第一作者李志農(nóng)男，博士，教授，1966年生

基于核典型相關(guān)分析的非線性相關(guān)源盲分離方法研究

李志農(nóng)，張芬，肖堯先

(南昌航空大學無損檢測技術(shù)教育部重點實驗室，南昌330063)

摘要：針對傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法的不足，提出了一種基于核典型相關(guān)分析的非線性相關(guān)源盲分離方法。該方法是利用了核方法來處理數(shù)據(jù)之間的非線性問題，同時還利用信號源之間的相關(guān)性來進行分離。提出的方法與傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法進行對比分析。仿真結(jié)果表明，提出的方法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法，并從分離性能指標上得到了充分的反映。最后，將該方法應用到轉(zhuǎn)子不對中和碰摩故障的盲分離中，實驗結(jié)果進一步驗證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：核典型相關(guān)分析；盲源分離；相關(guān)源；非線性混合

基金項目：國家自然科學基金(51075372，50775208, 51265039);江西省教育廳科技計劃項目(GJJ12405);湖南科技大學機械設備健康維護湖南省重點實驗室開放基金(201204);江西省研究生創(chuàng)新基金項目(YC2013-S214)

收稿日期：2013-11-08修改稿收到日期：2014-03-27

中圖分類號:TH17; H165+.3; TN911.7; TP206+.3文獻標志碼：A

Blind separation for nonlinear mixture of correlated sources based on kernel canonical correlation analysis

LIZhi-nong,ZHANGFen,XIAOYao-xian(Key Laboratory of Nondestructive Testing, Ministry of Education Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, China)

Abstract:Based on the deficiency in the traditional blind separation method of statistically correlated sources, a new blind separation method of nonlinear mixture from correlated sources is proposed. In the proposed method, the nonlinear problem between the data is processed using the kernel method, and the correlated sources is effectively separated using the correlation of source signals. The proposed method is compared with traditional blind separation method of statistically correlated sources. The simulation results show that the proposed method is obviously superior to the traditional blind separation method of correlated sources, and the effectiveness of separation has been fully reflected with the performance index of separation. Finally, the proposed method has been applied in blind separation of the misalignment of rotary and rotor rub-impact, the experiment results further verify the effectiveness of the proposed method.

Key words:kernel canonical correlation analysis; blind source separation; correlated sources; nonlinear mixture

在機械故障源盲分離中，同一零部件在來自不同激勵下引起的響應可能因為存在交叉的頻率成分而不滿足源信號的統(tǒng)計獨立性假設，使得各源信號具有很大的相關(guān)性。目前，現(xiàn)有的傳統(tǒng)的故障源分離方法對這些相關(guān)振源的分離無能為力，因為傳統(tǒng)的機械故障源分離方法要求源信號滿足統(tǒng)計獨立性的假設條件，而這在工程應用中往往并不滿足。

相關(guān)源信號盲分離是盲源分離領(lǐng)域一個具有挑戰(zhàn)性的問題。目前，相關(guān)源的盲分離取得了初步的成果，提出了一些有效的方法[1-5]，文獻[1]將觀測信號用小波包分解成子帶觀測信號，根據(jù)互信息標準選擇相關(guān)性較小的若干子帶觀測信號重構(gòu)觀測信號進行盲分離；文獻[2]提出了一種基于稀疏元分析的自適應相關(guān)源盲分離算法，仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性；文獻[3]利用只有一個源信號單獨存在的時刻的觀測信號矢量就是對與該源信號對應的混合矩陣的一列矢量的原理來解決統(tǒng)計相關(guān)源的盲分離問題；文獻[4]用MA模型來消除源信號的時間相關(guān)特性而達到相關(guān)源分離的目的。

然而，這些相關(guān)源盲分離方法僅僅是考慮了線性混合相關(guān)源的盲分離問題，并沒有考慮非線性混合相關(guān)源的盲分離問題。與線性相關(guān)源相比較，非線性相關(guān)源(Nonlinear correlated source)的盲分離更有意義，也更困難，因為機器結(jié)構(gòu)的復雜性和多徑效應的影響，安裝在機器上的傳感器獲得的觀測信號并不是線性混合，而是更一般的非線性混合。目前，非線性混合的故障源盲分離已經(jīng)取得一定的進展[6-11]，然而，這些非線性盲源分離算法都要求信號源是統(tǒng)計獨立分布的，而沒有考慮源信號之間的時間和空間聯(lián)系。

