第一作者陳思忠男，教授，博士生導(dǎo)師，1958年10月生

通信作者趙玉壯男，教授，講師，1982年11月生

基于反饋線性化的非線性懸架系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)

陳思忠，盧凡，吳志成，楊林，趙玉壯

(北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京100081)

摘要：針對(duì)懸架系統(tǒng)非線性特性提出反饋線性化卡爾曼濾波算法。基于微分幾何理論，通過(guò)求解坐標(biāo)變換，將車輛非線性振動(dòng)模型變換成可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)精確反饋線性化；采用線性卡爾曼濾波算法，針對(duì)變換的線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)觀測(cè)器，通過(guò)坐標(biāo)逆變換獲得原非線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)值。仿真結(jié)果表明，該算法能提高車輛振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)精度、降低運(yùn)算量。

關(guān)鍵詞：狀態(tài)觀測(cè)；反饋線性化；非線性懸架；振動(dòng)

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51205021)

收稿日期：2014-05-16修改稿收到日期：2014-09-30

中圖分類號(hào):U461.4；U463.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.003

Abstract:Aiming at the nonlinearity of suspension system, a feedback linearization Kalman filter algorithm was proposed. Based on the differential geometry theory, the nonlinear vehicle vibration model was transformed into a certain observable normal form via the change of state coordinates. Based on the obtained linearized system, an observer was designed by using Kalman filter algorithm. Finally the estimated states of the nonlinear system were obtained through inverse transformation. The simulation results show that compared with the extended Kalman observer, the proposed algorithm can improve the observation accuracy of vehicle vibration states and reduce computational complexity.

Vibration state estimation of nonlinear suspension system based on feedback linearization

CHENSi-zhong,LUFan,WUZhi-cheng,YANGLin,ZHAOYu-zhuang(School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Key words:state estimation; feedback linearization; nonlinear suspension; vibration

雖懸架系統(tǒng)控制策略得到飛速發(fā)展，但大多需整車振動(dòng)狀態(tài)已知，難以由傳感器獲得，解決此問(wèn)題的常用方法為建立車輛振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)器[1]。目前車輛振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)算法研究主要針對(duì)線性懸架車輛系統(tǒng)[2-4]，而實(shí)際車輛懸架系統(tǒng)一般具有非線性特性，若將實(shí)際車輛簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)，基于線性模型設(shè)計(jì)振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)器，雖可簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，但存在觀測(cè)精度低、易失效等缺陷，影響智能懸架系統(tǒng)控制效果。因此，研究懸架系統(tǒng)非線性特性、設(shè)計(jì)車輛振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)器，對(duì)提高懸架控制性能具有重要意義。

線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)算法已較成熟，而非線性系統(tǒng)，因其本身的復(fù)雜性無(wú)適用所有非線性系統(tǒng)的萬(wàn)能方法，需對(duì)不同對(duì)象用不同的非線性狀態(tài)觀測(cè)算法[5]。對(duì)工程中廣泛存在的系統(tǒng)非線性特性，較有效的處理方式即進(jìn)行線性化處理，采用線性方法解決。傳統(tǒng)的線性化方法在平衡點(diǎn)附近將系統(tǒng)模型進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)并舍棄高次項(xiàng)，獲得線性近似，但在工作平衡點(diǎn)附近展開(kāi)只能反映系統(tǒng)此處特性，隨工作區(qū)域擴(kuò)大，舍棄高次項(xiàng)所致誤差會(huì)逐漸增大[6]。而用微分幾何理論研究非線性系統(tǒng)的精確線性化獲得一定發(fā)展[7]。該方法主要思想為通過(guò)尋找合適的非線性坐標(biāo)變換，將原系統(tǒng)變換成可觀測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)型，再利用線性誤差動(dòng)態(tài)構(gòu)造觀測(cè)器，經(jīng)坐標(biāo)逆變換獲得原非線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)[8]。

