Boussinesq方程的適定性

謝鳴鳳

(南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，南京 211106)

摘要：確立了在Besov-Morrey空間框架下的非粘性布西涅斯克方程的局部時間的解的存在性，此處一類Besov-type函數(shù)空間建立在Morrey空間而不是普通的Lp空間.

關(guān)鍵詞：Besov-Morrey空間；非粘性布西涅斯克方程；解的存在性

中圖分類號：O175.29文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-5564(2015)03-0015-05

收稿日期：2015-02-09

基金項目：國家自然科學(xué)

作者簡介：楊森林(1979—)，男，陜西漢中人，西安文理學(xué)院機(jī)械與材料工程學(xué)院講師，博士，主要從事圖像處理、視頻等研究；

Well-posednessfortheBoussinesqEquations

XIEMing-feng

(DepartmentofMathematics,SchoolofScience,NanjingUniversityof

AeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China)

Abstract：In this paper, the existence of the local time solution of non-viscous Boussinesq equation was established within the Besov-Morrey space frame, and the space that a class of Besov-type functions being built is the Morrey space instead of the ordinary LP space.

Keywords：Besov-Morreyspaces;non-viscousBoussinesqequations;existenceofsolution

Besov-Morrey空間[1]是一個具有研究價值的空間.Morrey空間[2]中的非粘性布西涅斯克方程中解的存在性很值得我們研究，此處考慮非粘性布西涅斯克方程，本文我們考慮的模型如下：

(1.1)

1主要結(jié)論

定理1設(shè)11+n/p,1r,s=1+n/p,r=1.假設(shè)初始數(shù)據(jù)并滿足divu0=0.則這里存在T1=T1(‖,‖使得(1.1)有唯一解.

接下來，給出本文的主要引理：

引理1[3]對s>0,1qp<,1r，則這里存在一個常數(shù)C使得

‖2sj‖[v·,‖lrC(‖v‖L‖‖‖

引理2[3]對s>0,1qp<,1r，則這里存在一個常數(shù)C使得

‖2js‖[v·,‖lrC(‖v‖L‖‖‖

2定理證明

2.1先驗(yàn)估計

(2.1)

此處

定義映射如下:

(2.2)

有

則

(2.3)

此時可推得

(2.4)

(2.5)

(2.6)

接下來對壓強(qiáng)進(jìn)行估計.對(1.1)進(jìn)行散度估計，在divu=0的幫助下，我們得到

-ΔP=div((u·)u)-divθen,

并推出

?i?jP=RiRjdiv(u·)u-RiRjdivθen.

由文獻(xiàn)[4]可以得到

(2.7)

綜上可有

(2.8)

而

(2.9)

由(2.8)加上(2.9)并應(yīng)用Gronwall不等式可得

(2.10)

2.2(1.1)的線性等式

(2.11)

對于(2.11)的可解性，我們得到以下結(jié)論

定理2設(shè)divv=0,v∈L對p<,r∈[1,]p<,r=1.則有對任何和divu0=0,對于(2.11)，我們則有唯一的解).而且P可以被唯一確定.

2.3近似解和一致估計

首先，我們設(shè)(u0,θ0)=(0,0).我們定義(um+1,θm+1)是下列方程的近似解

(2.12)

其中m=0,1,2,….如果我們有序列(um,θm)滿足定理2.1，則(2.12)有解(um+1,θm+1).

類似于先驗(yàn)估計，我們定義映射：

(2.13)

則我們可以得到估計如下

(2.14)

其中算子被估計如下

(2.15)

(2.16)

壓強(qiáng)估計為

(2.17)

將(2.14)～(2.17)相加可得

(2.18)

類似于(2.9)可得

(2.19)

由(2.18)(2.19)并應(yīng)用Gronwall不等式可得

(2.20)

當(dāng)m=0結(jié)論為真，當(dāng)m>0時如果我們選擇T1>0 (T1與m有關(guān))非常小以至于exp(C(1+C1)T)2.由(2.20)可以推出

(2.21)

2.4收斂性與存在性

(2.22)

此處Πm+1:=Pm+1-Pm

(2.23)

其中

(2.24)

(2.25)

I3‖‖.

(2.26)

I4‖‖

(2.27)

I5‖‖.

(2.28)

(2.29)

綜合(2.24)～(2.29)可得

(2.30)

另一方面

(2.31)

合并(2.30)-(2.31)并根據(jù)2.3可得

(2.32)

如果選擇T2∈(0,T1]足夠小并滿足C(1+C1)T21/2和CC1T21/4，我們可以得到

(2.33)

這可以導(dǎo)致

(2.34)

2.5線性方程的解

為了完成局部存在性的部分，我們看到(2.11)的解是等價于以下系統(tǒng)的

(2.35)

我們可以近似得到[6]

(2.36)

而

(2.37)

應(yīng)用Growall不等式可得

(2.38)

因此，考慮(2.38)的先驗(yàn)估計，并通過(2.36)的近似解{(um+1,θm+1)}，(2.35)中解的存在性和唯一性可以得到.

2.6唯一性

假設(shè)(u1,θ1),(u2,θ2)有相同的初始條件并都是(1.1)的解，設(shè)U=u1-u2,Θ=θ1-θ2，

我們可以得

其中Π=p1-p2.

類似于柯西序列的證明，我們得到

(2.39)

由2.1～2.6，定理1得證.

[參考文獻(xiàn)]

[1]KOZOHO H,YAMAZAKI M.Semilinear heat equations and the Navier-Stokes equations with distributions in new funtion spaces as initial data[EB/OL], extit{Comm.PDE},{f{19}}(1994)959-1014.

[2]TANG L.A remark on the well-posedness of the Euler equation in the Besov-Morrey space,preprint[EB/OL]. extit{http:∥www.math.pku.edu.cn:8000/var/preprint/572.pdf}.

[3]XU J,TAN Y F.On the well-posedness of the quasi-geostrophic equations in the Besov-Morrey spaces[J].Nonlinear Anal.TMA,2013,92:60-71.

[4]TANG L.A remark on the well-posedness of the Euler equation in the Besov-Morrey space,preprint[EB/OL]. extit{http:∥www.math.pku.edu.cn:8000/var/preprint/572.pdf}.

[5]LIU X,WANG M,ZHANG Z.Local well-posedness and blow-up criterion of the boussinesq equations in critical Besov spaces[EB/OL]. extit{J.Math.Fluid Mech.} {f{12}}(2010)280-292.

[6]MAZZUCATO A.Besov-Morrey spaces:function spaces theory and applications to non-linear PDE[EB/OL]. extit{Trans.AMS},{f{355}}(2002)1297-1364.

[責(zé)任編輯王新奇]

Vol.18No.3Jul.2015

崇鑫(1981—)，女，陜西西安人，艾默生網(wǎng)絡(luò)能源(西安)有限公司工程師，碩士，主要從事電力電子、控制算法、計算機(jī)等研究；

趙小俠(1970—)，女，河南濟(jì)源人，西安文理學(xué)院機(jī)械與材料工程學(xué)院副教授，博士，主要從事激光、光學(xué)成像等研究.