第一作者楊宇女，博士，教授，1971年4月生

基于LCD-Hilbert譜奇異值和QRVPMCD的滾動軸承故障診斷方法

楊宇，何知義，潘海洋，程軍圣

(湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙410082)

摘要：針對多變量預測模型的模式識別(Variable Predictive Model Based Class Discriminate，VPMCD)方法在參數(shù)估計中存在的缺陷，采用分位數(shù)回歸(Quantile Regression，QR)代替原方法中的最小二乘法進行參數(shù)估計，克服最小二乘回歸中強假設、易受異常值影響等問題，以此提高模式識別的精度。因此，提出了基于分位數(shù)回歸的多變量預測模型模式識別方法(Quantile Regression-Variable Predictive Mode Based Cass Discriminate ，QRVPMCD)。采用局部特征尺度分解(Local Characteristic-Scale Decomposition，LCD)方法對滾動軸承振動信號進行分解得到若干個單分量信號，提取單分量信號的Hilbert譜奇異值組成故障特征向量，并以此作為QRVPMCD的輸入進行滾動軸承故障診斷。對不同工作狀態(tài)和故障類型下的滾動軸承振動信號進行了分析，結果表明了該方法的有效性。

關鍵詞：QRVPMCD；LCD；Hilbert譜奇異值；滾動軸承；故障診斷

基金項目：國家自然科學基金(51175158, 51375152);湖南省自然科學基金(11JJ2026) 國家自然科學基金51108059；國家自然科學基金委創(chuàng)新研究群體基金(51121005);973項目(2015CB057704)

收稿日期：2014-01-22修改稿收到日期：2014-04-16

中圖分類號:TH113

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.020

Abstract:Targeting the defects in the parameter estimation of VPMCD (variable predictive model-based class discriminate), Quantile Regression (QR) was used for parameter estimation instead of least-square approach in the original method. The questions such as strong assumptions and easiness of being affected by the outliers in the ordinary least-square regression could be overcome by QR so as to improve the accuracy of pattern recognition. Therefore, the quantile regression-variable predictive mode based on class discriminate (QRVPMCD) was proposed. The local characteristic-scale decomposition (LCD) was used to decompose the rolling bearing vibration signal into several mono-component signals, and then the Hilbert spectrum singular values were extracted from the mono-component signals to form a fault feature vector, which was then used as input of QRVPMCD for rolling bearing fault diagnosis. The analysis results under different working conditions and different kinds of failures of roller bearings demonstrate the effectiveness of the proposed method.

Rolling bearing fault diagnosis method based on Hilbert spectrum singular values and QRVPMCD

YNAGYu,HEZhi-yi,PANHai-yang,CHENGJun-sheng(State key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082,China)

Key words:QRVPMCD; LCD; Hilbert spectrum singular value; roller bearing; fault diagnosis

滾動軸承的故障診斷實質是一個對軸承工作狀態(tài)和故障類型模式識別的過程，針對滾動軸承的故障診斷問題，已經有多種不同的模式識別方法，應用較廣泛的有神經網絡和支持向量機(Support Vector Machine，SVM)等模式識別方法，但是它們都存在一些無法克服的缺陷[1-2]。更為重要的是神經網絡和SVM都忽略了作為輸入的特征值之間的內在關系，然而在滾動軸承故障診斷中所提取的特征值之間都有一定的內在聯(lián)系。近年來，Raghuraj等提出了基于多變量預測模型的模式識別(Variable Predictive Mode Based Class Discriminate ，VPMCD)方法，該方法考慮了所提取特征值之間的內在聯(lián)系，同時還與神經網絡、支持向量機等其它模式識別方法進行了對比，結果驗證了VPMCD方法的有效性和優(yōu)越性[3-4]。

VPMCD方法是用最小二乘回歸(Ordinary Least-Square Regression，OLSR)對模型的參數(shù)進行估計，然而最小二乘回歸是建立在自變量X=x下因變量Y的條件均值與X的關系的線性模型，尤為重要的是最小二乘回歸是在強假設條件下進行的參數(shù)估計，最小二乘回歸的隨機誤差項εi之間必須互不相關且要服從正態(tài)分布同時各自方差相同，這樣必將導致最小二乘回歸容易受到自變量中一些異常值和極端值的影響。在實際滾動軸承的故障診斷中，所采集得到的數(shù)據(jù)往往出現(xiàn)有一定的異常值和極端值，導致由最小二乘回歸得到的回歸系數(shù)與理想的回歸系數(shù)存在較大偏差，進而影響VPMCD的分類效果。