核典型相關(guān)分析(Kernel Canonical Correlation Analysis, KCCA)是一種將非線性信號通過映射函數(shù)映射到核特征空間中，然后，在核特征空間中利用典型相關(guān)分析進行分析。它為觀測數(shù)據(jù)之間非線性相關(guān)性的處理提供了一種有力的工具，基于此，本文將核典型相關(guān)分析引入到機械故障源分離中，提出了基于核典型相關(guān)分析的非線性相關(guān)源的盲分離方法，在提出的方法中，利用信號源之間的相關(guān)性來達到分離的目的，利用核函數(shù)來處理數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系，為了敘述方便，在此，將提出的方法簡稱為KCCA-NCBSS方法，仿真和實驗結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1KCCA-NCBSS方法

KCCA-NCBSS方法的主要思想是利用核方法解決數(shù)據(jù)之間的非線性混合問題，利用典型相關(guān)分析來解決數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性問題。該方法的基本步驟和思想如圖1所示。

圖1　KCCA-NCBSS的機械源分離方法 Fig.1 Blind separation method of mechanical sources based on the KCCA-NCBSS

從圖1中可看出，KCCA-NCBSS算法主要由兩個重要步驟組成。

第一步：利用核方法，將數(shù)據(jù)之間的非線性混合盲分離問題轉(zhuǎn)換為線性混合盲分離問題。

考慮一個M維觀測信號x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T，其非線性瞬時混合模型可以表示為[5-6]

x(t)=f(As(t))

(1)

Φ(x(t))=[Φ(x1(t)),Φ(x2(t)),…，

Φ(xM(t))]T

(2)

式中:Φ(x(t))是經(jīng)過映射后的線性混合函數(shù)。

第二步：利用典型相關(guān)分析來解決數(shù)據(jù)之間的相關(guān)源盲分離問題。

根據(jù)文獻[12]可知，要在在核特征空間中對相關(guān)振源進行盲源分離，必須分別找到Φ(x(t))和Φ(x(t+1))的最佳線性組合，使得它們之間的線性組合的自相關(guān)系數(shù)達到最大。將Φ(x(t))和Φ(x(t+1))的線性組合表示為如下所示

(3)

(4)

式中:α和β表示為所要求出的典型變量。則

(5)

式中:ρ為自相關(guān)系數(shù)，Φ=Φ(x(t))，Ψ=Φ(x(t+1))，很顯然，若在核特征空間中直接計算，則計算量將會非常大，因此，為了簡化計算過程，利用核函數(shù)來表示特征空間內(nèi)的內(nèi)積，即：

Ku=k(xi(t),xj(t))=Φ(xi(t))TΦ(xj(t))

(6)

(7)

結(jié)合式(6)和式(7)，式(5)可以表示為

(8)

(9)

式中:λα,λβ為Lagrangian系數(shù)，對式(9)中的α和β分別求導可得到

(10)

(11)

令λα=λβ=λ，代入式(10)和式(11)，可得到求解廣義特征值的形式，具體表示如下所示

(12)

求解式(12)即可求出α和β。

2仿真研究

為了驗證提出的KCCA-NCBSS方法的有效性，在此，構(gòu)造如下兩個仿真信號源：

(13)

采樣頻率為fs=1 000 Hz，采樣長度為512。顯然，源信號s1和源信號s2是相關(guān)源信號，它們的時域波形如圖2所示。

對該非線性混合信號采用KCCA-NCBSS算法進行盲源分離，得到的分離結(jié)果如圖4所示。對比圖4和圖2，可知KCCA-NCBSS算法有很好的分離效果，只是幅值的大小和相位有些不同，但這并不影響分離結(jié)果的準確性。

圖2 源信號Fig.2Sourcesignals圖3 混合信號Fig.3mixturesignals圖4 估計信號(KCCA-NCBSS方法)Fig.4Estimatedsignals(KCCA-NCBSSmethod)

為了比較，在此還采用了傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法進行分離，分離結(jié)果如圖5所示

圖5　估計信號(傳統(tǒng)方法) Fig.5 Estimated signals(traditional method)

對比圖2和圖5，很明顯，傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法的分離效果非常不理想，明顯不如KCCA-NCBSS方法，主要在于傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法只考慮線性混合，并沒有考慮非線性混合。因此，傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法對非線性相關(guān)源分離無能為力。

