基于抽樣方法的特征值不確定度分析

萬承輝1，曹良志1，吳宏春1，祖鐵軍1,*，沈煒1,2

(1.西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安710049;

2.加拿大核安全委員會，加拿大 渥太華K1P 5S9)

摘要：核數(shù)據(jù)是反應(yīng)堆物理計算的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，研究其不確定度對反應(yīng)堆物理計算引入的不確定度，對提高反應(yīng)堆的安全性和經(jīng)濟(jì)性具有重要意義。本文基于抽樣理論研究了反應(yīng)堆物理計算不確定度分析的方法，研發(fā)了不確定度分析程序UNICORN?；贓NDF/B-Ⅶ.1評價數(shù)據(jù)庫，使用NJOY程序開發(fā)了多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫。采用UNICORN程序和多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫對三哩島燃料棒和基準(zhǔn)題RB31的k∞進(jìn)行了不確定度分析，得到核數(shù)據(jù)庫中各分反應(yīng)道截面的不確定度對k∞造成的不確定度。結(jié)果表明：238U(n,γ)截面對三哩島燃料棒k∞造成的不確定度最大，相對不確定度達(dá)0.4%左右；協(xié)方差數(shù)據(jù)庫的不同來源會對不確定度分析結(jié)果造成一定影響。

關(guān)鍵詞：不確定度分析；抽樣方法；核數(shù)據(jù)庫

中圖分類號：TL32 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2014-07-29;修回日期：2014-10-14

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(91226106)；863計劃資助項目(2013AA051402)；上海核工程研究設(shè)計院資助項目

作者簡介：萬承輝(1991—)，男，江西南昌人，碩士研究生，核科學(xué)與工程專業(yè)

doi：10.7538/yzk.2015.49.11.1954

*通信作者：祖鐵軍，E-mail: tiejun@mail.xjtu.edu.cn

Eigenvalue Uncertainty Analysis Based on Statistical Sampling Method

WAN Cheng-hui1, CAO Liang-zhi1, WU Hong-chun1, ZU Tie-jun1,*, SHEN Wei1,2

(1.SchoolofNuclearScienceandTechnology,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049,China;

2.CanadianNuclearSafetyCommission,OttawaK1P 5S9,Canada)

Abstract:The nuclear data are the basic data for reactor physics calculation. It is significant to study the contribution of their uncertainty to the uncertainty of reactor physics calculation for improving the safety and economy of reactor. Based on the ENDF/B-Ⅶ.1library, the covariance library including the variance and covariance for all the basic cross sections and all the groups was generated using the NJOY code. The uncertainty analysis code UNICORN for reactor physics calculation was developed based on the statistical sampling method. Based on the UNICORN and covariance library, the uncertainties of k∞ for Three Mile Island (TMI) lattice and RB31 benchmark, due to the uncertainty of basic cross sections, were analyzed. The results indicate that the uncertainty of 238U(n, γ) cross section is the largest uncertainty to the k∞ of TMI lattice and the relative uncertainty to the k∞ is up to about 0.4%, and different sources of covariance library effect the uncertainty of analysis result.

Key words：uncertainty analysis; statistical sampling method; nuclear library

不確定度分析可給出計算結(jié)果的分布范圍和置信度，對提高反應(yīng)堆安全性和經(jīng)濟(jì)性具有重要意義。核數(shù)據(jù)會對反應(yīng)堆燃料棒k∞計算結(jié)果引入0.4%～0.5%的不確定度[1]。近年來，國際上采用抽樣方法進(jìn)行了大量的研究，研發(fā)的程序有DINOSAUR[2]、SCALE-SS[3]和MCNP/TMC[4]等，研究內(nèi)容涉及組件計算和燃耗計算等。相比之下，國內(nèi)在該領(lǐng)域內(nèi)的研究工作與國際存在較大差距，亟需對此開展深入研究。本文擬基于抽樣理論研究反應(yīng)堆物理計算不確定度分析的方法，研發(fā)不確定度分析程序。

1不確定度分析計算模型

1.1抽樣方法計算模型

采用抽樣方法對任意多輸入多響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行不確定度分析，包括3個主要計算步驟[5]：由協(xié)方差數(shù)據(jù)描述輸入?yún)?shù)的分布；抽樣產(chǎn)生輸入?yún)?shù)的樣本空間；采用輸入?yún)?shù)樣本計算獲得對應(yīng)的響應(yīng)結(jié)果，并統(tǒng)計產(chǎn)生響應(yīng)的不確定度。任意多輸入多響應(yīng)系統(tǒng)可表示為：

