第一作者方吉男，博士生，講師，1981年12月生

基于模態(tài)疊加法的焊接結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)測方法研究

方吉，兆文忠，樸明偉

(大連交通大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，大連116028)

摘要：針對焊接結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)測，從動力學(xué)的角度提出了一種基于模態(tài)疊加法的動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)計算方法，并驗證了其可行性與正確性，該方法以時變載荷作用下焊接結(jié)構(gòu)的動平衡為基礎(chǔ)，考慮結(jié)構(gòu)自身振動加速度對用于評價焊縫疲勞壽命的結(jié)構(gòu)應(yīng)力的影響，實現(xiàn)了動態(tài)載荷下焊接結(jié)構(gòu)的動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算，有效地拓寬了主S-N曲線疲勞預(yù)測方法的應(yīng)用領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力；動力學(xué)；主S-N曲線法；焊接結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)測

基金項目：國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)(2012AA040912)； 鐵道部科技研究開發(fā)計劃(2012G002-11)

收稿日期：2013-09-03修改稿收到日期：2014-03-27

中圖分類號:TB122文獻標(biāo)志碼：A

Fatigue life prediction of welded structures based on modal superposition method

FANGJi,ZHAOWen-zhong,PIAOMing-wei(School of Traffic and Transportation Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China)

Abstract:For welded structure’s fatigue life prediction, a method of structural dynamic stress calculation based on the mode superposition method was proposed. The feasibility and accuracy of the method were verified. The method was based on the dynamic equilibrium of welded structures under time-varying loads, considering the effect of structural vibration acceleration on structural stress used to predict the fatigue life of welded structures. The structural dynamic stress calculation of welded structures under dynamic loading was realized with the proposed method and the application of the master S-N curve fatigue prediction method was broadened effectively.

Key words:dynamic structural stress; mode superposition method; master S-N curve； fatigue life prediction of welded structure

在焊接結(jié)構(gòu)中，疲勞破壞主要發(fā)生在接頭部分，目前能夠?qū)附咏宇^進行疲勞評價標(biāo)準(zhǔn)主要有BS7608、IIW、ASME，其中BS標(biāo)準(zhǔn)中焊接結(jié)構(gòu)疲勞可用S-N曲線較少，IIW主要針對焊接結(jié)構(gòu)疲勞，雖然提供了一些不同形式焊接接頭的實驗S-N曲線數(shù)據(jù)，但畢竟是有限的，很多情況下是找不到對應(yīng)的接頭形式及相應(yīng)的受力條件，S-N曲線數(shù)據(jù)不可用[1-2]。ASME BP&C Section VIII Div 2 Code[3]是美國的最新疲勞評估標(biāo)準(zhǔn)，它是以新奧爾良大學(xué)的董平沙教授提出的網(wǎng)格不敏感的結(jié)構(gòu)應(yīng)力法及主S-N曲線法為基礎(chǔ)來預(yù)測焊接結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，是在該領(lǐng)域迄今為止比較可靠的焊接結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)測新方法，該方法有著焊縫疲勞壽命預(yù)測結(jié)果不受有限元模型網(wǎng)格大小影響等優(yōu)點。目前該方法的工程應(yīng)用主要是根據(jù)時變載荷和單位靜態(tài)載荷下結(jié)構(gòu)應(yīng)力的線性對應(yīng)關(guān)系來計算變化的載荷作用下結(jié)構(gòu)應(yīng)力的變化范圍并以此做出疲勞壽命預(yù)測[4-8]。變化的載荷是導(dǎo)致疲勞的根本原因，當(dāng)載荷的變化速率遠小于結(jié)構(gòu)的最低階固有模態(tài)的頻率情況下，時變載荷與結(jié)構(gòu)應(yīng)力存在線性的對應(yīng)關(guān)系，如果載荷的變化速率與結(jié)構(gòu)的某些固有模態(tài)的頻率比較接近，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生較強的結(jié)構(gòu)振動，在這種情況下時變載荷與應(yīng)力轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€形關(guān)系，該方法的應(yīng)用就受到了限制。本文從動力學(xué)的角度來思考該問題，提出了一種基于模態(tài)疊加法的動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算法，該方法從時變載荷作用下結(jié)構(gòu)的動平衡出發(fā)，考慮結(jié)構(gòu)振動加速度對用于評價焊縫疲勞壽命的結(jié)構(gòu)應(yīng)力的影響，實現(xiàn)了動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力的計算，并驗證了其可行與正確性，有效地拓寬了主S-N曲線疲勞預(yù)測方法的應(yīng)用領(lǐng)域。

