高東強， 楊　磊， 郭　健， 韓　昆

(1.陜西科技大學 機電工程學院， 陜西 西安　710021； 2.長安大學 工程機械學院， 陜西 西安　710064)

?

懸臂梁式微加速度計動力學分析

高東強1， 楊磊1， 郭健2， 韓昆1

(1.陜西科技大學 機電工程學院， 陜西 西安710021； 2.長安大學 工程機械學院， 陜西 西安710064)

摘要：微加速度計是MEMS的關鍵部分之一.為保證微加速度計工作時的精確性和穩(wěn)定性，對其進行動力學特性分析具有十分重要的理論意義.通過建立系統(tǒng)等效模型，再從懸臂梁的振動特性和氣動性能等兩部分進行了研究.對于振動特性，運用有限元分析軟件ANSYS Workbench進行了模態(tài)分析，得到了前六階振動頻率和振型.在諧響應分析下，得到了懸臂梁不同頻率的應力頻率響應和位移頻率響應曲線，由此確定了懸臂梁式微加速度計的頻響范圍；對于氣動性能，主要是從懸臂梁與容器壁面間隙在1～9 μm來研究懸臂梁.利用流體計算軟件FLUENT研究了懸臂梁周圍截面流場及其懸臂梁流場的變化，得到了懸臂梁周圍截面流場的壓力分布和流速分布圖，以及在不同間隙情況下懸臂梁表面的壓強分布和流速分布圖.最后得出，當間隙為5 μm時，氣體對懸臂梁的阻尼影響最小，微加速度計的量程最大，從而得出了這種懸臂梁式微加速度計的量程.

關鍵詞：MEMS； 微加速度計； 微懸臂梁； 振動特性； 氣動性能

0引言

MEMS技術的快速發(fā)展，使得其對微加速度計的性能要求越來越高.因此，對微加速度計的研究就顯得尤為重要.通常，微加速度計是測量加速度的慣性器件[1].按照傳感器原理劃分，主要有壓阻式、懸臂梁式、壓電式以及諧振式加速度計等[2].微加速度計是一個較復雜的小系統(tǒng)[3].

本文主要是對微加速度計的機械部分進行研究.它的機械部分可以等效為具有慣性質量的二階彈簧阻尼系統(tǒng).如圖1所示，梁的有效剛度為K，質量塊為M，影響動態(tài)性能的阻尼系數(shù)為D.工作時,這個懸臂梁式微加速度計的外部將測量質量塊和梁產生的位移，與此同時相應地改變了梁的內部應力，利用懸臂梁位移和應力的變化可以測量加速度.

(a)加速度計結構簡圖

(b)等效彈簧-質量-阻尼系統(tǒng)圖1　加速度計等效結構

1懸臂梁式微加速度計建模

微加速度計的種類很多，本文建立的微加速度計模型如圖2所示.其結構簡單，且靈敏度較高，同時表1給出了具體結構尺寸參數(shù).這種簡單的懸臂梁模型結構，在其表層上面同時含有檢測質量和位移的敏感元件.

圖2　懸臂梁結構

參數(shù)L/μmb/μmte/μmtp/μmd31/(pc/N)數(shù)值210300.52.02.3

圖2所示懸臂梁可認為其慣性載荷是沿著梁縱向分布，此懸臂梁式微加速度計的靈敏度變化是來自慣性載荷所引起梁的縱向變形.

在表1中，d31表示橫向壓電耦合系數(shù)，b表示梁的寬度，L表示梁的長度，tp表示彈性梁基底的厚度，te表示壓電層的厚度.

2有限元分析

懸臂梁材料選用鋁.鋁在常溫下密度ρ=2.7×103kg/m3,彈性模量E=7.2×104MPa,泊松比μ=0.33，抗拉強度是80～100 MPa，屈服強度是100～170 MPa，疲勞極限強度是32 MPa，具有很強的耐腐蝕性、密度小、質量輕等特點[4].

