王志強(qiáng)++齊玉錄++羅衛(wèi)星

摘 要： 本文從最小方差組合的視角，采用對(duì)比分析方法，考察了中國(guó)股市中低波動(dòng)率組合策略的績(jī)效。經(jīng)驗(yàn)研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：最小方差組合具有明顯的相對(duì)績(jī)效優(yōu)勢(shì)，最小方差組合的夏普比率不僅顯著高于相應(yīng)的等權(quán)重組合和市值加權(quán)組合的夏普比率，而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于同類指數(shù)組合的夏普比率；最小方差組合表現(xiàn)出的這種相對(duì)績(jī)效優(yōu)勢(shì)在控制價(jià)值因素后仍然存在，在控制規(guī)模因素后消失，說(shuō)明它與價(jià)值異象無(wú)關(guān)，與規(guī)模異象有關(guān)。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，采用波動(dòng)率加權(quán)的方法構(gòu)建組合無(wú)助于提升組合的績(jī)效，而簡(jiǎn)單用部分低波動(dòng)率股票構(gòu)建組合就能夠顯著提升組合的績(jī)效。

關(guān)鍵詞： 中國(guó)股市；低波動(dòng)率策略；最小方差組合；波動(dòng)率異象

中圖分類號(hào)： F83091 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

文章編號(hào)： 1000176X（2015）09003509

一、引 言

就單個(gè)股票而言，Ang等[1-2]的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)顯示，波動(dòng)率或異質(zhì)波動(dòng)率較高的股票其未來(lái)收益率較低，他們將這種負(fù)向關(guān)系稱為波動(dòng)率異象。為了降低組合換手率，Blitz和Vliet[3]采用長(zhǎng)期波動(dòng)率度量指標(biāo)代替短期波動(dòng)率度量指標(biāo)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不僅高波動(dòng)率股票具有較低的未來(lái)收益率，而且低波動(dòng)率股票具有特別高的未來(lái)收益率，并將其稱之為低波動(dòng)率效應(yīng)。

在股票組合方面，由于組合可以對(duì)單只股票的風(fēng)險(xiǎn)起到分散作用，即單只股票的波動(dòng)率不能通過線性組合構(gòu)成投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，更多的研究采用協(xié)方差矩陣作為風(fēng)險(xiǎn)的度量進(jìn)行進(jìn)一步的分析[4]。根據(jù)馬科維茨資產(chǎn)組合理論，當(dāng)給定資產(chǎn)組合的期望收益時(shí)，可以通過調(diào)整組合內(nèi)單個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重使風(fēng)險(xiǎn)最小化，但是在將該方法引入資產(chǎn)組合特質(zhì)波動(dòng)率與組合收益率研究時(shí)，存在著預(yù)期收益難以準(zhǔn)確估計(jì)和最優(yōu)權(quán)重對(duì)預(yù)期收益敏感的問題。為了解決這一問題，人們將研究的重點(diǎn)轉(zhuǎn)向具有組合權(quán)重與預(yù)期收益無(wú)關(guān)的最小方差組合。結(jié)果顯示，最小方差組合中存在波動(dòng)率異象。

對(duì)于中國(guó)股市，大部分研究結(jié)果表明中國(guó)股市中存在股票收益與其波動(dòng)率之間的負(fù)相關(guān)關(guān)系，即存在波動(dòng)率異象。然而，這些研究主要集中于個(gè)股收益與其波動(dòng)率之間的關(guān)系研究上，而對(duì)于最小方差組合的構(gòu)造也僅限于理論上的推導(dǎo)，并未給出最小方差組合的構(gòu)造方法和組合收益與風(fēng)險(xiǎn)的分析。鑒于此，本文嘗試通過構(gòu)造中國(guó)股票市場(chǎng)中最小方差組合，研究該組合是否存在波動(dòng)率異象并探討異象存在的原因。