(1)

其中:R=[R1,R2,…,RnR]T為響應(yīng)向量，nR為系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)；X=[x1,x2,…,xnX]T為輸入?yún)?shù)向量，nX為系統(tǒng)輸入?yún)?shù)數(shù)。

1) 描述輸入?yún)?shù)分布

為對輸入?yún)?shù)進(jìn)行抽樣，首先需確定每個輸入?yún)?shù)xi(i=1,2,…,nX)的分布空間和聯(lián)合概率密度函數(shù)。由于許多實際問題的變量均服從或近似正態(tài)分布[6]，因此，設(shè)輸入?yún)?shù)X服從維度為nX、均值向量為μ(μ=[μ1,μ2,…,μnX]T)、協(xié)方差矩陣為Σ的nX元正態(tài)分布，即X～NnX(μ,Σ)。Σ表示為：

(2)

式中，cov(xi,xj)(i,j=1,2,…,nX)為輸入?yún)?shù)xi和xj之間的協(xié)方差。均值向量μ和協(xié)方差矩陣Σ可用于確定輸入?yún)?shù)的分布空間。此時，輸入?yún)?shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)g(X)表示為：

(3)

輸入?yún)?shù)之間相互獨(dú)立，即協(xié)方差矩陣Σ的非對角元素為零的條件下，聯(lián)合概率密度函數(shù)g(X)可表示為：

(4)

由式(4)可看出，相互獨(dú)立參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于各輸入?yún)?shù)的概率密度函數(shù)的乘積。

2) 產(chǎn)生輸入?yún)?shù)計算樣本

根據(jù)輸入?yún)?shù)的分布空間和聯(lián)合概率密度函數(shù)g(X)，通過抽樣方法產(chǎn)生輸入?yún)?shù)計算樣本空間XS。在輸入?yún)?shù)X存在相關(guān)性，即不相互獨(dú)立時，直接產(chǎn)生滿足聯(lián)合概率密度函數(shù)g(X)的輸入?yún)?shù)計算樣本，需考慮具有協(xié)方差信息的輸入?yún)?shù)之間的協(xié)同變化，存在較大的技術(shù)難度。此時，可通過對相互獨(dú)立參數(shù)抽樣的方法實現(xiàn)對相關(guān)參數(shù)的抽樣[6]。設(shè)相互獨(dú)立參數(shù)為Y=[y1,y2,…,ynX]T，并服從維度為nX、均值向量為零向量、協(xié)方差矩陣為單位矩陣的nX元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Y～NnX(0,I)。對于任意獨(dú)立參數(shù)yi(i=1,2,…,nX)，均滿足yi～N(0,1)。此時，Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)表示為：

(5)

通過對相互獨(dú)立參數(shù)Y的每個參數(shù)yi(i=1,2,…,nX)進(jìn)行單獨(dú)抽樣，再組成樣本空間的方法，就可產(chǎn)生其樣本空間YS。利用相互獨(dú)立參數(shù)Y的樣本空間YS，通過如下的公式[2]即可獲得相關(guān)的輸入?yún)?shù)X的樣本空間XS：

(6)

產(chǎn)生的樣本空間XS為：

(7)

其中：nS為每個輸入?yún)?shù)抽取的樣本數(shù)；xi,j(i=1,2,…,nX；j=1,2,…,nS)為輸入?yún)?shù)xi的第j個計算樣本。樣本空間YS產(chǎn)生過程中，本文采用先進(jìn)的LHS(latin hypercube sampling)抽樣技術(shù)[7]，既保障樣本能覆蓋整個參數(shù)的分布空間，同時也保障每個樣本出現(xiàn)的概率相同，方便后續(xù)統(tǒng)計學(xué)計算分析。

3) 統(tǒng)計樣本計算結(jié)果

將式(7)所示的計算樣本空間XS作為系統(tǒng)的輸入，計算不同輸入?yún)?shù)樣本條件下的響應(yīng)結(jié)果Ri(i=1,2,…,nS)。對任意響應(yīng)Rj(j=1,2,…,nR)進(jìn)行統(tǒng)計，分別計算得到其期望和標(biāo)準(zhǔn)差信息：

(8)

(9)

其中：E(Rj)為響應(yīng)Rj(j=1,2,…,nR)的期望值；V(Rj)為響應(yīng)Rj(j=1,2,…,nR)的標(biāo)準(zhǔn)差，即響應(yīng)的不確定度。利用式(8)、(9)即可獲得響應(yīng)的不確定度，并定義標(biāo)準(zhǔn)差V(Rj)與期望值E(Rj)的比值為相對不確定度。