為了進一步比較這兩種算法的分離性能，在此選取了兩種分離性能指標進行分析，一個是PI(Performance index)和信干比(Signal to interference, SIR)。

分離性能指標參數(shù)PI可表示為

(14)

信干比(Signal Interference Ratio，SIR)表示了分離后估計信號相對于源信號所受到干擾的程度，它的定義可以表示為如下所示

(15)

圖6給出了KCCA-NCBSS算法和傳統(tǒng)的相關(guān)源分離方法在不同噪聲下的PI值。由圖6可看出，在相同的信噪比下，KCCA-NCBSS方法的PI值明顯比傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法要小很多，源信號能夠得到很好的恢復。而且隨著噪聲強度的增加， KCCA-NCBSS方法和傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法的PI值的差值越大。信號分離的效果越明顯。

1.傳統(tǒng)的線性相關(guān)源育分離方法 2.KCCA-NCBSS方法 圖6　兩種分離方法的PI值 Fig.6 Performance index of two separation methods

經(jīng)過式(15)計算可知，KCCA-NCBSS方法計算得到的信干比SIR=17.5184，而傳統(tǒng)的盲源分離方法計算所得到的信號干擾比SIR=2.2645，兩者相差將近8倍。從信干比也明顯反映出KCCA-NCBSS方法的分離效果優(yōu)于傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法。

由上分析可知，不論是從PI值來看，還是從信干比(SIR)來看，KCCA-NCBSS方法都優(yōu)于傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法。這是因為核典型相關(guān)分析是利用源信號之間的相關(guān)性來進行盲源分離，而傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法只是考慮了信號源的統(tǒng)計獨立性，并沒有考慮

信號源之間的相關(guān)性；另外，核典型相關(guān)分析考慮了數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系，而傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法只適合于線性混合，因此，KCCA-NCBSS方法在處理非線性混合的相關(guān)源的盲分離方面都具有明顯的優(yōu)勢。

3實驗研究

為了進一步驗證該方法的有效性，在此將該方法應用到轉(zhuǎn)子不對中和碰摩故障診斷中。實驗是在Bently轉(zhuǎn)子試驗臺上進行的，試驗裝置見文獻[13]，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)依據(jù)鍵相信號經(jīng)倍頻后跟蹤轉(zhuǎn)速采集振動信號，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周進行64點采樣，并以相同采樣頻率連續(xù)采8個周期，這樣，每組采集的數(shù)據(jù)長度是512。轉(zhuǎn)子不對中的特征頻率為二倍頻，常伴頻率為一倍頻和三倍頻。當不對中越嚴重時，所表現(xiàn)出的二倍頻就越大。碰摩故障的主要特征頻率為一倍頻，二倍頻等諧波分量和其他的一些分數(shù)倍頻，這兩種故障存在嚴重的相關(guān)性。當轉(zhuǎn)子不對中和碰摩故障同時存在時，在Bently轉(zhuǎn)子實驗臺上測得的兩路觀測信號如圖7所示。

采用本文提出的KCCA-NCBSS算法對該觀測信號進行分離，得到的估計信號如圖8所示，在此對估計信號進行頻率譜分析，所得的圖形如圖9所示。其中，在圖9中，1X, 2X, 3X,…分別表示1倍頻、2倍頻，3倍頻等。

由圖9(a)所示的頻率譜圖中，在一倍頻、二倍頻、三倍頻、四倍頻和五倍頻處都出現(xiàn)了峰值，其中高次諧波的峰值尤其明顯，這種頻率特征與碰摩故障的特征頻率完全吻合。由圖9(b)可看出，在一倍頻、二倍頻、三倍頻處出現(xiàn)峰值，其中表現(xiàn)為一倍頻和二倍頻最為明顯，三倍頻的峰值很小，而這些特征與不對中故障的振動特征相吻合。由此可知，本文提出的方法能比較好地處理這兩種相關(guān)振源信號。

圖7 觀測信號Fig.7Observationsignals圖8 估計信號Fig.8Estimatedsignals圖9 分離信號的功率譜Fig.9Spectrumofestimatedsignals