分位數(shù)回歸(Quantile Regression，QR)[5]是對普通最小二乘回歸的一種改進，其根據(jù)因變量Y的條件分位數(shù)對自變量X進行回歸，得到所有分位數(shù)下的回歸模型，這樣更能精確地描述自變量X對因變量Y的變化范圍及條件分布形狀的影響，從而進行全面地分析，當數(shù)據(jù)出現(xiàn)偏態(tài)分布或者是嚴重偏態(tài)分布時也能得到滿意的結果，得到的回歸系數(shù)估計也比最小二乘回歸系數(shù)估計更穩(wěn)健。因此，本文采用分位數(shù)回歸代替最小二乘回歸，提出了基于分位數(shù)回歸的多變量預測模型模式識別方法(Quantile Regression-Variable Predictive Mode Based Class Discriminate ，QRVPMCD)。

滾動軸承故障診斷在進行模式識別前必須提取有效的特征值，當滾動軸承出現(xiàn)故障時，其振動信號往往表現(xiàn)出非平穩(wěn)、非線性等特征。時頻分析方法中局部特征尺度分解(Local Characteristic Scale Decomposition，LCD)算法[6]是一種新的基于極值點的局部特征尺度參數(shù)的自適應、非平穩(wěn)信號處理方法，它能自適應地將信號分解為一系列瞬時頻率具有物理意義的內稟尺度分量(Intrinsic Scale Component，ISC)。同時LCD算法能克服經驗模態(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)[7]中諸如過包絡、欠包絡、端點效應[8]等問題，而相比于由Mark G.Frei提出的固有時間尺度分解方法(Intrinsic Time-Scale Decomposition，ITD)[9]，LCD算法對算法本身和分解得到的ISC分量的物理意義都進行了闡述?；诖耍撐挠肔CD分解算法對原始振動信號進行分解。另外，Hilbert譜表示信號完整的時間—頻率分布，能夠準確地描述信號的幅值在整個頻率段上時間和頻率的變化規(guī)律，在故障分析中Hilbert譜包含了機械故障中非常豐富的信息；同時矩陣的奇異值是矩陣的固有特征，具有較好的穩(wěn)定性。因此論文選用Hilbert譜和奇異值分解對LCD處理后的信號進行特征提取。

綜上所述，本文將Hilbert譜奇異值和QRVPMCD應用于滾動軸承的故障診斷中。首先采用局部特征尺度分解(Local Characteristic-scale Decomposition，LCD)方法將滾動軸承的振動信號分解為若干個內稟尺度分量(Intrinsic Scale Component，ISC)；接著求取每個振動信號前幾個ISC分量的Hilbert譜，并將Hilbert譜的奇異值作為特征值來構成特征向量；最后利用QRVPMCD對所得的特征向量進行模式識別。通過實驗數(shù)據(jù)的分析，驗證了該方法的有效性，從而為滾動軸承的故障診斷提供一個新的方法。

1QRVPMCD方法原理

1.1分位數(shù)回歸

分位數(shù)回歸方法歸類于非參數(shù)檢驗，其基本思想和最小二乘回歸相同，都是設法使得所構建的方程和樣本之間的距離最短[10]。但是分位數(shù)回歸對總體不要求正態(tài)分布，減弱了隨機誤差項的正態(tài)性要求，并且分位數(shù)回歸考慮整個分布信息以及各分位點的影響。分位數(shù)回歸系數(shù)估計通過使下式完成最小值線性規(guī)劃得以完成：

(1)

1.2分位數(shù)回歸(QR)和最小二乘回歸(OLSR)仿真對比

在線性回歸分析中經常用最小二乘法進行數(shù)據(jù)的擬合運算，即是最小二乘回歸(OLSR)。Raghuraj與Lakshminarayanan提出的VPMCD方法在預測模型的訓練過程中就是采用OLSR進行參數(shù)估計，一般情況下用OLSR能得到很好的結果，但是OLSR是在基于強假設的條件下進行的參數(shù)估計。在用OLSR進行回歸估計時，它要求其隨機誤差項服從正態(tài)分布、方差相同且各不相關、同時要求與自變量之間互不相關，在這些強假設下一旦自變量數(shù)據(jù)出現(xiàn)極個別的異常值或者極端值都將很大程度上影響OLSR估計的參數(shù)，從而導致估計值與真實值出現(xiàn)較大的偏差。

分位數(shù)回歸(QR)作為最小二乘回歸(OLSR)的有效補充，它不要求在強假設條件下進行回歸分析，同時能不斷地調整分位數(shù)值得到一系列的回歸曲線，然后選取最合適的一條回歸曲線的系數(shù)作為參數(shù)估計值。