中子輸運(yùn)方程是一典型的多輸入多輸出的計算方程，其多群形式[8]可表示為：

(10)

式(10)中各物理量意義見文獻(xiàn)[8]。由式(10)可知，中子輸運(yùn)方程的輸入?yún)?shù)包括反應(yīng)道截面、幾何條件和材料組成等；輸出變量包括keff和通量分布等。在采用抽樣的方法研究截面的不確定度對反應(yīng)堆物理計算的keff造成的不確定度時，可將式(10)寫成如下輸入和響應(yīng)的表達(dá)形式：

(11)

即在輸入?yún)?shù)X=[σ1,σ2,…,σN]T、響應(yīng)R=[keff]T條件下，按上述抽樣方法進(jìn)行不確定度分析的計算模型完成由截面的不確定度對keff造成的不確定度的分析計算。

1.2計算流程及程序開發(fā)

根據(jù)上述基于抽樣方法的不確定度分析模型，開發(fā)了反應(yīng)堆物理計算不確定度分析程序UNICORN，計算流程如圖1所示。

圖1　UNICORN程序計算流程 Fig.1　Procedure for calculation of UNICORN code

UNICORN程序能計算(n,elas)、(n,inel)、(n,2n)、(n,α)、(n,p)、(n,γ)和(n,f)等分反應(yīng)道截面σelas、σinel、σ2n、σα、σp、σγ和σf及平均裂變中子數(shù)ν的不確定度對反應(yīng)堆物理計算結(jié)果造成的不確定度。計算所需的基礎(chǔ)計算數(shù)據(jù)包括有效自屏截面、分反應(yīng)道截面和多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫。有效自屏截面由組件計算程序DRAGON經(jīng)共振計算獲得，包括輸運(yùn)計算涉及核素的總散射截面σs、總截面σt和共振核素的共振截面等。(n,inel)、(n,2n)、(n,α)和(n,p)等分反應(yīng)道截面通過NJOY程序的輸出文件獲取，這些反應(yīng)道是閾能高于共振能量的截面，不隨稀釋截面而變化，且在輸出文件中給定的不同溫度點(diǎn)的截面大小相同。因此，這些分反應(yīng)道截面不隨稀釋截面和溫度變化，可作為常數(shù)直接用于計算。多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫采用NJOY程序基于ENDF/B-Ⅶ.1評價數(shù)據(jù)庫制作產(chǎn)生，其中包含了(n,elas)、(n,inel)、(n,2n)、(n,α)、(n,p)、(n,γ)和(n,f)等分反應(yīng)道截面及ν不同的能群之間的方差和協(xié)方差信息。

截面樣本空間通過抽樣的方法產(chǎn)生，樣本空間包含多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫中所有分反應(yīng)道截面樣本。由式(10)多群中子輸運(yùn)方程可知，輸運(yùn)計算所需的截面包括σf、σt和σs，其他的分反應(yīng)道截面在輸運(yùn)計算中未直接使用。為將分反應(yīng)道截面樣本反映到輸運(yùn)計算所需的加和截面中，需對加和截面進(jìn)行截面守恒處理[9]：

(12)

(13)

(14)

通過上述截面守恒公式，在對分反應(yīng)道截面抽樣過程中，保持加和截面的自洽守恒，用于后續(xù)的輸運(yùn)計算。

獲取輸運(yùn)計算所需的加和截面后，采用DRAGON程序完成輸運(yùn)計算，提供由輸入樣本計算獲得的keff，用于統(tǒng)計計算其不確定度。本文計算所需的有效自屏截面來自DRAGON程序的共振模塊輸出。

根據(jù)以上理論模型和計算流程，研發(fā)反應(yīng)堆物理計算不確定度分析程序UNICORN，實現(xiàn)由分反應(yīng)道截面的不確定度對輸運(yùn)計算的keff造成的不確定度的分析研究。

1.3協(xié)方差數(shù)據(jù)庫

核數(shù)據(jù)源于實驗測量和模型計算，不可避免地存在一定的偏差，即不確定度，用于描述核數(shù)據(jù)不確定度信息的協(xié)方差數(shù)據(jù)庫保存在評價數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)中，協(xié)方差數(shù)據(jù)需制作成多群的形式使用[1]。本文通過NJOY程序，基于ENDF/B-Ⅶ.1評價數(shù)據(jù)庫，研制用于反應(yīng)堆物理計算的多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫。輸運(yùn)計算采用69群WIMSD格式數(shù)據(jù)庫，相應(yīng)地，多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫也研制成69群的格式。