2.1模態(tài)分析

對梁的模態(tài)分析，包括靜模態(tài)特性分析與動模態(tài)特性分析[5]，主要研究它的固有振動頻率和振型的變化規(guī)律，以及在預應力作用下梁的振動頻率的變化規(guī)律.

依據(jù)梁在工作中的安裝情況，參照右手笛卡爾直角坐標系定則，把坐標原點O設置在梁左側面中心，X軸方向與梁長度方向一致，Y軸方向與寬度方向一致，Z軸方向與梁上下擺動平面垂直.

對梁進行邊界條件設置時，為了模擬實際工況，應對懸臂梁左側面進行位移約束.懸臂梁進行網(wǎng)格劃分后，得到了18 900個網(wǎng)格單元、97 147個節(jié)點.

2.1.1微懸臂梁的靜模態(tài)分析

根據(jù)梁的實際工況，提取前六階模態(tài)響應，其固有頻率數(shù)據(jù)如表2所示，振型圖如圖3所示.

表2　模態(tài)分析結果匯總

(a)一階

(b)二階

(c)三階

(d)四階

(e)五階

(f)六階圖3　懸臂梁前六階振型

由圖3可知，梁振動形式主要有兩種：彎曲和扭轉.第一、二、三階振型以彎曲為主，第四階以扭轉為主，第五階主要是彎曲振動，第六階為彎曲與扭轉的耦合振動.由振動理論可知，在梁振動過程中，能量主要集中在一、二階頻率處，而扭轉振動發(fā)生在高階頻率處.因此，懸臂梁的主要振動形式為彎曲振動.

2.1.2微懸臂梁的動模態(tài)分析

梁在工作過程中,受到的載荷主要是縱向載荷，則可認為所受的力為恒定載荷.此時,可以對外載荷所產生的預應力進行動頻特性分析.

由于發(fā)生振動時的各階振動形式不發(fā)生變化，振幅的大小與所給的外激勵的振動頻率有關，因此，在研究懸臂梁振動特性時，最關心的問題是梁振動頻率.通過有限元仿真，在存在預應力的情況下，求解得到動模態(tài)分析的頻率如表3所示.

表3　載荷對振動頻率的影響(單位：Hz)

表3給出了梁在不同載荷作用下，前六階動模態(tài)頻率的仿真結果.在恒定載荷10 N、20 N預應力作用下，梁的各階動模態(tài)頻率與靜頻率大小一樣；在40 N作用下，梁第六階頻率比靜頻率大1 Hz；而在100 N下，梁僅僅是在第三階的頻率比靜頻率大4 Hz、第四階的頻率比靜頻率大7 Hz、第六階的頻率比靜頻率大11 Hz.

由此可知，當載荷為10 N或者更小時，對梁的振動頻率幾乎沒有影響；在20～80 N范圍時，對梁的振動頻率影響亦很小，梁的主要振動發(fā)生在一階和二階頻率上，此時縱向外載荷對低階頻率并無影響.因此，可以得出：當懸臂梁在實際工作時，外載荷幾乎不會對梁振動頻率產生影響.

梁在靜模態(tài)分析和動模態(tài)分析中，在不同外載荷下頻率幾乎不發(fā)生變化.因為梁的長度可以影響微懸臂梁加速度計的靈敏度，那么我們假設在外載荷一定時，就可以求解出尺寸參數(shù)對頻率的影響.依次定義梁的長度L=180 um，L= 190 um，L=200 um，L= 210 um，L= 220 um，L=230 um，L=240 um等，列為方案一到方案七.利用ANSYS Workbench進行多次分析,得到了梁在不同尺寸影響下的頻率值，其結果如圖4所示.