二、相關(guān)文獻(xiàn)綜述

股票收益與其特質(zhì)波動(dòng)率之間的相關(guān)關(guān)系在理論上是有爭(zhēng)議的。Miller[5]認(rèn)為，股票的特質(zhì)波動(dòng)率越高，股票超出市場(chǎng)均衡價(jià)格的可能性和幅度越大，在賣空限制和投資者具有意見分歧的條件下，股票超出市場(chǎng)均衡價(jià)格后，樂觀者還是會(huì)買入，悲觀者卻由于做空限制而無(wú)法賣空以糾正被高估的股價(jià)，股價(jià)就會(huì)被高估，日后的收益率應(yīng)該越低，因此，股票收益與其特質(zhì)波動(dòng)率之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系。與此相反，Merton[6]從供求關(guān)系角度研究了股票收益與其特質(zhì)波動(dòng)率之間的相關(guān)性，他認(rèn)為，由于各種原因?qū)е路窍到y(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能被充分分散，故而投資者不僅對(duì)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)要求風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，同時(shí)也會(huì)對(duì)非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)要求相應(yīng)溢價(jià)，因此，股票收益與其特質(zhì)波動(dòng)率之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系。

理論上的分歧得到了很多經(jīng)驗(yàn)證據(jù)的證實(shí)。支持股票收益與其特質(zhì)波動(dòng)率之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)有：Goyal和Santa-Clara[7]以CAPM模型為判斷基準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)特質(zhì)波動(dòng)率與股票收益率之間正相關(guān)；Fu[8]采用EGARCH模型估計(jì)特質(zhì)波動(dòng)率，也得到了股票收益與其特質(zhì)波動(dòng)率之間具有明顯的正相關(guān)關(guān)系。支持股票收益與其特質(zhì)波動(dòng)率之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)有：Bali等[9]認(rèn)為Goyal和Santa-Clara的結(jié)果與其樣本選擇有關(guān)，若將樣本區(qū)間延長(zhǎng)或采用不同類的股票進(jìn)行分析，則股票收益與其特質(zhì)波動(dòng)率之間不存在正相關(guān)關(guān)系；Ang等[2]采用Fama-French三因子模型的估計(jì)殘差序列的標(biāo)準(zhǔn)差作為波動(dòng)率的度量指標(biāo)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)特質(zhì)波動(dòng)率與股票預(yù)期收益之間有顯著的負(fù)相關(guān)關(guān)系，高特質(zhì)波動(dòng)率組合未來(lái)有低收益，低特質(zhì)波動(dòng)率組合未來(lái)有高收益，并且市場(chǎng)波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性、動(dòng)量、偏度和杠桿等因素都不能解釋這一現(xiàn)象；Bali等[10]以投資者偏好彩票類股票的現(xiàn)實(shí)情況為依據(jù)，研究發(fā)現(xiàn)過去一個(gè)月中最大日收益率與股票預(yù)期收益之間存在顯著的負(fù)向相關(guān)關(guān)系，即若以最大日收益率作為波動(dòng)率的度量指標(biāo)，則波動(dòng)率與預(yù)期收益之間表現(xiàn)為負(fù)相關(guān)關(guān)系。

對(duì)于特質(zhì)波動(dòng)率之謎的檢驗(yàn)與分析，Bali和Cakici[11]從度量特質(zhì)波動(dòng)率的方法、數(shù)據(jù)頻率、形成組合的分組方式等角度檢驗(yàn)特質(zhì)波動(dòng)率之謎存在的穩(wěn)健性。Jiang等[12]研究了特質(zhì)波動(dòng)率、公司未來(lái)的利潤(rùn)沖擊、股票預(yù)期收益三者之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)特質(zhì)波動(dòng)率與公司未來(lái)的利潤(rùn)沖擊及股票預(yù)期收益之間均存在負(fù)向關(guān)系，并且特質(zhì)波動(dòng)率對(duì)收益的預(yù)測(cè)能力由未來(lái)利潤(rùn)相關(guān)的信息決定，即特質(zhì)波動(dòng)率之謎由公司選擇性的披露經(jīng)營(yíng)信息導(dǎo)致的。Huang等[13]以收益的短期反轉(zhuǎn)現(xiàn)象來(lái)分析特質(zhì)波動(dòng)率之謎，認(rèn)為月收益率的一階負(fù)自相關(guān)可能導(dǎo)致了波動(dòng)率與收益之間的負(fù)向關(guān)系。Chabi-Yo[14]利用隨機(jī)貼現(xiàn)因子解釋特質(zhì)波動(dòng)率溢價(jià)的來(lái)源，在控制了非系統(tǒng)偏斜度因子后，特質(zhì)波動(dòng)率與預(yù)期收益之間不再存在顯著的負(fù)相關(guān)關(guān)系。

