白梅花 唐駿 羅寧 翟麗麗 劉興薇

基金項(xiàng)目：內(nèi)蒙古教育廳項(xiàng)目--《數(shù)學(xué)教育工學(xué)結(jié)合人才培養(yǎng)模式的建構(gòu)與實(shí)踐》（2013nmjg029）

摘 要 ：本文以一個(gè)簡(jiǎn)單例子探討了統(tǒng)計(jì)中統(tǒng)計(jì)推斷的一項(xiàng)重要內(nèi)容--假設(shè)檢驗(yàn)及其相關(guān)的基本問(wèn)題。假設(shè)檢驗(yàn)是利用樣本對(duì)總體進(jìn)行某種推斷的方法。文中給出了對(duì)總體參數(shù)如何提出假設(shè)；再如何利用樣本數(shù)據(jù)判斷這個(gè)假設(shè)成立與否；以及假設(shè)檢驗(yàn)方法可能犯的錯(cuò)誤等。

關(guān)鍵詞 ：假設(shè)檢驗(yàn)；統(tǒng)計(jì)量；拒絕域；錯(cuò)誤

中圖分類(lèi)號(hào)：O21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2015）01（c）0000-00

1.前言

假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要組成部分，是利用樣本對(duì)總體進(jìn)行某種推斷的方法。它先對(duì)總體參數(shù)的值提出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息去檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否成立。那么如何利用樣本信息，對(duì)假設(shè)成立與否作出判斷的一套程序是本文探討的內(nèi)容。

在現(xiàn)實(shí)生活中有大量的事例可以歸結(jié)為假設(shè)檢驗(yàn)的問(wèn)題。本文從下面例子談起。

2.假設(shè)檢驗(yàn)的一個(gè)例子

例：由統(tǒng)計(jì)資料得知，2008年某地新生兒的平均體重為3190克，現(xiàn)在從2010年的新生兒中隨機(jī)抽取100個(gè)，測(cè)得其平均體重為3210克，問(wèn)：2010年的新生兒與2008年相比，體重有無(wú)顯著差異？

解：從結(jié)果看，2010年新生兒平均體重比2008年新生兒平均體重增加了20克，但這20克的差異可能產(chǎn)生于抽樣的隨機(jī)性或可以理解為抽樣隨機(jī)性不可能造成20克這樣大的差異，新生兒體重確實(shí)有增加。那么，這20克的差異說(shuō)明了什么？下面我們可以采取假設(shè)的方法。

（1）提出假設(shè)： 表示2010年新生兒平均體重； 表示2008年新生兒平均體重。假設(shè)2008年和2010年新生兒的體重沒(méi)有顯著差異，則原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為

，

原假設(shè)與備擇假設(shè)互斥，肯定原假設(shè)，意味著放棄備擇假設(shè)；否定原假設(shè)，意味著接受備擇假設(shè)。

（2）確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及檢驗(yàn)法：原假設(shè)是否成立呢？我們要借助樣本統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量被稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。選擇哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量需要考慮一些因素，例如，樣本是大樣本還是小樣本，總體標(biāo)準(zhǔn)差 已知還是未知，等等。

假定已知總體的標(biāo)準(zhǔn)差 ，樣本量 ， ， ，所以采用 統(tǒng)計(jì)量：

，

由抽樣分布原理知統(tǒng)計(jì)量 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故檢驗(yàn)用 檢驗(yàn)法。

（3）確定拒絕域：

如果顯著水平 ，則95%的 應(yīng)當(dāng)落在區(qū)間 內(nèi)，即 內(nèi)。那么，我們把相應(yīng)的區(qū)間

即

稱(chēng)為拒絕原假設(shè)的拒絕域。如果原假設(shè)成立，那么在一次實(shí)驗(yàn)中 落入拒絕域： 內(nèi)的概率只有0.05，這個(gè)概率是很小的。如果這個(gè)情況真的出現(xiàn)，我們有理由認(rèn)為總體的真值不是3190克，也即拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。

