第一作者賀光宗男，博士生，講師，1980年生

一種多軸向隨機激勵下結構疲勞壽命分析方法

賀光宗1,2，陳懷海1，賀旭東1

(1.南京航空航天大學航空宇航學院，南京210016； 2. 山東理工大學交通與車輛工程學院，山東淄博255049)

摘要：提出了一種多軸向隨機激勵下結構疲勞壽命估計的頻域分析方法。首先，對結構進行頻響分析，得到在基礎加速度激勵下的應力頻響函數(shù)矩陣，通過隨機振動分析，得到結構應力的功率譜密度矩陣；其次，采用等效的Von Mises應力功率譜密度將多軸應力問題轉化為單軸應力問題；最后，利用單軸應力疲勞壽命估計的頻域分析方法對結構疲勞壽命進行估計。對一典型構件在多軸向隨機激勵下的疲勞壽命進行了計算,并與實驗結果進行了對比。另外，對構件在多軸向同時激勵與單軸分別激勵的疲勞損傷結果進行了對比分析，表明多軸向同時振動具有明顯的多軸效應，因此進行多軸向振動疲勞研究十分必要。

關鍵詞：多軸向隨機激勵；振動疲勞；壽命估計；多軸效應

基金項目：國家自然科學基金(11102083)

收稿日期：2014-01-27修改稿收到日期：2014-06-08

中圖分類號:O346.2；TH114

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.009

Abstract:A frequency domain method for fatigue life prediction of structures under multi-axial random excitations was presented. The transfer function matrix from the excitation accelerations to the response stresses was obtained through frequency response analysis. According to the random vibration theory, the PSD matrix of stress response was calculated. Then, the multi-axial stress problem was translated to a uniaxial stress problem via equivalent PSD of Von Mises stress and the uniaxial frequency domain fatigue analysis was used for the fatigue life prediction. The fatigue life of a typical component under the multi-axial random excitations was calculated and compared with the test results. In addition, the fatigue damages of the component caused by the simultaneous multi-axial and uniaxial excitation were analyzed and compared and the multi-axial effect was also analyzed. The result shows the necessity of the application of multi-axial excitations in fatigue life prediction.

Vibration fatigue life prediction method for structures under multi-axial random excitations

HEGuang-zong1,2,CHENHuai-hai1,HEXu-dong1(1. Aerospace College, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016 China；2. School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049,China)

Key words:multi-axial random excitation; vibration fatigue; fatigue life prediction; multi-axial effect

工程構件或產品在實際工作中所受的載荷一般是多軸向的，但是由于技術和試驗條件的限制，目前對工程構件或產品進行的耐久性試驗和應力篩選試驗，大多數(shù)采用單軸向依次振動的等效試驗方法[1]。對試驗對象在三個正交方向上分別依次進行單軸向振動試驗，以近似等效其所處的多軸向振動環(huán)境。兩者之間的差異通過增加振動時間或提高振動量級的方法給予補償。現(xiàn)行的標準GJB150.16A和MIL-STD-810F均采用此類方法。但是，單軸向振動試驗中增加的時間和提高的量級一般通過工程經驗確定，沒有相關的標準。另外，單軸向試驗振動方的向與結構疲勞失效的敏感方向可能不重合，導致產品通過了單軸等效耐久性試驗，卻在實際的振動環(huán)境中卻發(fā)生了疲勞失效[2]。

對于多軸向振動技術及其與單軸振動的差別越來越引起人們的重視。夏益霖等[3-4]總結了多軸振動環(huán)境試驗的發(fā)展現(xiàn)狀,并對多軸振動環(huán)境試驗的定義、基本原理、關鍵技術和解決途徑進行了討論。陳穎等[5]對典型試件進行了單、多軸隨機振動試驗。指出了單軸向振動和多軸向同時振動能引起結構的不同模態(tài)，產生不同的激發(fā)效果。對于單軸向依次振動與多軸向同時振動的疲勞問題，F(xiàn)rench等[6-7]對典型試件進行了試驗研究。試件結果表明：多軸向同時振動與單軸向依次振動疲勞試驗相比較具有明顯的多軸效應。兩種工況下試件的疲勞失效時間和失效位置均存在差異，多軸向同時振動更能導致結構疲勞失效。目前對多軸向振動引起的結構疲勞問題的研究主要集中在定性分析和試驗方面，對多軸效應的量化和理論研究較少。本文對多軸向激勵下的振動疲勞問題進行了理論分析，計算了不同激勵工況下構件的疲勞損傷，并對構件在多軸向振動激勵下的多軸效應進行了研究。