4結(jié)論

非線性相關(guān)源盲分離是一個多故障振源盲分離的一個難點，也是具有一個挑戰(zhàn)性的研究問題之一。針對現(xiàn)有的相關(guān)源盲分離方法存在的不足，提出了一種基于核典型相關(guān)分析的非線性相關(guān)源盲分離方法。該方法是利用核函數(shù)解決數(shù)據(jù)之間的非線性問題，利用典型相關(guān)分析來解決數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性問題。對提出的KCCA-NCBSS方法進行詳細論述，并與傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法進行對比分析。仿真研究表明，提出的方法優(yōu)于傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法，并通過分離性能指標PI和信干比(SIR)得到了充分的反映，這是因為傳統(tǒng)的相關(guān)源盲分離方法只考慮了線性混合，并沒有考慮非線性混合。最后，將提出的KCCA-NCBSS方法應用到轉(zhuǎn)子不對中和碰摩故障的盲分離中，實驗結(jié)果進一步證明了該方法的有效性。本文的研究為非線性振源盲分離提供了一種有效的方法，具有比較好的工程應用價值。

參考文獻

[1]周曉峰，楊世錫，甘春標. 相關(guān)機械振源的盲源分離方法[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(14): 60-63.

ZHOU Xiao-feng, YANG Shi-xi, GAN Chun-biao.Blind source separation of statistically correlated sources[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(14): 60-63.

[2]謝勝利, 何昭水, 傅予力. 基于稀疏元分析的欠定混疊自適應盲分離方法[J]. 中國科學E輯, 2007, 37(8): 1086-1098.

XIE Sheng-li, HE Zhao-shui, FU Yu-li.Self-adaptive blind source separation method of underdetermined mixtures based on sparse component analysis[J]. Science in China(Series E), 2007, 37(8): 1086-1098.

[3]張延良, 樓順天, 張偉濤. 用于統(tǒng)計相關(guān)源信號的盲分離方法[J]. 西安電子科技大學學報(自然科學版), 2009, 36(3): 401-405.

ZHANG Yan-liang, LOU Shun-tian, ZHANG Wei-tao. Blind source separation method applicable to dependent sources[J]. Journal of Xidian University., 2009, 36(3): 401-405.

[4]王惠剛, 梁紅, 李志舜. 具有任意分布時間相關(guān)源的盲分離自適應算法[J]. 西北工業(yè)大學學報, 2003, 21(6): 735-739.

WANG Hui-gang, LIANG Hong, LI Zhi-shun. An adaptive algorithm for blind separation of arbitrary correlated source signals[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2003, 21(6): 735-739.

[5]楊世錫, 焦衛(wèi)東, 吳昭同. 應用JADE盲分離算法分離統(tǒng)計相關(guān)源[J]. 振動工程學報, 2003, 16(4): 498-501.

YANG Shi-xi, JIAO Wei-dong, WU Zhao-tong.Application of JADE to separation of statistically correlated sources[J]. Journal of Vibration Engineering, 2003, 16(4): 498-501.

[6]安靜. 非線性盲源分離及其應用技術(shù)研究[D]. 成都：電子科技大學, 2012.

[7]范濤, 李志農(nóng), 岳秀廷. 基于變分貝葉斯算法和MLP網(wǎng)絡的后非線性混合盲源分離放假研究[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(6): 21-24.

FAN Tao, LI Zhi-nong, YUE Xiu-ting.Post-nonlinear blind separation of the source signals based on variational bayesian theory and MLP[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(6): 21-24.

[8]范濤. 基于變分貝葉斯獨立分量分析的機械故障診斷方法研究[D]. 鄭州:鄭州大學, 2009.

[9]Li Zhi-xiong, Yan Xin-ping, Tian Zhe, et al. Blind vibration component separation and nonlinear feature extraction applied to the nonstationary vibration signals for the gearbox multi-fault diagnosis[J]. Measurement, 2013，46(1): 259-271.

[10]Harmling S, Ziehe A, et al. Kernel feature spaces and nonlinear blind source separation[J].The Fifteenth Annual Neural Information Processing Systems Conference, 2002:761-768.

[11]楊杰，鄭海起，田昊,等. 基于獨立分量分析的欠定盲源分離方法[J]. 振動與沖擊, 2013，32(7)：30-33.

YANG Jie, ZHENG Hai-qi, TIAN Hao, et al. Underdetermined blind source separation method based on independent component analysis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013，32(7)：30-33.

[12]Borga M，Knutsson H. A canonical correlation approach to blind source separation[D]. Linkopings uniwersitet,2002.

[13]李志農(nóng). 時序模型盲辨識在旋轉(zhuǎn)機械故障診斷中的應用研究[D]. 杭州：浙江大學, 2002.