本文針對(duì)1/4車輛非線性懸架振動(dòng)系統(tǒng)，基于微分幾何理論分析論證其可觀測(cè)性及觀測(cè)器線性化問(wèn)題的可解性。采用反饋線性化卡爾曼濾波算法設(shè)計(jì)非線性懸架系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)器，并仿真驗(yàn)證該觀測(cè)算法對(duì)車輛振動(dòng)狀態(tài)的觀測(cè)效果及運(yùn)算效率。

1非線性懸架系統(tǒng)建模

1.11/4車輛振動(dòng)模型

圖1為1/4車輛振動(dòng)模型，主要為兩自由度振動(dòng)，即車身質(zhì)心、車輪質(zhì)心垂向振動(dòng)。圖中mb為等效車身質(zhì)量；mw為等效車輪質(zhì)量；zg，zb，zw分別為路面激勵(lì)、車身及車輪垂向位移。

系統(tǒng)坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜力平衡位置，根據(jù)牛頓第二定律，則描述1/4車輛運(yùn)動(dòng)的微分方程為

(1)

圖1　1/4車輛模型示意圖 Fig.1 Schematic diagram of quarter-car model

式中：Fs(·)為懸架彈性力函數(shù)，彈簧伸張時(shí)彈性力為正；Fd(·)為懸架阻尼力函數(shù)，減振器伸張行程阻尼力為正；kt為輪胎剛度系數(shù)。

本文懸架系統(tǒng)采用空氣彈簧及雙向作用筒式減振器?？諝鈴椈傻臍饽摇⒒钊睆椒謩e為D、d，氣囊容積等效高度為h，氣囊截面積A及活塞工作有效作用面積Aα為

A=πD2/4

(2)

Aα=π(D2+d2)/8

(3)

空氣彈簧的動(dòng)態(tài)彈性力[9-10]為

(4)

式中：Δz=zb-zw為空氣彈簧伸張位移量；r=1.4為氣體多變指數(shù)；p0=1.01×105Pa為大氣壓力；g=9.81 m·s-2為重力加速度。

據(jù)減振器阻尼力試驗(yàn)數(shù)據(jù)，用分段線性函數(shù)表達(dá)式近似，確定非參數(shù)化模型為

(5)

式中：vs為伸張行程開(kāi)閥速度；vy為壓縮行程開(kāi)閥速度；cs1，cs2為伸張行程阻尼系數(shù)；cy1，cy2為壓縮行程阻尼系數(shù)。

至此，已建立空氣懸架非線性彈性力及阻尼力模型，即1/4車輛非線性懸架振動(dòng)模型。

1.2非線性懸架系統(tǒng)狀態(tài)空間表示

對(duì)1/4車輛非線性懸架系統(tǒng)，選狀態(tài)變量為

(6)

以懸架相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度、位移為測(cè)量變量，則有

(7)

式(1)的狀態(tài)空間形式為

(8)

及

為非線性函數(shù)及系數(shù)矩陣。

2非線性懸架振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)系統(tǒng)反饋線性化

據(jù)微分幾何理論，系統(tǒng)滿足一定條件時(shí)可通過(guò)尋找合適的非線性坐標(biāo)變換將原非線性系統(tǒng)精確反饋線性化[11]。既可保證系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性，亦可用理論成熟的線性觀測(cè)算法。

式(8)為無(wú)輸入多輸出隨機(jī)系統(tǒng)，滿足可精確反饋線性化充要條件時(shí)[12]通過(guò)反饋線性化獲得可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型為

(9)

2.1系統(tǒng)可觀測(cè)性驗(yàn)證

通過(guò)計(jì)算輸出函數(shù)各階李導(dǎo)數(shù)對(duì)x的偏導(dǎo)，判斷系統(tǒng)可觀矩陣是否滿秩，驗(yàn)證非線性懸架系統(tǒng)的可觀測(cè)性。

2.1.1輸出函數(shù)各階李導(dǎo)數(shù)對(duì)x偏導(dǎo)計(jì)算

輸出函數(shù)h1各階李導(dǎo)數(shù)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)為

dh1=[1,-1,0,0]