為對比QR與OLSR在自變量數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常值情況下的預測結果，本文選取在一個自變量x情況下的20組數(shù)據(jù)進行對比分析，假設兩者滿足關系式y(tǒng)=β0+β1x。當20組數(shù)據(jù)中沒有異常值情況下兩種方法擬合曲線如圖1所示。

圖1　樣本數(shù)據(jù)無異常值時兩種方法擬合曲線 Fig.1 The fitting curves of two methods when sample data is constant

從圖1中可以看出兩種方法擬合出來的曲線基本重合，為方便圖示表示，圖中只繪出了在分位數(shù)值τ取0.4、0.5和0.6三種情況下擬合得到的曲線，實際上在這種樣本數(shù)據(jù)情況下τ取0到1之間的任意值得到的擬合曲線基本重合。

當這20組樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)一個異常值或極端值時兩種方法擬合得到的曲線如圖2所示。

圖2　樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常值時兩種方法擬合曲線 Fig.2 The fitting curves of two methods when sample data has abnormal value

兩種情況下通過兩種方法分別擬合得到的系數(shù)如表1所示。

表1　兩種情況下擬合得到的系數(shù)

圖2中可以看出當同樣的樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)一個異常值時，通過OLSR擬合出來的曲線發(fā)生明顯的變化，而通過QR在分位數(shù)值τ取0.4、0.5和0.6三種情況下擬合得到的曲線基本保持不變；通過表1對比擬合得到的系數(shù)，在有無異常值兩種情況下，OLSR兩次擬合系數(shù)發(fā)生較大偏差，而QR擬合得到的系數(shù)表現(xiàn)出足夠的穩(wěn)健性。因此，在樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極個別異常值時，QR擬合不易受異常值的影響，能得到比OLSR更穩(wěn)健的擬合系數(shù)。

在上述討論中也只繪出了分位數(shù)值τ取0.4、0.5和0.6三種情況下的擬合曲線，而實際上在QR中τ的取值是0到1中的任意值，當樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)嚴重偏態(tài)分布時，τ的取值相應地發(fā)生變化，以此來得到滿意的擬合曲線。

1.3QRVPMCD模型

作為一種基于變量預測模型的模式識別方法，VPMCD充分利用作為輸入的特征值之間的內在關系來建立數(shù)學模型，通過輸入的各類樣本數(shù)據(jù)估計出模型參數(shù)，以此得到不同類別的預測模型，然后利用所得到的預測模型對所需要的測試樣本進行預測分類。

在QRVPMCD中，對于一類故障我們選取p個不同特征值X=[X1,X2,…,Xp]，利用分位數(shù)回歸估計得到的參數(shù)建立相應的數(shù)學模型(四種模型：線性模型(L)、線性交互模型(LI)、二次交互模型(QI)、二次模型(Q))，然后采用特征值Xj對Xi進行預測(其中i≠j)，得到Xi的預測模型VPMi：

Xi=f(Xj,b0,bj,bjj,bjk)+e

(2)

式中Xi稱作為被預測變量，Xj(i≠j)稱作為預測變量，e為預測誤差，b0、bj、bjj和bjk為參數(shù)模型，由分位數(shù)回歸估計得到。

QRVPMCD模型的訓練過程：

①對于g類故障分類問題，收集n個訓練樣本，每一類樣本數(shù)分別為n1,n2,…,ng，并對所有的訓練樣本提取特征值X=[X1,X2,…,Xp]。

②對任的預測變量Xi，選擇相應的模型類別、預測變量以及模型階數(shù)。其中特征值的不同也會致使所選擇的模型類別、預測變量以及模型階數(shù)各不相同。

③令k=1，對nk個第k類訓練樣本中的任意一個樣本，對每一個特征值Xi建立數(shù)學模型，則每一個特征值可以建立nk個方程，然后利用分位數(shù)回歸對這nk個方程的模型參數(shù)b0、bj、bjj和bjk進行參數(shù)估計，得到(2)中Xi的預測模型VPMi。

④令k=k+1，重復步驟③，直至k=g循環(huán)結束。

改進VPMCD模型的分類過程：

①選擇測試樣本，并提取相應的特征值X=[X1,X2,…,Xp]。

2基于Hilbert譜奇異值和QRVPMCD的滾動軸承故障診斷方法

本文基于LCD分解技術求出軸承故障振動信號的Hilbert譜的奇異值作為特征值，然后結合QRVPMCD模式識別方法來識別滾動軸承的故障，其故障識別的框圖如圖3所示。