2數(shù)值結(jié)果及驗證

為驗證UNICORN程序的正確性，采用UNICORN程序?qū)AM(uncertainty analysis in modeling)的計算基準(zhǔn)題三哩島(TMI)燃料棒的k∞的不確定度進(jìn)行計算，并與文獻(xiàn)結(jié)果對比。同時，為進(jìn)一步驗證UNICORN程序的正確性并研究不同來源的協(xié)方差數(shù)據(jù)庫對k∞的不確定度計算的影響，對NECP實驗室基準(zhǔn)題RB31[10]的k∞進(jìn)行不確定度分析計算，計算結(jié)果與TSUNAMI程序?qū)Ρ取?/p>

2.1TMI計算結(jié)果及分析

TMI燃料棒是典型的壓水堆柵元，對其k∞的不確定度計算是UAM計算基準(zhǔn)題[2]，國際上已給出相關(guān)的研究結(jié)果。表1列出了本文和文獻(xiàn)[11]的對TMI燃料棒k∞不確定度引入較大的5種參數(shù)對的結(jié)果對比(表中的σc為俘獲截面)，表中給出的是對應(yīng)的參數(shù)對之間的協(xié)方差數(shù)據(jù)導(dǎo)致的k∞的相對不確定度。本文計算結(jié)果是在各分反應(yīng)道截面服從正態(tài)分布，且計算樣本數(shù)nS=100的計算條件下得到的。對于單個響應(yīng)計算，根據(jù)Wilks最小樣本限值理論[12]：響應(yīng)以95%的置信度覆蓋5%～95%的分布空間所需的最小樣本數(shù)為93。本文計算采用100的樣本數(shù)，計算結(jié)果的置信度高于95%。國際上采用抽樣方法對反應(yīng)堆物理計算進(jìn)行不確定度分析時，未對計算樣本的統(tǒng)計漲落進(jìn)行評價。為提高樣本計算結(jié)果的可信度，本文分別對樣本數(shù)nS=100的20個不同的樣本空間計算得到的k∞相對不確定度進(jìn)行統(tǒng)計，給出其相對不確定度[13]，量化計算樣本的統(tǒng)計漲落。

表1　TMI燃料棒 k ∞相對不確定度結(jié)果

表1中，本文的計算結(jié)果由兩部分組成：相對不確定度計算結(jié)果的期望及其標(biāo)準(zhǔn)差。表1的結(jié)果表明，本文的計算結(jié)果與文獻(xiàn)給出的計算結(jié)果符合很好，可證明本文開發(fā)的多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫及不確定度分析程序UNICORN的正確性。對比表1發(fā)現(xiàn)，本文采用抽樣方法與CASMO-4以及TSUNAMI采用微擾理論的計算結(jié)果之間存在一定的偏差，其原因主要包括兩方面：抽樣方法存在一定的統(tǒng)計漲落；微擾理論用于不確定度分析計算進(jìn)行了一階近似，而抽樣方法不存在近似。CASMO-4與TSUNAMI程序?qū)?38U核素俘獲截面的結(jié)果存在一定的偏差，文獻(xiàn)[11]給出其原因在于TSUNAMI程序采用的ENDF/B-Ⅵ的截面數(shù)據(jù)相比CASMO-4采用的E60200數(shù)據(jù)庫，238U的共振積分被低估了。

表2列出了多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫中包含的所有分反應(yīng)道截面及ν對TMI燃料棒k∞造成的相對不確定度的期望及其標(biāo)準(zhǔn)差的計算結(jié)果。其中，最大值和最小值分別表示采用以上介紹的20個不同計算樣本空間計算得到的k∞相對不確定度的最大值和最小值，期望值表示對所有計算樣本計算得到的相對不確定度進(jìn)行統(tǒng)計的均值，標(biāo)準(zhǔn)差表示不同樣本計算得到的k∞的相對不確定度的標(biāo)準(zhǔn)差，用于評價計算樣本的統(tǒng)計漲落。

表2　分反應(yīng)道截面及 ν對TMI燃料棒 k ∞相對不確定度計算結(jié)果

表2表明，在不同的計算樣本空間條件下，本文計算得到的k∞相對不確定度存在5%以內(nèi)的相對不確定度，這是對本文計算結(jié)果的統(tǒng)計漲落的量化。在計算樣本數(shù)nS=100的計算條件下，根據(jù)Wilks最小樣本限值理論，計算結(jié)果的置信度高于95%，統(tǒng)計學(xué)漲落在5%以內(nèi)，本文的計算結(jié)果具有較高的可信度。