對(duì)于股票組合收益率與其波動(dòng)率之間的關(guān)系，Haugen和Baker[15]的實(shí)證結(jié)果表明，按照市值加權(quán)計(jì)算的市場(chǎng)組合并非是有效的，換言之，存在一個(gè)異于市場(chǎng)組合的其它組合，在收益率相同的前提下，波動(dòng)率小于市場(chǎng)組合。Clarke等[4]用美國(guó)股票市場(chǎng)1968年1月—2005年12月的月度數(shù)據(jù)構(gòu)造最小方差組合，通過與市場(chǎng)組合（Russsll1000大盤指數(shù)）比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)最小方差組合收益略高于市場(chǎng)組合，但最小方差組合的風(fēng)險(xiǎn)（收益的標(biāo)準(zhǔn)差）卻遠(yuǎn)小于市場(chǎng)組合，約為市場(chǎng)組合的75%，這表明最小方差組合中存在波動(dòng)率異象。

對(duì)于中國(guó)股市，相關(guān)問題的研究主要集中在兩個(gè)方面：一是個(gè)股收益與其波動(dòng)率之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)分析；二是最小方差組合邊界的理論推導(dǎo)。在股票收益與其波動(dòng)率之間關(guān)系方面，多數(shù)的研究表明中國(guó)股市股票收益與其特質(zhì)波動(dòng)率之間存在明顯的負(fù)相關(guān)關(guān)系。左浩苗等[16]對(duì)中國(guó)股市特質(zhì)波動(dòng)率與橫截面收益率的關(guān)系進(jìn)行了經(jīng)驗(yàn)探討，發(fā)現(xiàn)二者存在明顯的負(fù)相關(guān)關(guān)系，但是控制了表征異質(zhì)信念的換手率后，這種負(fù)相關(guān)關(guān)系消失了。張玉龍和李怡宗[17]研究發(fā)現(xiàn)，中國(guó)市場(chǎng)中特質(zhì)波動(dòng)率與收益率存在顯著的負(fù)向關(guān)系，進(jìn)一步通過對(duì)流動(dòng)性靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)渠道的分析，發(fā)現(xiàn)流動(dòng)性是驅(qū)動(dòng)特質(zhì)波動(dòng)率與收益率負(fù)相關(guān)系的重要因素。王志強(qiáng)等[18]采用組合價(jià)差比較分析法和回歸分析方法，考察中國(guó)股票市場(chǎng)中股票收益率與其波動(dòng)率之間的關(guān)系，經(jīng)驗(yàn)證據(jù)顯示中國(guó)股票市場(chǎng)存在明顯的波動(dòng)率異象，即低波動(dòng)率的股票未來(lái)收益顯著大于高波動(dòng)率股票的未來(lái)收益，持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)達(dá)36個(gè)月，且這種波動(dòng)率異象是有別于規(guī)模、價(jià)值異象、反轉(zhuǎn)異象和換手率異象的另一種股市異象。

在最小方差組合邊界方面，朱玉旭和黃潔綱[19]從分析最小方差組合證券入手研究了均值方差有效組合證券的精確邊界，推出了N種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效均值方差組合及投資選擇數(shù)學(xué)模型。張丹松和李馨[20]則從分析最小方差組合證券集入手，研究了均值方差有效組合證券邊界的性質(zhì)，并且對(duì)有效組合證券結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了分析驗(yàn)證。蘇咪咪和葉中行[21]討論了在方差—協(xié)方差矩陣半正定條件下，馬科維茨均值—方差最優(yōu)化投資組合模型的求解問題，利用主成分分析法得到了解析解。同樣面對(duì)收益的協(xié)方差矩陣為奇異矩陣時(shí)，安中華[22]通過利用收益率的主成分和二次凸規(guī)劃的求解方法，給出了問題的解析表達(dá)式。