圖4　不同尺寸參數(shù)對振動頻率的影響曲線

由圖4可知，在梁的一階頻率中，當長度尺寸為180μm時，頻率為63 879 Hz；尺寸為210μm時，頻率為46 859 Hz；尺寸為240μm時，頻率為35 833 Hz；隨著尺寸增大，頻率逐漸減小.同樣，在第二、三、四、五、六階頻率中也是一樣的.從而得出：當懸臂梁隨著尺寸的不斷減小時，其頻率不斷增大.

2.2諧響應分析

諧響應分析主要用來確定線性結構在承受持續(xù)的周期載荷時的周期性響應(諧響應).對梁進行諧響應分析，就是通過計算梁結構在周期載荷下不同頻率時的響應值(通常為應力-頻率響應和位移-頻率響應曲線)，找出曲線上的峰值點，并獲得峰值頻率對應的應力，從而為能否克服共振、疲勞等受迫振動所引起的有害影響提供依據(jù)[6].

梁的一端為全約束，對另一端施加正弦載荷，在縱向載荷力為10 N的情況下，研究其在振動頻率范圍內因受迫載荷所產生的應力響應值和位移響應值.通過分析，得出如圖5所示的應力F與頻率f的關系曲線，以及圖6所示的位移S和頻率f的關系曲線.

圖5　應力-頻率響應曲線

圖6　位移-頻率響應曲線

從圖5可看出，梁在受迫載荷作用下，當振動頻率f從16 000 Hz到48 000 Hz時，響應應力從0.44 MPa迅速上升到7.07 MPa；從48 000 Hz到64 000 Hz時，響應應力從最高點7.07 MPa急劇下降到0.36 MPa；從64 000 Hz到800 000 Hz時，響應應力基本保持在0.01～0.2 MPa范圍內.只有當頻率在288 000 Hz時,響應應力達到0.89 Mpa.

從圖6中可看出，當振動頻率f從16 000 Hz到48 000 Hz時，響應位移從0.19μm迅速上升到3.3μm；從48 000 Hz到64 000Hz時，響應位移從最高點3.3μm急劇下降到0.18μm；從64 000 Hz到800 000 Hz時，響應位移基本在0.01～0.05μm范圍內.只有當頻率在288 000 Hz時,響應位移達到0.1μm.因此，可以確定梁在受迫載荷作用下，能夠激發(fā)起的振動頻率為48 000 Hz，接近梁固有頻率中的一階頻率(46 859 Hz).

由上述分析可知，梁在受迫載荷作用下能夠激發(fā)起的振動頻率為48 000 Hz.應避開共振頻率，在頻率45 000 Hz進行分析.圖7給出了在45 000 Hz時，整個懸臂梁的應力分布圖和位移分布圖.

(a)應力云圖

(b)變形云圖圖7　在頻率45 000 Hz時懸臂梁的應力和變形

由圖7(a)可知，靠近梁左側面中間應力最大，最大值為7.67 MPa,而在梁中間大部分區(qū)域的應力值都在5.11 MPa或以下，不及鋁疲勞極限強度32 Mpa；由圖7(b)可知，梁在最右端處位移最大，其值為3.37，并且位移變化沿梁軸向從右到左逐漸變小，而在根部處幾乎沒有位移響應.因此,梁在縱向載荷為10 N、正弦周期載荷的作用下，滿足結構許用疲勞極限要求，不會發(fā)生疲勞破壞[7].

綜上所述，由模態(tài)分析可知，此懸臂梁的一階固有頻率為46 859 Hz；由諧響應分析可知，梁在最大受迫載荷作用下能夠激發(fā)起的振動頻率為48 000 Hz，即在共振時頻率值接近梁的一階固有頻率值.因此，這種懸臂梁式微加速度計的頻率響應范圍為1～45 000 Hz.

3氣動性能仿真分析

針對懸臂梁與容器壁面的間隙在1～9μm的情況下，研究了懸臂梁周圍和表面的壓力與流速兩方面的氣動性能，從而得出了其對梁的振動影響.利用FLUENT流體分析軟件進行了數(shù)值模擬分析，為最終的懸臂梁設計提供參數(shù)和理論依據(jù)[8].