圖3　滾動軸承故障識別框圖 Fig.3 Diagram of the rolling bearing fault diagnosis

基于Hilbert譜奇異值和QRVPMCD的滾動軸承故障診斷方法步驟如下：

①在一定的轉速下以采樣頻率fs對滾動軸承正常、外圈故障、內圈故障、滾動體故障四種狀態(tài)進行采樣，每種狀態(tài)各自采集N個樣本；

②利用LCD對采集得到的樣本信號進行分解，得到若干個ISC分量；

③求出每種狀態(tài)下各個樣本前i個ISC分量的Hilbert譜，然后求出各個Hilbert譜的奇異值組成特征向量，這樣每種狀態(tài)下就可以得到一個N×i特征向量矩陣；

⑤將每種狀態(tài)剩余的特征向量作為測試數(shù)據(jù)，用已經訓練好的預測模型對其進行狀態(tài)分類和識別。

3實驗應用分析

為了驗證論文QRVPMCD方法對滾動軸承故障診斷的實際可行性，采用湖南大學現(xiàn)場實際數(shù)據(jù)[11]，選用的滾動軸承為6307E型深溝球軸承，故障是通過激光切割在滾動軸承的內圈和外圈上開槽來模擬，槽寬為0.15 mm，槽深為0.13 mm，轉速為680 r/min，采樣率為4 096 Hz。由于實驗條件的限制，未能在滾動體上設置故障，實驗中調速電機為直流伺服電機，功率為600 W。實驗采集滾動軸承正常、外圈故障和內圈故障三種狀態(tài)下的振動信號各100組作為樣本數(shù)據(jù)。內圈故障下的滾動軸承振動信號如圖4所示，其經過LCD分解后得到的分量如圖5所示，從圖5中可以看出分解結果的前四個分量包含了原始信號的主要信息。

圖4　內圈故障狀態(tài)下滾動軸承振動信號時域波形 Fig.4 Rolling bearing vibration signal waveform in time domain of the inner ring fault condition

圖5　內圈故障狀態(tài)下的振動信號LCD分解后的分量 Fig.5 The components of vibration signal in time domain of the inner ring fault condition after LCD decomposition

首先對所采集的每個信號進行LCD分解得到若干個ISC分量，對包含主要狀態(tài)信息的前四個ISC分量求Hilbert譜，然后提取各Hilbert譜的奇異值作為特征值，分別記為X1,X2,X3,X4；依次對所有樣本作類似變換構成特征向量矩陣。然后隨機選取100個樣本中的60個樣本的特征向量作為訓練樣本，其余的40個作為測試樣本。另外，在進行故障診斷之前，采用交叉檢驗方法選取QRVPMCD中的τ值，論文中選取分位數(shù)值τ從0到1，間隔為0.05，將60個訓練樣本在K-fold cross-validation(簡稱K-CV)檢驗下得到不同識別率如圖6所示(其中K=10)。

圖6　不同分位數(shù)值下的識別率 Fig.6 Recognition rates in the different quantiles

從圖6中得出，訓練樣本在10-CV檢驗下的識別率首先隨著分位數(shù)值τ的增大而上升，在τ=0.4處有最高識別率，然后又隨著τ的增大而逐漸降低，因此在本文中選取分位數(shù)值τ=0.4。將60個訓練樣本和40個測試樣本輸入原VPMCD分類器和QRVPMCD分類器中進行訓練和測試。分別得到的識別結果如表2所示。

表2　兩種方法下滾動軸承故障診斷的識別率

由上表可以看出兩種分類方法都有較高的識別率，但QRVPMCD比原有VPMCD還是有3.33個百分點的提高。QRVPMCD在外圈故障和內圈故障下的識別率都有所提高，說明QRVPMCD和原VPMCD的預測模型發(fā)生了變化，對比兩種方法的模型及階次如表3和表4所示。

表3　VPMCD訓練得到的最佳模型類型和最佳模型階數(shù)

表4　QRVPMCD訓練得到的最佳模型類型和最佳模型階數(shù)

兩種方法中的最佳模型類型和最佳模型階數(shù)都是基于最小誤差平方和得到的，對正常狀態(tài)下在VPMCD和QRVPMCD中最佳模型類型的選擇作定量分析如表5、表6所示。

表5　正常狀態(tài)下VPMCD訓練得到的最佳模型選擇結果

表6　正常狀態(tài)下QRVPMCD訓練得到最佳模型選擇結果

從表5和表6中可以看出，兩種方法都是選取誤差平方和最小的模型作為最佳模型，其它狀態(tài)的最佳模型和最佳模型階數(shù)的選擇都是類似的過程，基于篇幅原因文中只列出這一種情況。