綜上，中國(guó)現(xiàn)有的相關(guān)研究存在以下不足：第一，僅從理論角度推導(dǎo)了最小方差組合的構(gòu)造和分析了最小方差組合的性質(zhì)，但是并沒有從經(jīng)驗(yàn)上對(duì)組合的收益率與其波動(dòng)率進(jìn)行分析，無(wú)法確認(rèn)最小方差組合的實(shí)際收益和風(fēng)險(xiǎn)。第二，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)于最小方差組合的構(gòu)造僅給出了理論的解析解，但并未給出具體的構(gòu)造方法。第三，僅考察了個(gè)股收益與其特質(zhì)波動(dòng)率或波動(dòng)率之間的相關(guān)關(guān)系，考慮到構(gòu)造組合之后會(huì)分散掉部分個(gè)股的風(fēng)險(xiǎn)，因此，現(xiàn)有的研究結(jié)論并不適用于股票組合收益與其波動(dòng)率之間關(guān)系。

三、數(shù)據(jù)與方法

1樣本選擇

本文研究所需要的數(shù)據(jù)有：A股股票的月度收益率、月初市值和賬面市值比，月度無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率和上證180指數(shù)月度收益率等數(shù)據(jù)。為了與上證180指數(shù)組合進(jìn)行比較，本文中我們選取的樣本區(qū)間為2002年7月至2014年7月。同時(shí)，為了能估計(jì)樣本股票收益的協(xié)方差矩陣，需要選擇出的股票在每個(gè)月均有之前50個(gè)月的歷史月度收益數(shù)據(jù)，因此，要剔除不滿足該數(shù)據(jù)要求的股票。其中，A股股票月度收益率、月度無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率和上證180指數(shù)月度收益率等數(shù)據(jù)來(lái)自國(guó)泰安CSMAR數(shù)據(jù)庫(kù)，而股票市值和賬面市值比財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)來(lái)自Wind數(shù)據(jù)庫(kù)。

2數(shù)據(jù)處理

樣本區(qū)間內(nèi)每個(gè)月，我們按照如下四個(gè)步驟處理相關(guān)數(shù)據(jù)：

第一步，將上市A股所有股票按照市值從大到小排序，選出市值最大的180只股票，按照市值加權(quán)構(gòu)建組合，用該組合代替市場(chǎng)組合。由于下文估計(jì)協(xié)方差矩陣需要每只股票在每個(gè)月份的超額收益率，為此我們計(jì)算每只股票的超額收益率（實(shí)際收益率-無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率）以及組合的超額收益率。

第二步，基于這180只股票的前50個(gè)月歷史超額收益率R= [rit -fit]180×50，計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣Ω=RR′。與一般意義上的樣本協(xié)方差的計(jì)算不同，這里我們沒有在每只股票的超額收益率中減去其時(shí)間序列均值，也沒有除以其樣本觀測(cè)值個(gè)數(shù)，根據(jù)French等[23]的研究結(jié)論，這種計(jì)算方法不影響最終結(jié)果。

第三步，使用主成分分析法和貝葉斯減縮法，估計(jì)樣本的調(diào)整協(xié)方差矩陣。眾所周知，構(gòu)建最小方差組合中的最優(yōu)化問題需要樣本協(xié)方差矩陣具有可逆性，但是上述方法求得的Ω并不滿足可逆性的要求，因?yàn)槭找媛视^測(cè)值個(gè)數(shù)（T=50）遠(yuǎn)小于組合中股票個(gè)數(shù)（N=180）。為此，我們需要對(duì)協(xié)方差矩陣Ω進(jìn)一步處理，使其滿足可逆性的要求。本文中，我們采用主成分分析法和貝葉斯減縮法兩種方法估計(jì)調(diào)整協(xié)方差矩陣。

第四步，將估計(jì)得出的調(diào)整協(xié)方差矩陣代入最優(yōu)化模型中，計(jì)算得到不同約束條件下最小方差組合的最優(yōu)權(quán)重。

3 協(xié)方差矩陣估計(jì)方法：主成分分析法和貝葉斯減縮法

主成分分析方法（Principal Components，PC）。本文中，我們采用Connor和Korajczyk[24]提出的漸近主成分分析方法。首先，基于T×T階的股票收益交叉乘積矩陣R′R（而非樣本協(xié)方差矩陣RR′）的特征值分解，選取K個(gè)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，構(gòu)成K×T階的因子收益矩陣F；其次，基于回歸方程R=B′F+E，估計(jì)K×N階的因子風(fēng)險(xiǎn)暴露矩陣B，并計(jì)算N×T階的殘差矩陣E；最后，基于K個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素模型計(jì)算主成分分析方法版的調(diào)整協(xié)方差矩陣ΩPC。