這利用的是小概率原理，小概率原理是指發(fā)生概率很小的隨機(jī)事件在一次實(shí)驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的。根據(jù)這一原理可以作出是否拒絕原假設(shè)的決定。但是什么樣的概率才算小呢？概率0.05夠小嗎？著名的英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)希爾把小概率的標(biāo)準(zhǔn)定為0.05，雖然費(fèi)希爾并沒(méi)有對(duì)為什么選擇0.05給出充分的解釋?zhuān)藗冞€是沿用了這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，把0.05或比0.05更小的概率看成小概率。

（4）檢驗(yàn)假設(shè)做出決策：把已知數(shù)據(jù) ， ， ， 代入 算得

，落入拒絕域，所以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為與2008年相比，2010年新生兒的體重有顯著差異。

3.假設(shè)檢驗(yàn)兩類(lèi)錯(cuò)誤

對(duì)原假設(shè)提出的命題，我們依據(jù)樣本提供的信息需要做出真與偽的判斷，也就是由部分來(lái)推斷總體。因而判斷有可能正確，有可能不正確，也就是說(shuō)，我們面臨著犯錯(cuò)誤的可能。所犯的錯(cuò)誤有兩種類(lèi)型，一類(lèi)錯(cuò)誤是原假設(shè) 為真卻被我們拒絕了，這種錯(cuò)誤稱(chēng)為棄真錯(cuò)誤；另一類(lèi)錯(cuò)誤是原假設(shè) 為偽我們卻沒(méi)有拒絕，這種錯(cuò)誤稱(chēng)為納偽錯(cuò)誤。

自然，人們希望犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率越小越好。那么只能增大樣本量 ，才能做到犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率都很小。但樣本量不可能沒(méi)有限制，否則就會(huì)使抽樣調(diào)查失去意義。但對(duì)于一定的樣本量 ，我們做不到犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率同時(shí)都很小。一般只能把帶來(lái)嚴(yán)重后果的一類(lèi)錯(cuò)誤作為首要的控制目標(biāo)即可。

4.拒絕域檢驗(yàn)的優(yōu)缺點(diǎn)

上面進(jìn)行檢驗(yàn)的方法是根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入的區(qū)域作出是否拒絕原假設(shè)的決策。在確定顯著水平 以后，拒絕域的位置也就相應(yīng)確定了，其好處是進(jìn)行決策的界限清晰，但缺點(diǎn)是進(jìn)行決策面臨的風(fēng)險(xiǎn)是籠統(tǒng)的。在上例子中，計(jì)算的 ，落入拒絕域，我們拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。這時(shí)犯棄真錯(cuò)誤的概率為0.05。如果計(jì)算的 ，同樣落入拒絕域，我們拒絕原假設(shè)面臨的風(fēng)險(xiǎn)也是0.05。那么0.05是通用的風(fēng)險(xiǎn)概率，這是用拒絕域表示的弱點(diǎn)。

5.結(jié)束語(yǔ)

在實(shí)際問(wèn)題的檢驗(yàn)中，我們不可能對(duì)問(wèn)題的背景都有所了解，如何提出假設(shè)，并沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)的確定通常與所要檢驗(yàn)的問(wèn)題的性質(zhì)，檢驗(yàn)者所要達(dá)到的目的有關(guān)系，也與檢驗(yàn)者的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)水平有關(guān)。

另外，通常在假設(shè)檢驗(yàn)中把希望證明的命題放在備擇假設(shè)上，而把原有的、傳統(tǒng)的觀點(diǎn)放在原假設(shè)上，這樣我們的目的就是希望能夠用事實(shí)推翻原假設(shè)，而接受備擇假設(shè)。由于推翻原假設(shè)需要檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域，所以在一次實(shí)驗(yàn)中原假設(shè)是具有優(yōu)勢(shì)的，由小概率原理，備擇假設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中不容易出現(xiàn)，但一旦發(fā)生，我們就有充分的理由推翻原假設(shè)，這意味著新結(jié)論的誕生。但是沒(méi)有拒絕原假設(shè)，并不意味著備擇假設(shè)是錯(cuò)誤的，只是說(shuō)還沒(méi)有足夠的證據(jù)證明原假設(shè)不成立。所以說(shuō)我們接受備擇假設(shè)一定意味著原假設(shè)錯(cuò)誤；沒(méi)有拒絕原假設(shè)并不能表明備擇假設(shè)一定是錯(cuò)的。

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