對于實際的工程構件，在多軸隨機振動環(huán)境下其應力響應一般也是多軸的，各應力分量均為隨機過程，而且是一般非比例的。目前對于多軸疲勞壽命估計的主要方法有等效應力應變法、能量法和臨界損傷平面法[8]。臨界平面法從疲勞失效機理出發(fā)建立了多軸疲勞失效模型，但是往往只適用于特定材料或載荷。等效應力應變方法將復雜的應力、應變轉化為等效應力和等效應變,利用單軸疲勞分析理論對多軸疲勞壽命進行估計。該方法計算量小，適合工程應用。本文將等效應力方法應用于多軸向激勵引起的多軸疲勞問題。利用有限元分析軟件NASTRAN對結構進行頻響分析，得到結構應力分量的頻響函數(shù)矩陣，并通過隨機振動分析得到結構的應力響應的功率譜密度矩陣；采用等效的Von Mises應力功率譜密度將多軸應力問題轉化為單軸應力問題，進而利用單軸頻域方法對結構壽命進行估計。通過對多軸向隨機激勵下的典型構件進行疲勞壽命估計,驗證了方法的可行性。

1Von Mises應力等效應力壽命估計頻域法

1.1多軸向激勵載荷譜

為了模擬實際工況的振動環(huán)境，在隨機振動試驗中一般采用基礎激勵的方式對結構進行激勵，激勵載荷譜為加速的功率譜密度。對于多軸向隨機振動試驗，其載荷譜形式為：

(1)

式中，矩陣對角線上元素為各振動方向加速度的自功率譜密度，非對角線元素為各方向互功率譜密度，并且滿足：

1.2動力學響應分析

由隨機振動理論，結構的應力響應可以由激勵和結構頻響函數(shù)得到

(2)

當系統(tǒng)的輸入為多軸向激勵時，結構某點的應力響應的功率譜密度矩陣可以表示為：

(3)

式(3)中的頻響函數(shù)矩陣為：

Hσ(f)=

(4)

式中，Hσy,x 表示結構在x向單位加速度激勵下該點應力σy的頻響函數(shù)。

將式(1)和式(4)代入式(3)即可的到應力的功率譜密度矩陣，Gσσ(f)為6×6×n矩陣，n為分析頻率點數(shù)。其中對角線元素為各應力分量的自功率譜密度，為實數(shù)；非對角線元素為各應力分量間的互功率譜密度，為復數(shù)，且關于對角線對稱的互功率譜密度間互為共軛復數(shù)。

1.3Von Mises等效應力功率譜密度的確定

Von Mises應力在三向應力狀態(tài)下定義為：

(5)

應力向量為σ=(σx,σy,σz,τxy,τxz,τyz)T，則式(5)可以表示為：

(6)

式中，A為對稱矩陣，且

對式(6)兩邊求數(shù)學期望可得應力均方值

(7)

式中，E[σσT]為應力向量的協(xié)方差矩陣，它與功率譜密度矩陣應力分量的關系為

(8)

等效Von Mises 應力過程的均方根值與其功率譜密度函數(shù)Gσeq(f)存在關系式

(9)

由式(6)~(9)可以定義等效Von Mises應力功率譜密度函數(shù)

Gσeq(f)=Trace[AGσσ(f)]

(10)

式中，等效Von Mises應力為高斯隨機過程，可以由各應力分量的功率譜密度計算得到。

1.4頻域內的疲勞壽命估計

通過式(10)得到了等效Von Mises應力功率譜密度，可以直接用于單軸疲勞壽命估計的頻域分析。其基本過程為：

由式(11)計算等效Von Mises應力功率譜密度的各階譜矩

(11)