本文研究的懸臂梁是在一個長為215μm，寬為40μm，高為215μm的長方體容器里面，左端是固定的，右端是自由的，里面的介質為空氣，流場的入口在懸臂梁的下端(z軸方向)，出口在上端.其三維模型如圖8所示.

圖8　懸臂梁流場的模型

3.1懸臂梁2D周圍流場仿真

采用前處理軟件GAMBIT對懸臂梁流場劃分網(wǎng)格.

(1)入口邊界：采用壓力入口條件.由于空氣是可壓縮的氣體，故選擇壓力進口，對懸臂梁計算域的壓力進口設置為160 Pa.

(2)固壁邊界：設定懸臂梁和容器壁面均為無滑移的移動壁面.

(3)出口邊界：采用壓力出口條件，且假定出口處空氣自由流動(壓力為0).

由于本文的懸臂梁在實際工作過程中，其周圍的局部空氣流動會發(fā)生湍流現(xiàn)象[9]，所以本文研究懸臂梁的數(shù)值模擬方法是建立在湍流基礎上展開的.此外，本文對懸臂梁周圍的氣動特性分析是在只考慮靜態(tài)時的繞流情況，并且是在不考慮平行移動的情況下進行，故選用Spalart-Allmaras的湍流模型[10-12].

本文對懸臂梁的氣動性能分析選用SSTk-ω湍流模型.該湍流模型是Meter F.R在Wilcox提出的k-ω模型基礎上再結合k-ε模型的優(yōu)點而發(fā)展起來的，其充分發(fā)揮了k-ω模型處理壁面約束流動和k-ε模型處理自由流的特長.

SSTk-ω兩方程模型為：

上式中:v1表示湍流運動黏度，β、γ、σk、σω表示模型參數(shù)，F(xiàn)1和F2表示混合函數(shù).

3.2懸臂梁周圍流場的壓力分布

由于懸臂梁振動幅度的一部分來自升力的影響，故升力越大，梁受到流體的阻力越大，它的振動幅度就越小.升力主要靠壓力面與吸力面的壓力差產生，壓差越大，梁升力就越大，梁的振動幅度就越小.因此,梁周圍的壓力分布決定了升力的變化.圖9給出了懸臂梁與容器壁面在不同間隙下梁周圍區(qū)域壓力分布云圖.

(a)間隙為1 μm

(b)間隙為3 μm

(c)間隙為5 μm

(d)間隙為7 μm

(e)間隙為9 μm圖9　懸臂梁周圍壓力分布

由于篇幅原因，本文只列出部分云圖.由圖9可知，梁周圍的高壓區(qū)域均分布在梁與容器壁面的間隙那一部分小區(qū)域內.并且當間隙在1～3μm范圍內時，梁的壓力面和吸力面同時增大，相應的壓力系數(shù)差也增大，此時梁能得到較大的升力系數(shù)和阻力系數(shù)；當間隙在3～9μm范圍內時，梁周圍的壓力分布情況呈現(xiàn)了相反的變化，梁的壓力面的正壓面減小.當間隙為5μm時,吸力面的壓力也出現(xiàn)減小的情況，且壓力系數(shù)差也在減小，此時梁的升力系數(shù)和阻力系數(shù)較低.故當間隙在3μm時，其振動阻尼最大.在梁根部周圍壓力最小，在梁右端周圍壓力最大，故懸臂梁從根部到右端受流體阻力逐漸變大.

3.3懸臂梁3D流場模型仿真

采用前處理軟件GAMBIT對懸臂梁流場劃分網(wǎng)格.

(1)入口邊界：采用壓力入口條件.由于空氣是可壓縮的氣體，故選擇壓力進口，對梁計算域的壓力進口設置為160 Pa.

(2)固壁邊界：設定梁和容器壁面均為無滑移的移動壁面，懸臂梁旋轉軸為Y軸，轉速大小為60 rpm，容器壁面轉速為0.