1網(wǎng)格不敏感結(jié)構(gòu)應(yīng)力法基本原理

當(dāng)采用有限元法計算焊接結(jié)構(gòu)的應(yīng)力時，有限元網(wǎng)格的大小對應(yīng)力計算的結(jié)果有較大影響，在應(yīng)力集中區(qū)域影響更為明顯，非常不利于疲勞壽命的準(zhǔn)確預(yù)測。而網(wǎng)格不敏感結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算方法(MSS法)[9-10]，是通過對焊趾處應(yīng)力分布規(guī)律的研究，發(fā)現(xiàn)焊接疲勞破壞通常發(fā)生在焊趾處，并沿著焊趾在厚度方向上擴展。該位置應(yīng)力延板厚方向應(yīng)力呈非線性分布(圖1)，焊趾處總應(yīng)力σx等于膜應(yīng)力σm、彎曲應(yīng)力σb與非線性峰值應(yīng)力σn之和。非線性峰值應(yīng)力是自平衡的缺口應(yīng)力，因此焊趾處結(jié)構(gòu)應(yīng)力將對焊接疲勞性能起主要作用。結(jié)構(gòu)應(yīng)力值σs等于膜應(yīng)力σm與彎曲應(yīng)力σb二者之和。該方法避免了網(wǎng)格大小對應(yīng)力的計算結(jié)果的影響，從而使疲勞壽命預(yù)測的結(jié)果具有一致性，目前利用該方法預(yù)測時變載荷下焊接結(jié)構(gòu)疲勞壽命的工程應(yīng)用流程見圖2。由于該方法利用時變載荷下的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和單位載荷下結(jié)構(gòu)應(yīng)力的線性對應(yīng)關(guān)系，間接的獲得變化的載荷所導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)應(yīng)力的變化，因此該方法屬于間接法。如果能夠從動力學(xué)方程直接獲得時間域上的節(jié)點位移及節(jié)點力，就可以根據(jù)網(wǎng)格不敏感結(jié)構(gòu)應(yīng)力法計算出結(jié)構(gòu)應(yīng)力的時間歷程，此方法屬于直接法，這正是本文要研究的內(nèi)容。

圖1　焊趾處的應(yīng)力分布 Fig.1 Stress distribution at the weld toe

圖2　時變載荷下焊接結(jié)構(gòu)疲勞壽命 預(yù)測的工程應(yīng)用流程(間接法) Fig.2 Engineering application process of life prediction on welded structures under Time-varying loads(Indirect method)

2動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算法及主S-N曲線法疲勞壽命預(yù)測

為了降低動力學(xué)方程自由度，提高計算效率，采用了模態(tài)疊加法來縮減動力學(xué)方程的自由度。通常求解縮減后的動力學(xué)方程動可以獲得模態(tài)主坐標(biāo)時間歷程。根據(jù)模態(tài)主坐標(biāo)時間歷程疊加出節(jié)點位移時間歷程，根據(jù)節(jié)點位移時間歷程計算節(jié)點力時間歷程，最后求出結(jié)構(gòu)應(yīng)力時間歷程，而本文采用的方式與通常的方式不太一樣，其具體流程見圖3。當(dāng)需要計算的時間步較多的情況下該流程有計算過程數(shù)據(jù)處理量小的優(yōu)點。

圖3　動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算及疲勞壽命預(yù)測流程(直接法) Fig.3 Dynamic structural stress and fatigue life prediction calculation process(Direct method)

2.1模態(tài)計算與截取

為了獲得適應(yīng)靜態(tài)、動態(tài)和隨機載荷條件下結(jié)構(gòu)形變所需要的振型模式，采用Craig-Bampton模態(tài)綜合法[11]來獲取所需要的模態(tài)振型[Φ]，其中固定邊界模態(tài)可以選取部分較低階模態(tài)，高階模態(tài)的影響被忽略。約束模態(tài)可以根據(jù)實際的約束和載荷條件進行適當(dāng)?shù)目s減[12]。

(1)

(2)

由于模態(tài)特征向量是一個定性的向量，為了獲得定量的模態(tài)特征向量方便后續(xù)的計算需要對模態(tài)進行正則化，其中關(guān)于質(zhì)量矩陣歸一化(式3)是常用的正則化方法之一。

(3)