原VPMCD方法中通過訓練得到的都是三階二次交互模型，而QRVPMCD方法中隨著被預測變量和狀態(tài)的不同訓練得到的模型類型和模型階數(shù)都各不相同。在原VPMCD中用最小二乘回歸進行參數(shù)估計選擇的模型類型和階數(shù)都一樣致使一些具有異常值或極端值的樣本未能識別，而在QRVPMCD中用分位數(shù)回歸代替最小二乘回歸，當樣本中出現(xiàn)有偏態(tài)分布或誤差較大時能適時地改變訓練的預測模型和階數(shù)，從而得到更好的識別結果。

為更好的驗證QRVPMCD比原VPMCD能有更好的識別效果，論文分別用K-fold cross-validation(簡稱K-CV)檢驗、Jack-knife(簡稱JK)檢驗、Re-substitution(簡稱RS)檢驗對上述樣本的兩種方法進行驗證。K-fold cross-validation和Jack-knife檢驗是較為客觀和嚴格的交叉檢驗[12]，能反映算法的推廣能力；而Re-substitution檢驗能驗證算法的自相容性[13]。三種檢驗方法(其中K-CV檢驗的K=10)得到的識別率如表7所示。

表7　三種檢驗方法得到識別率

從表7中可以看出，在三種檢驗方法下兩種分類都有很高的識別率，但是QRVPMCD在三種檢驗下的識別率均要高于原VPMCD。其中RS檢驗的識別率對比說明用分位數(shù)回歸代替最小二乘回歸的QRVPMCD方法在算法的自相容性方面更優(yōu)于原VPMCD，10-CV檢驗和JK檢驗的結果說明QRVPMCD方法在算法的推廣能力方面也要好于原VPMCD。

通過上述實驗數(shù)據(jù)的對比分析，在模式識別的過程中，VPMCD方法通過最小二乘回歸進行參數(shù)估計得到相應的模型及階數(shù)；而QRVPMCD方法通過分位數(shù)回歸不斷循環(huán)改變分位數(shù)值，來選擇最佳模型及階數(shù)，同時也獲得了更高的識別率結果。在三種檢驗下對比兩種分類方法的識別結果，QRVPMCD都取得了更好的實驗效果。因此說明QRVPMVD方法能夠有效地應用于滾動軸承的故障診斷中。

4結論

針對VPMCD中最小二乘回歸在參數(shù)估計時的缺陷，本文提出QRVPMCD方法，用分位數(shù)回歸代替最小二乘回歸進行參數(shù)估計，并將QRVPMCD方法應用于滾動軸承故障診斷中，通過實驗分析得到以下結論：

(1)在振動信號的特征提取過程中，用振動信號分解所得到單分量信號的Hilbert譜奇異值作為特征值，所提取得到的Hilbert譜包含時間和頻率兩個方面的信息，能很好地包含振動信號的故障特征信息，結合奇異值分解實現(xiàn)軸承的特征提取。

(2)QRVPMCD方法用分位數(shù)回歸代替原VPMCD中的最小二乘回歸進行參數(shù)估計，克服了最小二乘回歸在樣本出現(xiàn)偏態(tài)分布、誤差較大或樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)異常值情況下難以得到較為穩(wěn)定的回歸參數(shù)的不足。

(3)三種檢驗方法對比VPMCD和QRVPMCD的識別效果驗證了QRVPMCD不僅具有非常高的識別精度，而且在自相容性、推廣性方面都要優(yōu)于原始VPMCD方法，同時也證明了QRVPMCD能夠有效地對滾動軸承工作狀態(tài)和故障類別進行模式識別。

本文對實驗振動信號作LCD分解后得到若干個ISC分量，對同一振動信號的前幾個ISC分量提取得到的Hilbert譜奇異值都具有一定的內在聯(lián)系，但是這種具體的內在聯(lián)系形式難以確定，而且這些特征值之間相互內在聯(lián)系的實際預測模型也無法得到。然而，本文的重點在于利用特征值之間的相互內在聯(lián)系來建立預測模型，從而達到模式識別的目的，這種內在聯(lián)系的具體情況并不需要知道，相應的實際模型也可以利用具體的模型來近似代替，只要達到所需要的分類精度即可。VPMCD方法和QRVPMCD方法都是在假設特征值之間存在相互內在聯(lián)系的前提下，通過訓練樣本從四種預測模型(L型、LI型、Q型和QI型)中選擇最佳預測模型，以此作為實際模型的近似模型，并通過近似模型對測試樣本進行測試，從而對滾動軸承的故障類型和工作狀態(tài)進行分類。

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