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：

輸出函數(shù)h2各階李導(dǎo)數(shù)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)為

dh2=[0,0,1,0]

(14)

(15)

2.1.2系統(tǒng)可觀測(cè)性判斷

(16)

使可觀矩陣

(17)

滿秩，即rankQ=n。

據(jù)式(8)的具體形式，可驗(yàn)證序列維數(shù)k=3、且l0=2、l1=1、l2=1時(shí)，可觀矩陣Q滿秩。因此，該非線性懸架系統(tǒng)是可觀測(cè)的，可觀指數(shù)為{2,1,1}。

2.2反饋線性化

通過(guò)驗(yàn)證系統(tǒng)能精確反饋線性化充要條件求解滿足精簡(jiǎn)對(duì)偶Brunovsky形式的可觀對(duì)(A,C)，進(jìn)而求解坐標(biāo)變換偏導(dǎo)數(shù)，積分獲得坐標(biāo)變換。

2.2.1可觀對(duì)(A,C) 求解

記

hⅠ,0=[h1,h2]T，hⅠ,1=h1，hⅠ,2=h1，

hⅡ,0=?，hⅡ,1=h2，hⅡ,2=h2

(18)

(19)

將式(10)～式(15)代入式(18)、(19)，可證明

(20)

據(jù)文獻(xiàn)[12]，式(20)成立，坐標(biāo)變換的偏導(dǎo)有解使C1為單位矩陣，即

(21)

由可觀指數(shù){2,1,1}得

(22)

精簡(jiǎn)對(duì)偶Brunovsky形式的可觀對(duì)(A,C)為

(23)

2.2.2坐標(biāo)變換偏導(dǎo)數(shù)求解

記x=X(ξ)為非線性系統(tǒng)到可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的坐標(biāo)變換，則必滿足等式

(24)

據(jù)廣義逆矩陣?yán)碚揫13]，方程組(24)的通解為

(25)

式中：(·)-為矩陣(·)的任意{1}-逆，滿足(·)×(·)-(·)=(·)；Zi為與gi維數(shù)相同的任意矩陣。

據(jù)式(8)的具體形式計(jì)算得gi為

(26)

式中：z22，z42為矩陣Z1第2行第2列元素、第4行第2列元素。

由式(26)得坐標(biāo)變換的偏導(dǎo)數(shù)為

(27)

2.2.3坐標(biāo)變換求解

(28)

由于式(28)成立，?X/?ξ可積，故得坐標(biāo)變換為

(29)

進(jìn)而得映射為

(30)

至此，非線性懸架振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)系統(tǒng)的反饋線性化已完成。

3反饋線性化卡爾曼濾波觀測(cè)器設(shè)計(jì)

3.1觀測(cè)器設(shè)計(jì)

考慮系統(tǒng)的過(guò)程及測(cè)量噪聲，得含噪聲的可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型為

(31)

式中：wξ為過(guò)程噪聲；B為過(guò)程噪聲的系數(shù)矩陣；vξ為測(cè)量噪聲。

對(duì)比原系統(tǒng)式(8)知，測(cè)量噪聲由系統(tǒng)決定，與坐標(biāo)變換無(wú)關(guān)，故測(cè)量噪聲為

vξ=v

(32)

對(duì)坐標(biāo)變換的線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)卡爾曼濾波觀測(cè)器，需確定過(guò)程噪聲wξ及系數(shù)矩陣B。為確定坐標(biāo)變換后系統(tǒng)過(guò)程噪聲，設(shè)測(cè)量變量無(wú)誤差，即b(y)=b(Cξ)。對(duì)比式(8)得

(33)

式中：B1=[0,0,-kt/mw,0]T為系數(shù)矩陣。

考慮實(shí)測(cè)變量含噪聲，即b(y)=b(Cξ+vξ)，則

(34)

式中：

綜合以上分析，令過(guò)程噪聲為

(35)

取過(guò)程噪聲的常系數(shù)矩陣為

(36)