2.2動力學(xué)方程的變換及求解

動力學(xué)方程的一般形式：

(4)

經(jīng)模態(tài)坐標(biāo)變換，方程兩邊左乘轉(zhuǎn)置振型矩陣得模態(tài)坐標(biāo)下動力學(xué)方程形式：

[Φ*]T[K][Φ*]{q}=[Φ*]T{f(t)}

(5)

式(5)可以利用Newmark逐步積分法或杜哈梅積分進行求解，其計算結(jié)果為模態(tài)坐標(biāo)qj(t)(j=1,2,…M)，它是時間的函數(shù)，稱為模態(tài)坐標(biāo)時間歷程。

2.3模態(tài)節(jié)點力的提取及疊加

(1)轉(zhuǎn)換模態(tài)振型疊加為模態(tài)節(jié)點力的疊加

首先利用2.1節(jié)提取的模態(tài)振型，并結(jié)合2.2節(jié)求得的模態(tài)坐標(biāo)qj(t)(j=1,2,…M)時間歷程，根據(jù)線性系統(tǒng)模態(tài)疊加的思想，將模態(tài)振型疊加轉(zhuǎn)化為節(jié)點力的線性疊加[13-14]。

(6)

(7)

(8)

令模態(tài)節(jié)點力Mtj=B-1KeBφj，把式(6)、式(7)代入式(8)可轉(zhuǎn)化為：

(9)

因此，系統(tǒng)坐標(biāo)系下的節(jié)點力的時間歷程可以通過每階模態(tài)節(jié)點力Mtj與對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)時間歷程qi(t)疊加來獲得。

(2)節(jié)點力矩陣的形成

圖4　四節(jié)點對接焊縫的右半隔離體結(jié)點力分布 Fig.4 Nodal force distribution of right half isolated body in butt weld

[F(t)]=[N][Fe(t)]

(11)

(3)焊縫局部坐標(biāo)變換

系統(tǒng)坐標(biāo)系(x,y,z)下求解的焊趾處節(jié)點力矩陣{Fe}i需要變換到焊線局部坐標(biāo)下，從總體坐標(biāo)系到焊線局部坐標(biāo)的坐標(biāo)變換矩陣{T}i可以通過有限元網(wǎng)格模型的節(jié)點坐標(biāo)算出，把系統(tǒng)坐標(biāo)下的節(jié)點力向焊縫局部坐標(biāo)系(x′,y′,z′)進行變換，得到變換后的節(jié)點力矩陣{Fe′}i，焊線局部坐標(biāo)的y向始終與焊線的切線方向垂直，x方向與焊線相切(見圖5)。

圖5　曲線焊縫節(jié)點力方向坐標(biāo) Fig.5 Node force direction of curve weld line in local coordinates

(12)

{F′(t)}i={T}i{F(t)}i

(13)

2.4動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算

根據(jù)節(jié)點載荷及相鄰節(jié)點距離l，運用長度等效矩陣L(式16)進行節(jié)點載荷等效計算，將y′軸方向的節(jié)點力轉(zhuǎn)化為該方向單元邊上的線載荷fiy(t)，將x′軸方向的節(jié)點力矩轉(zhuǎn)化為該方向單元邊上的線力矩mix，線載荷fiy(t)及線力矩mix的數(shù)值對節(jié)點數(shù)量不敏感。

(14)

(15)

在已知焊趾處各節(jié)點線載荷及線力矩的情況下，采用薄板結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算公式，可以求解焊趾處各節(jié)點動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力值σs(t)。

(17)

由于坐標(biāo)變換(式(13)-(14)中的T、L及L-1矩陣只與焊線局部幾何的初始位置有關(guān)，因此在動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算過程中都是常數(shù)矩陣，d為板材厚度，也是定常數(shù)，說明節(jié)點力矩陣與結(jié)構(gòu)應(yīng)力之間存在線性關(guān)系，因此可以把3.1節(jié)的模態(tài)節(jié)點力的權(quán)值疊加進一步轉(zhuǎn)化為模態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力的權(quán)值疊加。

σs(t)=[fty`(t),mix`(t)]A=

[F′(t)][L]-1A=[T][F(t)][L]-1A=

[T][N][Fe(t)][L]-1A=

(18)