(3)出口邊界：采用壓力出口條件，且假定出口處空氣自由流動.

3.4懸臂梁表面的流速分布

(a)間隙為1 μm時懸臂梁表面流線圖

(b)間隙為1 μm時懸臂梁表面速度矢量圖

(c)間隙為3 μm時懸臂梁表面流線圖

(d)間隙為3 μm時懸臂梁表面速度矢量圖

(e)間隙為5 μm時懸臂梁表面流線圖

(f)間隙為5 μm時懸臂梁表面速度矢量圖

(g)間隙為7 μm時懸臂梁表面流線圖

(h)間隙為7 μm時懸臂梁表面速度矢量圖

(i)間隙為9 μm時懸臂梁表面流線圖

(j)間隙為9 μm時懸臂梁表面速度矢量圖圖10　懸臂梁表面流線圖與速度矢量圖

為了更清楚地了解懸臂梁表面的流速分布規(guī)律，圖10給出了懸臂梁與容器壁面間隙尺寸分別為1μm、3μm、5μm、7μm、9μm時的氣流分布圖.圖10(b)、(d)、(f)、(h)、(j)是懸臂梁在不同截面時的速度矢量圖，表示X軸與懸臂梁左端根部的距離是5μm、105μm、200μm的YZ面的截面圖，截面圖是由上到下.

從圖10(a)看出，當間隙為1μm時，梁表面的根部和中部區(qū)域的流速流線基本沒有變化，只有右端區(qū)域有小范圍大的流線，這說明梁基本上被附著流動，在右端的流動中出現(xiàn)了小部分的分離流動，隨著間隙尺寸的變大，在圖10(c)、(e)、(g)、(i)中梁表面的流線由中間向間隙處變多，分離流動越明顯.當懸臂梁振動時，使其延展向表面產生了離心力，在離心力的作用下，使梁表面氣流沿徑向間隙流動，徑向流動擴展到整個懸臂梁上.

由圖10(b)可以看出，當間隙為1μm時，三處截面的流動情況良好，且為層流；由圖10(d)、(f)、(h)、(j)可以看出，三處截面均不同程度地出現(xiàn)了渦流，漩渦最大出現(xiàn)在梁的右端，由于渦流影響流速，所以繞梁最大的速度出現(xiàn)在梁中間部位.故間

隙越大，越容易產生分離流動，并且易產生渦流，影響了流速，從而影響了懸臂梁的振動幅度.即隨著間隙的增大，對懸臂梁的振動幅度產生了遞減作用，并且這種遞減程度越來越大.綜上所述，當懸臂梁與容器壁面間隙為5μm時，氣體對懸臂梁的阻尼影響最小.

4結束語

本文建立了懸臂梁式微加速度計的實體等效模型，通過對梁結構進行模態(tài)分析，為預測結構產生破壞的位置點、共振等提供了理論基礎；同時得知，在縱向載荷預緊力下，梁受迫振動頻率和自然振動頻率幾乎一樣，以及梁的頻率隨尺寸的減小而變大，為微懸臂梁的尺寸設計對頻率影響提供了理論依據(jù)；進行了諧響應分析，得出微懸臂梁式微加速度計的頻響范圍為1～45 000 Hz.

通過FLUENT流體仿真，得到了梁與容器壁面截面間隙尺寸在1～9μm范圍內梁周圍氣動特性變化規(guī)律.梁的升力系數(shù)和阻力系數(shù)先增大后減小，在間隙為3μm時梁壓力系數(shù)最大，即繞梁的氣流壓力差最大，對梁的振動阻力最大.所以，在設計尺寸時，間隙3μm應盡量避免.隨著間隙尺寸的增大，梁整個正面壓強大于背面壓強；同時隨著間隙的變大，對梁的振動幅度產生了遞減作用，并且這種遞減程度越來越大，得出當間隙為5μm時，氣體對懸臂梁的阻尼影響最小.