式中：dFs0為懸架剛度系數(shù)；dFd0為懸架阻尼系數(shù)。

至此，已確定隨機(jī)線性系統(tǒng)式(31)所有變量及系數(shù)矩陣。由于線性系統(tǒng)系數(shù)矩陣為時(shí)不變，當(dāng)過(guò)程、測(cè)量噪聲滿足平衡假設(shè)時(shí)，可采用穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波算法設(shè)計(jì)觀測(cè)器對(duì)狀態(tài)變量ξ進(jìn)行觀測(cè)，即

(37)

通過(guò)坐標(biāo)變換求得原坐標(biāo)下?tīng)顟B(tài)變量x的觀測(cè)值，完成1/4車輛非線性懸架振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)。

3.2仿真對(duì)比

3.2.1隨機(jī)路面仿真

在Matlab仿真環(huán)境中對(duì)所建1/4車輛非線性懸架模型，用反饋線性化卡爾曼濾波觀測(cè)器(FLKF)及擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器(EKF)進(jìn)行車輛振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)。仿真車輛、空氣彈簧及減振器參數(shù)見(jiàn)表1。

表1　1/4車輛模型仿真參數(shù)

對(duì)車輛以10 m/s駛過(guò)B級(jí)隨機(jī)路面工況進(jìn)行仿真，結(jié)果見(jiàn)圖2。由圖2看出，反饋線性化卡爾曼濾波觀測(cè)器能有效觀測(cè)車身、車輪振動(dòng)速度及懸架相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度以及車身振動(dòng)加速度，而擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器觀測(cè)精度較差。

振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)精度定量分析結(jié)果見(jiàn)表2。由表2可知，反饋線性化卡爾曼濾波觀測(cè)器對(duì)車身、車輪振動(dòng)速度觀測(cè)精度明顯優(yōu)于擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器，對(duì)懸架相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度及車身振動(dòng)加速度觀測(cè)精度亦較高。在Matlab仿真環(huán)境下，擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器平均一次迭代運(yùn)算消耗時(shí)間為0.141 ms，而反饋線性化卡爾曼濾波觀測(cè)器為0.087 ms，僅為前者的62%。因此，反饋線性化卡爾曼濾波觀測(cè)器運(yùn)算量小于擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器。反饋線性化卡爾曼濾波觀測(cè)器的觀測(cè)精度及運(yùn)算速度均優(yōu)于擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器。

表2　非線性懸架系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)精度(隨機(jī)路面工況I)

對(duì)車輛以20 m/s駛過(guò)C級(jí)隨機(jī)路面工況進(jìn)行仿真，結(jié)果見(jiàn)圖3及表3。仿真結(jié)果表明，隨機(jī)路面激勵(lì)變化后反饋線性卡爾曼濾波觀測(cè)器仍優(yōu)于擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器，表明非線性懸架系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)算法能適應(yīng)不同隨機(jī)路面。

表3　非線性懸架系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)精度(隨機(jī)路面工況II)

圖2 非線性懸架系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)(隨機(jī)路面工況Ⅰ)Fig.2Vibrationstateestimationofnonlinearsuspensionsystem(randomroadexcitationcaseⅠ)圖3 非線性懸架系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)(隨機(jī)路面工況Ⅱ)Fig.3Vibrationstateestimationofnonlinearsuspensionsystem(randomroadexcitationcaseⅡ)圖4 非線性懸架系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)(脈沖路面)Fig.4Vibrationstateestimationofnonlinearsuspensionsystem(impulseroadexcitation)