2.5主S-N曲線疲勞壽命預(yù)測

主S-N曲線法是將結(jié)構(gòu)應(yīng)力值、應(yīng)力狀態(tài)、板厚3個影響疲勞強度的主要因素統(tǒng)一為1個參量，定義為等效結(jié)構(gòu)應(yīng)力幅ΔSs(式19)，它包含了結(jié)構(gòu)應(yīng)力值、板厚、膜應(yīng)力與彎曲應(yīng)力的綜合影響。以等效結(jié)構(gòu)應(yīng)力幅ΔSs表達的S-N曲線公式分布范圍更為狹小，從而實現(xiàn)了以一條主S-N曲線評估各種不同焊接接頭疲勞壽命的方法[15]。

(19)

式中：I(r)是彎曲度比r的無量綱函數(shù)(r=Δσb/Δσs)，m=3.6，d為板厚。

通過對SS(t)進行雨流計數(shù)可以從等效結(jié)構(gòu)應(yīng)力時間歷程統(tǒng)計出不同等級的等結(jié)構(gòu)應(yīng)力變化范圍ΔSS(i)及對應(yīng)的頻次ni。

根據(jù)Miner線性損傷累積法則可以得出最終壽命計算式為[16]：

(20)

式(20)為材料的主S-N曲線，其中Cd，h為材料相關(guān)的參數(shù)，k為應(yīng)力幅劃分的等級數(shù)。

3數(shù)值計算驗證

為了進一步驗證動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算法的可行性與正確性，建立了(如圖6)典型的T型焊接接頭的算例進行驗證，其中板厚5 mm，橫板長200 mm，豎板高100 mm，寬度100 mm，載荷幅值為100 N，方向垂直與加載板面，兩端施加固定約束。分別用直接法和間接法進行結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算[17]，由于間接法不考慮加載頻率對結(jié)構(gòu)應(yīng)力的影響，所以施加靜態(tài)載荷，而直接法施加的是幅值為100 N的正弦載荷，分別計算了0.1 Hz和200 Hz兩種情況，模態(tài)阻尼比取0.02，模態(tài)截取36階，模態(tài)頻率范圍(332.7~29 208.1 Hz)，Newmark逐步積分法計算總時間為40 s，取后段穩(wěn)態(tài)響應(yīng)結(jié)果，對比兩種方法的結(jié)構(gòu)應(yīng)力幅值結(jié)果見圖8。

圖6　角接焊縫結(jié)構(gòu) Fig.6 Fillet welding structure

圖7　角接焊縫有限元模型 Fig.7 FEM model of fillet welding structure

圖8　兩種方法的結(jié)構(gòu)應(yīng)力對比 Fig.8 Fillet welding dynamic structural stress calculation (load perpendicular to the plate surface)

通過以上結(jié)角接焊縫的構(gòu)應(yīng)力對比可以看出，當(dāng)加載頻率為0.1 Hz情況下，加載頻率與結(jié)構(gòu)的最低階固有頻率相差很遠，直接法與間接法求得結(jié)果很相近；但如果加載頻率為200 Hz情況下，加載頻率與結(jié)構(gòu)的最低階固有頻率比較接近，結(jié)構(gòu)應(yīng)力幅值有了明顯提高，而間接法無法考慮共振成分，結(jié)果偏差較大，此時就體現(xiàn)出了直接法的優(yōu)點及間接法的不足。

4疲勞試驗驗證

為了驗證該直接法及間接法對焊縫疲勞開裂位置及壽命預(yù)測的準(zhǔn)確性，建立了30 t軸重敞車車體鑄造牽引梁計算模型(如圖9)。依據(jù)疲勞試驗的具體約束和外載荷邊界條件，其中載荷F=45×sin(2πft)+22.5 t，分別采用直接法與間接法計算中梁結(jié)構(gòu)關(guān)鍵焊縫之一(見圖10)結(jié)構(gòu)應(yīng)力及疲勞壽命并與試驗結(jié)果對比驗證，其中動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算載荷頻率與試驗保持一致為2Hz，模態(tài)阻尼比取0.02，采用Newmark逐步積分法計算總時間為40 s，截取部分穩(wěn)態(tài)響應(yīng)結(jié)果，而間接法施加靜態(tài)載荷，另外為了體現(xiàn)動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算法的特點，假設(shè)載荷頻率為50 Hz計算結(jié)構(gòu)應(yīng)力并預(yù)測壽命。焊縫動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)(見圖11)，結(jié)構(gòu)應(yīng)力對比(見圖12)。

圖9　中梁模擬疲勞試驗動力學(xué)模型 Fig.9 dynamic model of traction beam simulation fatigue test

