三體問題一類特解的初探

姜付錦

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)湖北 武漢430300)

摘 要：通過對三體問題的拉格朗日類特解的進一步分析，發(fā)現(xiàn)在改變速度初始值情況下存在3類解析解，并用數(shù)學(xué)軟件MathCAD2001對其進行了數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞：三體問題特解數(shù)值模擬

收稿日期：(2014-08-04)

三體問題到目前為止有4組特解：一是3顆等質(zhì)量天體始終在一條直線上，中間天體不動，其余兩顆天體繞中間天體做勻速圓周運動(歐拉類特解)；二是3顆等質(zhì)量天體組成一個正三角形繞三角形的幾何中心做勻速圓周運動(拉格朗日類特解)；三是3顆等質(zhì)量天體在一個“8字形”軌道上運動(由克里斯-摩爾借助計算機在1993年發(fā)現(xiàn))；四是1顆質(zhì)量較小的天體在兩個質(zhì)量較大天體的引力場中的運動，兩個天體在里面橫沖直撞，第3顆天體在它們的外圍做環(huán)繞運動[1](由布魯克-赫農(nóng)借助計算機發(fā)現(xiàn)).本文著重對第二類拉格朗日類特解進一步分析，發(fā)現(xiàn)了3類解析解.

1建立模型

如圖1所示，設(shè)3顆天體組成一個正三角形，繞O點做勻速圓周運動，半徑為r0,速度為v0.

圖1　三體組成一個正三角形

(1)

2軌道方程

如圖2 所示，取O點為極坐標(biāo)的極點，根據(jù)機械能守恒定律則有[2]

(2)

式中E為天體的總能量，V(r)是系統(tǒng)的引力勢能.

圖2　軌道方程

如取無窮遠(yuǎn)處的勢能為零，則質(zhì)點在距原點r時的引力勢能為

(3)

則式(2)可變?yōu)?/p>

(4)

令

代入式(4)后得

(5)

(6)

兩邊分別積分[3]，得

(7)

故

(8)

令

則上式可變?yōu)?/p>

(9)

故天體A的軌道是焦點在原點上的圓錐曲線.

因為A天體的總能量

(1)E<0，則e<1，軌道為橢圓.

(2)E=0，則e=1，軌道為拋物線.

(3)E>0，則e>1，軌道為雙曲線的一支.

若天體A的軌道為

則天體B的軌道為

天體C的軌道為

當(dāng)

則

當(dāng)0

當(dāng)v=v0時，A天體軌道為圓；

3數(shù)值模擬

圖3　數(shù)值模擬圖

4小結(jié)

參 考 文 獻

1漆安慎，杜嬋英.力學(xué)(第1版).北京：高等教育出版社，1997.261～264

2周衍伯.理論力學(xué)教程(第2版).北京：高等教育出版社，1997.67～74

3周城璧.高等數(shù)學(xué)(第3版). 北京：高等教育出版社，1997.370～371