根據(jù)Miner線性疲勞累積損傷理論，結構的疲勞

損傷為

(12)

式中，ni表示第i級應力水平下的應力循環(huán)次數(shù)；Ni表示應力水平為Si時的疲勞壽命。

對于連續(xù)應力狀態(tài)，在時間T內應力值落區(qū)間(Si-dS/2,Si+dS/2)的次數(shù)為ni=E[P]Tp(Si)dS

采用S-N曲線三參數(shù)式N(S)=Sf(S-Sae)b,因此在應力為Si時的循環(huán)次數(shù)Ni=Sf(Si-Sae)b。

則連續(xù)分布的應力狀態(tài)下時間T內的疲勞損傷為

(13)

按照Miner 線性累積損傷理論，當損傷值E[D]等于1時結構發(fā)生破壞，此時疲勞壽命為:

(14)

由式(14)可知頻域疲勞壽命損傷估計關鍵是確定應力幅值概率密度函數(shù)p(S)，目前有很多計算模型，如Tunna、Wirsching、Hancok及Chaudhury模型[9]，通過實際工程應用證明：在處理窄帶隨機過程時采用Bendat模型，處理寬帶隨機過程是采用Dirlik模型能取得更高的計算精度。其表達式為：

Bendat模型：

(15)

Dirlik模型：

(16)

式中，參數(shù)m0,D1,D1,Q,Z,R均可由式(11)確定的零階、二階和四階譜矩計算得到[10]。

2方法的應用

多軸向激勵下結構的振動疲勞分析過程如圖1所示。該方法的實現(xiàn)需要借助有限元分析軟件NASTRAN和計算軟件MATLAB。NASTRAN僅用于結構頻響函數(shù)的獲取，通過對結構進行單位加速度的基礎激勵，然后進行頻響分析實現(xiàn)。通過工程實測和數(shù)據(jù)處理得到激勵的功率譜密度矩陣Ga(f)，結合NASTRAN分析得到的頻響函數(shù)矩陣Hσ(f)數(shù)據(jù)，通過MATLAB編制程序計算結構疲勞損傷和疲勞壽命。

圖1　疲勞損傷計算流程圖 Fig.1 Flow Diagram of damage calculation

3算例分析

以文獻[7]中試驗件為分析模型，進行多軸激勵下的疲勞壽命分析。試件尺寸參數(shù)如圖2(a)所示，材料為鋁合金2024-T4。文獻[7]中將其固定于三軸向振動臺面上，進行了單軸向激勵與多軸向同時激勵下的振動疲勞實驗研究。

圖2　疲勞分析模型和計算點分布圖 Fig.2 Model and analysis point of damage calculation

在NASTRAN中對模型進行了數(shù)值建模，采用大質量法分別在固定端施加單位加速度基礎激勵，得到結構在不同激振方向上各點上應力分量與單位加速度的頻響函數(shù)。在危險面(缺口處半徑最小截面)上選取具有代表性的三點(計算點位置如圖2(b)所示)，進行了單軸或多軸同時激勵下的振動疲勞分析計算。

三軸向同時振動和單軸向振動計算中的加速度載荷譜采用相同的譜形，如圖3所示。文獻[7]中載荷譜截止頻率為85 Hz，結構一階固有頻率為86.1 Hz。在實際振動過程中隨著結構損傷的出現(xiàn)，其固有頻率會降低，使結構產生持續(xù)共振，加速結構的疲勞失效[9]?？紤]到仿真與實際問題的區(qū)別，本文計算載荷譜截止頻率提高到90 Hz，為保證振動輸入能量不變，頻帶寬度和加速功率譜密度值均與文獻[7]相同。

圖3　激勵加速度功率譜密度 Fig.3 The input accelerations PSD

計算了不同工況下等效Von Mises應力的功率譜密度，圖4為計算點2在三軸同時振動時的Von Mises 等效應力的功率譜密度。

圖4　等效Von Mises 應力功率譜密度 Fig.4 Theequivalent Von Mises stress PSD

分別計算了各點在三軸向同時激勵和單軸向激勵下的疲勞壽命，計算分析中不考慮各方向間載荷的相關性。由于Z向振動引起的應力響應很小，對結構疲勞損傷的影響可以忽略不計。計算結果如表1所示，計算分析中根據(jù)加速激勵譜的譜形特點，應力幅值概率密度函數(shù)采用Bendant窄帶模型進行疲勞壽命分析。材料的S-N曲線采用冪函數(shù)公式，在對數(shù)坐標下的表達式為lgN=14.064 0-3.774 5lg(S-173.2)[12]。