首先建立有限元模型進行模態(tài)分析，一共截取66階模態(tài)其中前6階為剛體模態(tài)，約束邊界主模態(tài)和約束模態(tài)共計60階。

圖10　試驗中出現(xiàn)裂紋的對接焊縫及開裂起始位置A Fig.10 Weld crack on butt weld and initial location A in test

表1　中梁結(jié)構(gòu)主要模態(tài)

圖11　焊縫動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力隨時間變化(載荷頻率2 Hz) Fig.11 The time history of dynamic structural stress at weld line (load frequency 2 Hz)

圖12　結(jié)構(gòu)應(yīng)力對比及開裂起始位置預(yù)測 Fig.12 Structural stress compare and initial crack prediction

結(jié)構(gòu)應(yīng)力體現(xiàn)了整條焊縫焊趾處的應(yīng)力集中情況，同時也反映了焊縫中的薄弱環(huán)節(jié)，結(jié)構(gòu)應(yīng)力越大的部位越容易出現(xiàn)開裂。從圖12直接法與間接法計算結(jié)果判斷的開裂起始位置與試驗中出現(xiàn)的開裂起始位置比較接近。從圖12中載荷頻率2 Hz情況下動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力與間接法獲得的結(jié)構(gòu)應(yīng)力近似，可以看出當(dāng)載荷頻率與結(jié)構(gòu)所有的階模態(tài)頻率相差較遠，動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力法的計算結(jié)果與間接法基本一致。當(dāng)載荷頻率50 Hz時，此時載荷的頻率與結(jié)構(gòu)的最低一階模態(tài)頻率 75.62 Hz比較接近，結(jié)構(gòu)振動加劇，動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算結(jié)果有了明顯上升，而間接法無法考慮加載頻率對結(jié)構(gòu)應(yīng)力的影響，結(jié)構(gòu)應(yīng)力計算結(jié)果不變。說明動態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)力法不但繼承了間接法能夠較準(zhǔn)確預(yù)測開裂起始位置而且考慮共振對結(jié)構(gòu)應(yīng)力的影響。

利用大量鐵素體和不銹鋼焊接疲勞實驗統(tǒng)計的主S-N曲線的中值線來預(yù)測焊縫疲勞壽命[18]，其中Cd=19 930.2，h=-0.32，疲勞壽命與試驗對比見表2。

表2　焊縫壽命計算結(jié)果

表2中焊縫開裂起始位置的等效結(jié)構(gòu)應(yīng)力可以看成是結(jié)構(gòu)應(yīng)力經(jīng)放大系數(shù)放大后的結(jié)果，因此得出的疲勞壽命對比與結(jié)構(gòu)應(yīng)力對比的結(jié)論類似。當(dāng)加載頻率為2 Hz時，直接法與間接法疲勞壽命的計算結(jié)果與試驗獲得疲勞壽命結(jié)果都很接近，假設(shè)加載頻率50 Hz，則疲勞壽命明顯下降。同樣說明了直接法不但繼承了間接法能夠較準(zhǔn)確預(yù)測開裂起始位置而且考慮結(jié)構(gòu)振動對焊縫疲勞壽命的影響。雖然有些研究人員通過實驗研究過加載頻率對疲勞的影響，但只是針對母材結(jié)構(gòu)[19-20]，由于焊接結(jié)構(gòu)疲勞試驗的費用昂貴，無法獲得50 Hz加載頻率下的疲勞壽命試驗數(shù)據(jù)，50 Hz加載頻率的計算結(jié)果沒有得到驗證。

5結(jié)論

通過以上算例對比和疲勞試驗驗證可以看出，直接法不但繼承了間接法能夠較準(zhǔn)確預(yù)測開裂起始位置和焊縫疲勞壽命，而且彌補了間接法不能考慮結(jié)構(gòu)自身振動加速度對焊縫結(jié)構(gòu)應(yīng)力及疲勞壽命的影響。直接法的具體實施過程可以通過自編程序與商業(yè)軟件結(jié)合使用，可以計算大型復(fù)雜焊接結(jié)構(gòu)的疲勞壽命；與NASTRAN及ADAMS軟件結(jié)合可以把焊接結(jié)構(gòu)疲勞壽命評估的主S-N曲線法應(yīng)用到復(fù)雜的剛-柔耦合動力學(xué)模型中，實現(xiàn)動態(tài)載荷輸入與焊縫結(jié)疲勞壽命輸出的一體化集成。

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