參考文獻

[1] 董景新．微慣性儀表-微機械加速度計[M]．北京：清華大學出版社，2003．

[2] 李圣怡，劉宗林，吳學忠．微加速度計研究的進展[J]．國防科技大學學報，2004，26(6)：34-37．

[3] B.Saif，Ingrid De Wolf．MEMS reliability[J]．Microelectronics Reliability，2003，43(7)：1 047-1 048．

[4] 聞邦椿．機械設計手冊[M]．5版.北京：機械工業(yè)出版社，2010．

[5] 曹樹謙，張文德，蕭龍翔．振動結構模態(tài)分析—理論、實驗與應用[M]．天津：天津大學出版社，2001．

[6] 許筱玲，唐潔影．表面加工微多晶懸梁在振動載荷下的響應分析[J]．微納電子技術，2005(9)：420-424．

[7] 蘭之康，唐潔影．MEMS微梁疲勞頻率特性測試與分析[J]．功能材料與器件學報，2008，14(1)：89-92．

[8] 韓占忠．FLUENT流體工程仿真計算實例與應用[M]．北京：北京理工大學出版社，2008．

[9] 陳永輝，王強，樸明波．湍流模型的發(fā)展及其研究現(xiàn)狀[J]．能源與環(huán)境，2009(2)：4-6．

[10] Spalart P.R，Allmaras S.R.A one-equation turbulence model for aerodynamic flows[R].Washington DC:NASA AIAA 92-0439，1992.

[11] 劉景源．SST湍流模型在高超聲速繞流中的改進[J]．航空學報，2012，33(12):2 192-2 201．

[12] 任蕓，劉厚林，舒敏驊，等．考慮旋轉和曲率影響的SSTk-ω湍流模型改進[J]．農業(yè)機械學報，2012，43(11):123-128．

Dynamics analysis for cantilever of micro-accelerometer

GAO Dong-qiang1， YANG Lei1， GUO Jian2， HAN Kun1

(1.College of Mechanical and Electrical Engineering， Shaanxi University of Science & Technology， Xi′an 710021， China; 2.School of Construction Machinery, Chang′an University， Xi′an 710064， China)

Abstract:Micro-accelerometer is one of the most important part of MEMS.To ensure the accuracy and stability of the micro-accelerometer at work,the analysis of dynamic characteristics is of important theoretical significance.Establishes its equivalent model,to research the two parts of the vibration characteristics and aerodynamic performance of the cantilever.For the vibration characteristics,using the finite element analysis software ANSYS Workbench has carried on the modal analysis,obtained the first six order vibration frequency and vibration mode.Under the harmonic response analysis,it obtains the curve of beam stress frequency response and displacement frequency response of different frequency of the cantilever,it determines the frequency response range of micro-accelerometer based on this cantilever beam.For the aerodynamic performance,it mainly studies the aerodynamic performance by using the different gap of cantilever and container wall in the range of 1～9 μm,using the fluid flow calculation software FLUENT studies the aerodynamic characteristics of the cross flow and cantilever flow around the cantilever beam,and gets the graphs of pressure distribution and velocity distribution in the surrounding space under different circumstances around section flow field of cantilever beam.Finally it comes to a gap of 5 μm,the gas has the least effect for the damping of cantilever beam,and the micro-accelerometer has the most range.Thus obtained the cantilever decline range of the accelerometer.

Key words:MEMS; micro-accelerometer; micro-cantilever beam; vibration characteristics; aerodynamic performance

中圖分類號：TH7

文獻標志碼：A

文章編號：1000-5811(2015)01-0136-08

作者簡介:高東強(1960-)男，陜西咸陽人，教授，博士，研究方向:異形件CAD/CAM及快速成型、有限元分析

基金項目:陜西科技大學博士科研啟動基金項目(BJ12-13)

收稿日期:*2014-12-01