一類具三點邊值問題的分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性

劉小剛1，劉慧敏2

(1.西北大學(xué) 現(xiàn)代學(xué)院，西安 710130； 2.鄭州成功財經(jīng)學(xué)院 共同學(xué)科部，鄭州 451200)

摘要：討論了一類具三點邊值問題的分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性，給出解的存在性條件，并運(yùn)用Schauder不動點定理進(jìn)行討論，推廣已有的某些結(jié)論.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微分方程；邊值問題；正解；不動點定理；格林函數(shù)

中圖分類號：O175.8文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-5564(2015)03-0031-04

收稿日期：2015-04-08

基金項目：西安財經(jīng)學(xué)院科研

作者簡介：郭妞萍(1978—)，女，山西永濟(jì)人,西安財經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計學(xué)院講師，碩士，主要從事數(shù)值分析研究.

ExistenceofPositiveSolutionsofFractionalDifferentialEquationsforAClassofThree-pointBoundaryValueProblems

LIUXiao-gang1，LIU Hui-min2

(1.SchoolofModern,NorthwestUniversity,Xi’an710130,China; 2.DepartmentofGeneralSubjects,

ZhengzhouChenggongUniversityofFinanceandEconomics,Zhengzhou451200,China)

Abstract：In this paper, the existence of positive solutions of fractional differential equations for a class of three-point boundary value problems was discussed and the existence conditions of solutions were given. The Schauder fixed-point theorem was used to promote some existing conclusions.

Keywords：fractionaldifferentialequations;boundaryvalueproblem;positivesolution;theSchauderfixed-pointtheorem;Greenfunction.

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程在工程、科技、圖像處理以及非線性動力系統(tǒng)等眾多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用，其研究受到越來越多的關(guān)注，特別是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題引起了廣泛的研究，一些相關(guān)專著已經(jīng)出版.[1-2]

趙霞在文獻(xiàn)[3]中利用不動點定理，給出了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(1)

正解的存在性，1<α2,0<β1,0γ1,Dα是標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微分.

受到此文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文研究下面一類具三點邊值問題分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性：

(2)

2<α3, 0<β1,0<ξ1,Dα,DβCaputo均為Caputo微分.利用不動點定理，得到了邊值問題(2)至少具有一個正解的存在性條件.

1預(yù)備知識和引理

參考文獻(xiàn)Caputo型分?jǐn)?shù)階微分的定義見[3].

引理2[4](Banach 壓縮映射原理) 設(shè)U是Banach空間X的有界閉子集，如果T:U→U滿足?0

引理4[5]設(shè)函數(shù)g∈L[0,1]，則邊值問題

其中：

證明對方程(2)兩邊同時進(jìn)行α階積分，根據(jù)邊界條件很容易得到.

引理5函數(shù)G(t,s)具有以下性質(zhì)：

(1)G(t,s)∈C([0,1]×[0,1])；

(2)對任意的t,s∈[0,1]，有G(t,s)>0成立.

2主要結(jié)果

在證明主要結(jié)論前，首先給出下列假設(shè)：

(H1)f:[0,1]×[0,+)×[0,+)→[0,+)關(guān)于t∈[0,1]是勒貝格可測的；

(H2)f:[0,1]×[0,+)×[0,+)→[0,+)關(guān)于x∈[0,)是連續(xù)的；

(H3)存在非負(fù)實值函數(shù)m(t)∈C([0,1],[0,)),使得；

下面給出本文的主要結(jié)果：

定理1設(shè)(1-ξ1-β)(2-β)Γ(α)>2Γ(α)(1-ξ2-β)+2Γ(α-2)(2-β)(1-ξ1-β)，

則邊值問題(2)的解x≥0.

所以函數(shù)x(t)在[0,1]是凹函數(shù).又因為x(0)=0，并且

f(s,x(s)Dβx(s))ds≥0.因此，邊值問題(2)的解x≥0.

定理2如果(H1),(H2),(H4)成立，并且0<κ<1，

接著證明算子T在E中將一個有界集映射成有界集.取Ω?H是一個有界集，?x∈Ω，結(jié)合條件(H4)有

(3)

(4)

因為

(5)

所以算子Tx將一個有界集映射成有界集.

最后證明算子Tx是等度連續(xù)集.對任意的x∈H，0

(6)

(7)

綜上所述，根據(jù)Ascoli-Arzela定理可知，T是全連續(xù)算的.

因此，根據(jù)引理2，T至少存在一個正解.

證明對任意的x,y∈H，t∈[0,1]，有

(8)

(9)

下證λ=1不是算子L的特征值.事實

所以，‖x‖=‖Lx‖

根據(jù)條件(H5)，?ε>0，存在充分大的N>0，使得對任意的t∈[0,1]，有

(10)

(11)

根據(jù)引理3，算子T存在一個不動點.

[參考文獻(xiàn)]

[1]CABADAA,WANGGT.Positivesolutionsofnonlinearfractionaldifferentialequationswithintegralboundaryvalueconditions[J].JournalofMathmaticalAnalysisandApplications,2012,389(1):403-411.

[2]ZHANGYing-han,BAIZhang-bing.Existenceofsolutionsfornonlinearthree-pointboundaryvalueproblematreso-nance[J].JApplMathComput,2011,36(1/2):417-440.

[3]趙霞，劉洋，胡衛(wèi)敏.分?jǐn)?shù)階微分方程三點邊值問題正解的存在性和唯一性[J].伊犁師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2013(1)：1-4.

[4]ZEIDLERE.Nonlinearfunctionalanalysisanitsapplication-I:Fixed-pointtheorems[M].Springer：NewYork,NY,USA,1986.

[5]ZHANGS.Positivesolutionsforboundaryvalueproblemofnonlinearfractionaldifferentialequations[J].ElectronJDifferEqu.,2006,36:1-12.

[6]SAMKOSG,KILBASAA,MARICHEVOI.Fractionalintegralsandderivatives[M].GordonandBreach,Amsterdam,1993.

[責(zé)任編輯王新奇]

Vol.18No.3Jul.2015