由表1可知，當試件處于三軸向同時激勵下，危險面邊緣各點的疲勞壽命基本相同，約為1 492 s。文獻[7]中三軸同時振動時的平均試驗壽命約為620 s，計算結果與試驗結果比較在2.5倍誤差以內，產生誤差的原因主要有以下幾點：首先，試驗試件在加工時可能對試件造成試驗前損傷或應力集中；其次，試件的材料與理論的連續(xù)性、均勻性和各項同性存在差別；另外，在試驗過程中振動臺的振動控制譜與參考譜不可能保持完全一致，在控制工程中會存在瞬時的沖擊。以上原因都會造成試件裂紋的加速擴展，縮短試件的疲勞失效時間。

表1　疲勞壽命與等效Von Mises應力RMS

由于Z軸振動影響可以忽略不計，由表1通過比較三軸同時激勵與 x、y軸分別激勵的等效應力的RMS值發(fā)現(xiàn)，當結構受到各軸同時激勵時各點等效應力的均方等于單軸分別激勵時各等效應力的均方和。即多軸向同時激勵時結構上各點的應力為單軸向分別激勵時應力的疊加。對于結構上一般位置，當結構受到各軸向同時激勵時其疊加應力大于單軸依次激勵時的應力。因此相對于單軸向激勵，多軸向同時激勵更容易引起結構疲勞失效。對于特殊位置，如算例中計算點1(y向振動引起的彎曲中性軸上點)，三軸同時激勵與x向單獨激勵具有相同的疲勞壽命。

表2　各計算點單位時間的疲勞損傷

另外，危險截面邊緣上的點由于處于同一圓周上，三軸向分別激勵引起的應力在疊加后具有相同的等效應力均方根值，因此在三軸同時激勵的工況下,危險截面邊緣各點有相同的疲勞壽命，均為構件的危險點。但是，在單軸向激勵時，結構的危險點僅為截面圓周與振動軸的交點(如x方向振動時計算點1)，因此結構在多軸向同時激勵與單軸向激勵下的失效位置是不同的。

由表2數(shù)據(jù)可知，多軸同時激勵時對結構造成的損傷大于各個方向分別激勵時的損傷之和。因此，不能簡單的以單軸分別激勵下的損傷的疊加來等效各軸向同時激勵時結構的實際損傷。另外，由各計算點在各軸向同時激勵損傷與單軸向分別激勵損傷的損傷比可知：結構不同位置在多軸向激勵下的多軸效應也是各不相同的。

4結論

(1)提出了結構在多軸向激勵下疲勞壽命分析的頻域分析方法，給出了該方法的計算流程。算例與實驗結果比較表明，該方法滿足工程需要。并且計算量小，具有一定工程應用價值。

(2)通過計算分析的可知，在各向激勵載荷互不相關的加載工況下，多軸同時激勵時結構上各點的應力等于單軸分別激勵時應力的疊加。因此多軸同時激勵時結構更容易引發(fā)疲勞失效。另外，在多軸同時激勵與單軸激勵下結構的失效位置一般是不同的。

(3)通過計算各點單位時間內的損傷，研究了構件受到各軸向同時激勵時的多軸效應，結果顯示，多軸同時激勵對結構上大多數(shù)的點造成的疲勞損傷大于單軸依次振動時對該點造成的疲勞損傷之和。而且對于結構上不同位置二者之間的損傷比也是不同的，即多軸向激勵下結構上各點有不同的多軸效應。因此，不能簡單的采用三軸向依次激勵的損傷疊加來等效多軸同時激勵時產生的損傷。

(4)本文計算中沒有考慮載荷譜的相關，關于載荷相關性對結構的動力響應和疲勞損傷的影響，將在今后工作中進一步研究。

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