求解非線性方程的指數(shù)迭代法

郭妞萍

(西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710100)

摘要：給出一種求解非線性方程的新迭代算法：指數(shù)迭代法,即用exk+1=φ(xk)(k=0,1,2，…)進(jìn)行迭代，它是對(duì)簡(jiǎn)單迭代法的延托擴(kuò)展.同時(shí)給出迭代函數(shù)收斂性判斷條件和誤差估計(jì)式.最后進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn),計(jì)算結(jié)果表明該方法是非常有效的.

關(guān)鍵詞：指數(shù)迭代法；非線性方程；收斂速度

中圖分類號(hào)：O241文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-5564(2015)03-0035-04

收稿日期：2015-04-16

基金項(xiàng)目：陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(14JK1141)

作者簡(jiǎn)介：張燕(1975-)，女，寧夏中衛(wèi)人，陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事粗糙集算法分析及應(yīng)用研究.

ExponentialIterativeMethodforSolvingNonlinearEquations

GUONiu-ping

(SchoolofStatistics,Xi’anUniversityofFinanceandEconomics,Xi’an710100)

Abstract：A new iterative algorithm called exponential iterative method is provided for solving nonlinear equations. In this algorithm, exk+1=φ(xk)(k=0,1,2，…) was used to do the iterative, and it is an extension of the simple iterative method. Meanwhile, the judgment condition of the iteration function convergence and the error estimation formula were given. Finally, the numerical experiment was conducted and the calculation results show that the method is very effective.

Keywords：exponentialiterativemethod;nonlinearequation;convergencerate

在工程實(shí)踐中，許多實(shí)際問題往往可以轉(zhuǎn)化為非線性方程或方程組的求解，但是絕大多數(shù)的非線性方程不能求出其解析解.對(duì)于此類方程只能求解滿足精度要求的近似解，探索有效數(shù)值求解方法一直是研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)[1-4]，迭代法是一種逐步逼近其真實(shí)解的數(shù)值方法.因此，對(duì)非線性方程(組)的數(shù)值解法研究具有十分重要的意義.利用函數(shù)值和“兩線相交”策略對(duì)非線性方程的根進(jìn)行逐步逼近是傳統(tǒng)的簡(jiǎn)單迭代法的思想[5-6].文獻(xiàn)[7]提出了拋物線迭代法，而文獻(xiàn)[8]提出了對(duì)數(shù)迭代法，在此前研究的基礎(chǔ)上，提出一種新的逐步逼近方法—指數(shù)迭代法，即構(gòu)造滿足條件的指數(shù)函數(shù)來對(duì)非線性方程的根進(jìn)行逼近.同時(shí)給出迭代函數(shù)收斂性判斷條件和誤差估計(jì)式.

1指數(shù)迭代法的迭代公式

對(duì)非線性方程

f(x)=0

(1)

設(shè)有根s，將其化為等價(jià)的方程

ex=φ(x)

(2)

因而有s=φ(s).選定s的初始近似值x0，用遞推公式

exk+1=φ(xk)(k=0,1,2，…)

(3)

2指數(shù)迭代法的收斂定理

定理1設(shè)函數(shù)φ(x)∈[a,b],在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且滿足兩個(gè)條件

1)當(dāng)x∈[a,b]時(shí),ex∈[ea,eb],φ(x)∈[ea,eb]；

2)當(dāng)x′,x″∈[a,b]時(shí),有

(4)

其中c為常數(shù),0

則有如下結(jié)論：

(ⅰ)方程(1)在區(qū)間[a,b]上有唯一的根s；

(ⅱ)對(duì)任取的x0∈[a,b],由(2)所產(chǎn)生的序列exk∈[ea,eb]且收斂于es；

(ⅲ)成立誤差估計(jì)式：

(5)

(6)

(ⅳ)若φ′(x)存在，則有

(7)

證明(ⅰ)令F(x)=ex-φ(x),則F(x)∈C[a,b],并由條件1)可知F(x)=ea-φ(a)0，F(xiàn)(b)=eb-φ(b)≥0，若上面兩個(gè)不等式中有一個(gè)等式成立，則方程(1)有根s=a或s=b；若兩個(gè)都是嚴(yán)格不等式,即F(a)·F(b)<0,則根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理,必存在一點(diǎn)s∈(a,b),使F(s)=es-φ(s)=0,則方程有根s∈(a,b).

(ⅲ)設(shè)m>k,則有

而

于是有

又因?yàn)?/p>

有

(8)

3幾何解釋

圖1　指數(shù)迭代法的幾何解釋

指數(shù)迭代法的幾何解釋是：求ex=φ(x)的不動(dòng)點(diǎn),在幾何上是求指數(shù)函數(shù)y=ex與曲線y=φ(x)的交點(diǎn)s,如圖1所示,從點(diǎn)Pk(xk,φ(xk))出發(fā),從該點(diǎn)沿平行于x軸方向前進(jìn)交y=ex于點(diǎn)(lnφ(xk),φ(xk)),從該點(diǎn)沿y軸方向前交y=φ(x)于點(diǎn)Pk+1(lnφ(xk),φ(lnφ(xk))),Pk+1點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是xk+1,如此進(jìn)行下去直到s.

4算法舉例

對(duì)下列不同類型的非線性方程進(jìn)行數(shù)值求解：

(a)x-lnx=2 迭代公式exk+1=e2xk取x0=3.000 000 0

(d)x+sinx=1 迭代公式exk+1=e1-sinxk取x0=0.500 000 0

表1　非線性方程(a),(b)迭代計(jì)算結(jié)果

表2　非線性方程( c),( d)迭代計(jì)算結(jié)果

表1　非線性方程(e)迭代計(jì)算結(jié)果

表1～表3的計(jì)算結(jié)果表明，指數(shù)迭代法和對(duì)數(shù)迭代法、簡(jiǎn)單迭代法具有相近收斂速度.

5結(jié)語

本文提出一種求解非線性方程的新方法—指數(shù)迭代法，可以看作是對(duì)簡(jiǎn)單迭代法的延托擴(kuò)展，提供了一種新的迭代函數(shù)，若能選擇一合適的迭代函數(shù)以及迭代初值，則可以有效的求解非線性方程.因此，和其它的數(shù)值方法一樣，如何選取收斂速度更快的迭代函數(shù)和合適迭代初值，以及如何改進(jìn)迭代函數(shù)加速收斂,即由迭代函數(shù)產(chǎn)生的迭代序列較快的收斂到滿足精度要求的根等問題是以后研究的重點(diǎn).

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[責(zé)任編輯王新奇]

Vol.18No.3Jul.2015