示為

(41)

式中：ω=2πf0/fs為數(shù)字角頻率或數(shù)字頻率。

(42)

對(duì)式(42)，不忽略負(fù)頻率成分有

(43)

(44)

式中：

cd1=sinα1sinα2cos(α1-α3)+sinα3sinα4cos(α4-α2)

cd2=sinα1sinα2sin(α1-α3)-sinα3sinα4sin(α4-α2)

cd3=sinα1sinα2sin(α1-α3)+sinα3sinα4sin(α4-α2)

cd4=sinα1sinα2cos(α1-α3)-sinα3sinα4cos(α4-α2)

同理，對(duì)第二路正弦采樣序列s2(n)，有

(45)

由式(44)、(45)可求得兩路信號(hào)間相位差(即加矩形窗時(shí)DTFT相位差計(jì)算公式)，即

(46)

式中：

βd3=(cd1cd4+cd2cd3)(tanφd2-tanφd1)

2.2高斯白噪聲背景下DTFT法誤差分析

(47)

由式(10)得

(48)

式(47)可整理為

(49)

(50)

信噪比不特別低時(shí)，一般可認(rèn)為b1/Ap1?1，則有

(51)

式(51)可表示為

(52)

式中：φz1為迭加在φd1上的噪聲，即

φz1=bsin(φz-φd1)/Ap1

(53)

同樣，φz1為高斯白噪聲，其均值、方差分別為

E[φz1]=0

(54)

(55)

同理，對(duì)第二路采樣序列r2(n)=s2(n)+z2(n)，(n=0,1,…,N-1)，有

(56)

(57)

E[φz2]=0

(58)

(59)

據(jù)DTFT法測量原理，高斯白噪聲環(huán)境下兩路信號(hào)間相位差計(jì)算式為

(60)

Δθ=g(T)

(61)

將g在點(diǎn)T0=E[T]=[φd1φd2]T=[η1η2]T=η附近用一階泰勒級(jí)數(shù)展開，即

Δθ=g(T)≈

(62)

(63)

Δθ的估計(jì)方差為

var[Δθ]=

(64)

式中：CT為矩陣T的協(xié)方差矩陣。

(65)

(66)

βd4=cd1cd4+cd2cd3

(67)

(68)

通常情況下，迭加在兩路觀測信號(hào)的高斯白噪聲可認(rèn)為互不相關(guān)，因而φz1及φz2也不相關(guān)，則有

(69)

將式(65)～式(69)代入式(64)得Δθ估計(jì)方差為

(70)

3計(jì)算驗(yàn)證

采用單一頻率實(shí)正弦信號(hào)迭加高斯白噪聲，對(duì)本文相位差估計(jì)方差計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證。兩路信號(hào)迭加的為互不相關(guān)的高斯白噪聲。

在A1=A2=1，N=1024，k0=1，δ=0.4，真實(shí)相位差Δθ=π/3條件下DFT方法相位差估計(jì)方差與信噪比SNR及采樣序列長度N的關(guān)系見圖2、圖3。由兩圖看出，仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果吻合，且SNR越高或N越大相位差估計(jì)方差越小，當(dāng)SNR>5 dB或N>2 048時(shí)相位差測量精度提升有限。

圖1 DFT方法相位差估計(jì)方差與泄漏誤差系數(shù)d關(guān)系Fig.1TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDFTandtheleakageerrorcoefficientd圖2 DFT方法相位差估計(jì)方差與信噪比SNR關(guān)系Fig.2TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDFTandSNR圖3 DFT方法相位差估計(jì)方差與采樣序列長度N關(guān)系Fig.3TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDFTandthesamplingsequencelengthN

圖4 DTFT方法相位差估計(jì)方差與相對(duì)誤差Dω關(guān)系Fig.4TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDTFandtherelativeerrorDω圖5 DTFT方法相位差估計(jì)方差與信噪比SNR關(guān)系Fig.5TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDTFTandSNR圖6 DTFT方法相位差估計(jì)方差與采樣序列長度N關(guān)系Fig.6TherelationbetweenthevarianceofphaseestimationmethodbasedonDTFTandthesamplingsequencelengthN

在A1=A2=1，N=1024，k0=1，Δω=0.8π/N，真實(shí)相位差Δθ=π/3條件下DTFT方法相位差估計(jì)方差與信噪比SNR關(guān)系見圖5。

在A1=A2=1，k0=1，Δω=0.8π/N，SNR=5 dB，真實(shí)相位差Δθ=π/3條件下，DTFT方法的相位差估計(jì)方差與采樣序列長度N關(guān)系見圖6。由圖6看出，仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果吻合較好，且SNR越高或N越大相位差估計(jì)方差越小。當(dāng)SNR>5 dB或N>2 048時(shí)，DTFT法相位差測量精度提升有限。

4結(jié)論

(1)通過對(duì)噪聲環(huán)境下計(jì)及負(fù)頻率的DFT與DTFT相位差測量誤差分析，分別給出高斯白噪聲背景下相位差估計(jì)方差計(jì)算公式。理論分析與仿真結(jié)果均表明，DFT法相位差估計(jì)方差與信噪比、采樣序列長度及泄漏誤差系數(shù)有關(guān)，提高信噪比或增加采樣序列長度可降低相位差估計(jì)的均方根誤差，且頻譜泄漏誤差越小其相位差測量精度越高。

(2)DTFT法相位差估計(jì)方差與DFT法類似，與信噪比、采樣序列長度及相對(duì)誤差Δω有關(guān)，提高信噪比或增加采樣序列長度，可降低相位差估計(jì)方差，且相對(duì)誤差Δω越小其相位差測量精度越高。而相位差測量精度對(duì)頻率估計(jì)精度Δω要求較高，當(dāng)Δω變化較小時(shí)相位差測量將產(chǎn)生較大變化。

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