對比表2中計算結(jié)果可知，235U和238U對計算結(jié)果引入的不確定度較大。其中，238U的(n,γ)反應(yīng)道造成的相對不確定度最大，在0.4%左右，這與國際現(xiàn)階段的研究結(jié)果[1]相符。對比燃料中16O和慢化劑中16OH2O的計算結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，閾能截面σinel和σα在燃料中較在慢化劑中對k∞造成的相對不確定度更大，這個結(jié)果符合物理本質(zhì)：燃料中的中子具有較高的能量，而慢化劑中的中子能量較低，具有閾能的截面在燃料區(qū)的影響大于其在慢化劑中的影響。表2的計算結(jié)果表明，核數(shù)據(jù)的不確定度會對反應(yīng)堆物理計算引入不可忽略的影響，需對其進(jìn)行不確定度分析計算。

2.2RB31計算結(jié)果及分析

為增加對UNICORN程序的驗證，并研究不同來源協(xié)方差數(shù)據(jù)庫對不確定度分析結(jié)果的影響，UNICORN程序采用與TMI計算相同的20個nS=100的計算樣本，對NECP實驗室基準(zhǔn)題RB31的k∞進(jìn)行不確定度分析計算，計算結(jié)果與TSUNAMI程序結(jié)果進(jìn)行對比，235U和238U對k∞造成的相對不確定度結(jié)果列于表3。

表3　 235U和 238U對RB31的 k ∞的相對不確定度

表3中UNICORN和TSUNAMI程序計算得到的235U和238U各反應(yīng)道截面及ν對k∞造成的相對不確定度的結(jié)果對比表明，除235U核素的ν外，其他反應(yīng)道截面的計算結(jié)果均吻合較好。造成這種差異的原因在于：TSUNAMI程序中，238U核素協(xié)方差數(shù)據(jù)源自ENDF/B-Ⅶ-p(ENDF/B-Ⅶ.1早期版本)評價數(shù)據(jù)庫；235U核素的ν協(xié)方差源自JENDL-3.1評價數(shù)據(jù)庫，其他截面協(xié)方差均源自ENDF/B-Ⅶ-p評價數(shù)據(jù)庫[14]。UNICORN程序計算中采用的協(xié)方差數(shù)據(jù)庫源自ENDF/B-Ⅶ.1評價數(shù)據(jù)庫，與238U和235U各反應(yīng)道截面的協(xié)方差數(shù)據(jù)庫的來源一致。為對此原因進(jìn)行驗證，基于JENDL-3.1評價數(shù)據(jù)庫，研制69群235U的ν協(xié)方差數(shù)據(jù)庫，并用于RB31k∞的相對不確定度分析計算，計算結(jié)果列于表4。

表4　 235U的 ν對RB31的 k ∞相對不確定度

表4的計算結(jié)果表明，UNICORN程序采用源自JENDL-3.1的協(xié)方差數(shù)據(jù)庫的計算結(jié)果與相同協(xié)方差數(shù)據(jù)庫來源的TSUNAMI程序的計算結(jié)果能很好吻合。因此，協(xié)方差數(shù)據(jù)庫的來源不同，是導(dǎo)致UNICORN程序和TSUNAMI程序?qū)?35U核素的ν不確定度分析結(jié)果存在較大差異的原因。同時，表4也表明，協(xié)方差數(shù)據(jù)庫的不同來源會對不確定度分析結(jié)果造成一定影響，采用不同的評價數(shù)據(jù)庫計算得到的不確定度也不同。

3結(jié)論

本文基于抽樣理論研究了用于反應(yīng)堆物理計算的不確定度分析方法，開發(fā)了反應(yīng)堆物理計算不確定度分析程序UNICORN?；贓NDF/B-Ⅶ.1數(shù)據(jù)庫開發(fā)了多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫?；诓淮_定度分析程序和多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫，對TMI燃料棒和RB31的k∞進(jìn)行不確定度分析計算，并量化計算結(jié)果的統(tǒng)計漲落。計算結(jié)果表明，本文開發(fā)的UNICORN程序是正確的，238U的(n,γ)反應(yīng)道對TMI燃料棒的k∞造成的相對不確定度最大，約0.4%，且協(xié)方差數(shù)據(jù)庫的不同來源會對不確定度分析結(jié)果造成一定的影響。

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