3.2.2脈沖路面

仿真1/4車輛系統(tǒng)以10 m/s車速通過(guò)固定于B級(jí)隨機(jī)路面的減速帶工況，結(jié)果見(jiàn)圖4。仿真曲線表明，車輛剛開(kāi)始通過(guò)減速帶時(shí)反饋線性化卡爾曼濾波觀測(cè)器所得車身振動(dòng)速度存在一定誤差，但該觀測(cè)器能迅速修正該誤差；車輛完全通過(guò)減速帶回到隨機(jī)路面后，觀測(cè)值能準(zhǔn)確反映真實(shí)狀態(tài)。而擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器雖能在車輛剛遇減速帶時(shí)較準(zhǔn)確觀測(cè)車身振動(dòng)速度，但產(chǎn)生的誤差不能消除，使車輛完全通過(guò)減速帶回到隨機(jī)路面后觀測(cè)值與真實(shí)狀態(tài)存在固定偏差。較擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，反饋線性化卡爾曼濾波算法對(duì)車輪振動(dòng)速度、懸架相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度及車身振動(dòng)加速度觀測(cè)精度較高。

4結(jié)論

(1)針對(duì)懸架系統(tǒng)非線性特性提出非線性懸架系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)算法?；谖⒎謳缀卫碚摚ㄟ^(guò)坐標(biāo)變換求解，實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的精確反饋線性化，并用卡爾曼濾波算法設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器。

(2)通過(guò)坐標(biāo)逆變換獲得原非線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)值。較擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器，反饋線性化卡爾曼濾波觀測(cè)器觀測(cè)精度更好、運(yùn)算效率更高。

參考文獻(xiàn)

[1]楊林,陳思忠,趙玉壯,等．油氣懸架整車的振動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)[J]．汽車技術(shù),2011 (8):17-21．

YANG Lin,CHEN Si-zhong, ZHAO Yu-zhuang, et al. Design of vehicle vibration state observer for hydro-pneumatic suspension[J]. Automobile Technology, 2011(8): 17-21.

[2]盧凡,陳思忠,劉暢,等．基于Kalman濾波器的車輛振動(dòng)速度估計(jì)[J]．振動(dòng)與沖擊,2014,33(13):111-116．

LU Fan, CHEN Si-zhong, LIU Chang, et al. Vehicle vibration velocity estimation based on Kalman filter[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(13): 111-116.

[3]Cuadrado J, Dopico D, Perez J A, et al. Automotive observers based on multibody models and the extended kalman filter[J]. Multibody System Dynamics, 2012, 27(1): 3-19.

[4]Doumiati M, Victorino A, Lechner D, et al. Observers for vehicle tyre/road forces estimation: experimental validation [J]. Vehicle System Dynamics, 2010, 48(11): 1345-1378.

[5]賈秀芹,劉允剛．一類更一般Lipschitz非線性系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)[J]．山東大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版,2007,37(2):113-120．

JIA Xiu-qin, LIU Yun-gang. Observer design for a class of more general Lipschitz nonlinear systems[J]. Journal of Shandong University:Engineering Science,2007,37(2):113-120.

[6]賓洋．車輛走停巡航系統(tǒng)的非線性控制研究[D]．北京：清華大學(xué),2006．

[7]李殿璞．非線性控制系統(tǒng)理論基礎(chǔ)[M]．哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社,2006．

[8]彭宇．非線性智能觀測(cè)器及其應(yīng)用研究[D]．杭州：浙江大學(xué),2000．

[9]孫博．乘用車空氣懸架剛度與阻尼的匹配研究[D]．北京：北京理工大學(xué),2012．

[10]成小霞,李寶仁,楊鋼,等．囊式空氣彈簧載荷建模與實(shí)驗(yàn)研究[J]．振動(dòng)與沖擊,2014,33(17):80-84．

CHENG Xiao-xia, LI Bao-ren, YANG Gang, et al. Modeling and tests for load of a cystiform air spring[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(17): 80-84.

[11]Isidori A,著．王奔,莊圣賢,譯．非線性控制系統(tǒng)(第3版) [M].北京:電子工業(yè)出版社,2012．

[12]Hou M, Pugh A C. Observer with linear error dynamics for nonlinear multi-output systems[J]. Systems & Control Letters, 1999, 37(1): 1-9.

[13]陳永林．廣義逆矩陣的理論與方法[M]．南京：南京師范大學(xué)出版社,2005．