根據(jù)回歸分析，因子風(fēng)險(xiǎn)暴露矩陣B和殘差矩陣E分別為：

B=（FF′）-1FR′ （1）

E=R-B′F （2）

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)因素模型，主成分分析方法版的調(diào)整協(xié)方差矩陣為：

ΩPC=B′（FF′）B+diag（EE′） （3）

其中，diag（#）表示矩陣對(duì)角化函數(shù)。

本文中，我們提取的是5個(gè)主成分，即K=5，將得到的5個(gè)特征向量用于估計(jì)后續(xù)的因子收益矩陣F、因子風(fēng)險(xiǎn)暴露矩陣B和殘差矩陣E。由于K×K階的因子收益協(xié)方差矩陣FF′可逆，且殘差協(xié)方差矩陣EE′可對(duì)角化，因此，調(diào)整協(xié)方差矩陣ΩPC是可逆的。

貝葉斯減縮法（Bayesian Shrinkage，BS）。本文中，我們采用Ledoit和Wolf[25]提出的貝葉斯減縮法。首先，基于樣本協(xié)方差矩陣Ω計(jì)算貝葉斯先驗(yàn)協(xié)方差矩陣Ωprior；其次，基于最小化估計(jì)協(xié)方差矩陣（即貝葉斯先驗(yàn)協(xié)方差矩陣與樣本協(xié)方差矩陣之間的加權(quán)平均）與總體協(xié)方差矩陣之間的距離，求出貝葉斯減縮因子λ（0<λ<1）；最后，計(jì)算貝葉斯減縮方法版的調(diào)整協(xié)方差矩陣ΩBS。

貝葉斯先驗(yàn)協(xié)方差矩陣Ωprior的對(duì)角線元素與樣本協(xié)方差矩陣Ω的對(duì)角線元素一樣，其非對(duì)角線元素（i，j）由平均的樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算得出：

ΩBS（i，j）= σiiσjj =[ 2 N（N-1） ∑ N-1 i=1 ∑ N j=i+1 σij σiiσjj ] σiiσjj （4）

其中， 表示樣本相關(guān)系數(shù)ρij（i>j）的平均值，σij表示樣本協(xié)方差矩陣Ω的元素（i，j）。

經(jīng)最優(yōu)化求解，貝葉斯減縮因子λ為：

λ= SUM[SQ（R）SQ（R）′]-SUM[SQ（Ω）]/T SUM[SQ（Ω-Ωprior）] （5）

其中，SQ表示對(duì)矩陣元素求平方的矩陣函數(shù)，SUM表示矩陣元素平方和函數(shù)。

于是，貝葉斯減縮方法版的調(diào)整協(xié)方差矩陣為：

ΩBS=λΩprior+（1-λ）Ω （6）

4 最小方差組合構(gòu)建法：馬科維茨組合法

馬科維茨資產(chǎn)組合理論應(yīng)用的一個(gè)前提是在求各資產(chǎn)的權(quán)重之前需要估計(jì)資產(chǎn)的期望收益率，但是理論研究和實(shí)證研究均表明最優(yōu)權(quán)重對(duì)期望收益率預(yù)測(cè)的微小擾動(dòng)十分敏感，換言之，期望收益率的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的微小差距，會(huì)造成權(quán)重與真實(shí)值差別巨大。然而，最小方差組合處于均值方差有效前沿的最左端，具有資產(chǎn)在組合中所占的權(quán)重與其期望收益率無(wú)關(guān)的特殊性質(zhì)，因而可以保證計(jì)算出的最小方差組合具有較高的可靠性。

不允許賣空條件下的最小方差組合優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表示如下：

min x x′∑x

st x′ι=1

x≥0 （7）

其中，∑表示股票組合內(nèi)各資產(chǎn)收益間的協(xié)方差矩陣，x表示組合中各股票所占權(quán)重的縱向量，約束條件x′ι=1（ι為單位縱向量）表示各資產(chǎn)權(quán)重之和等于1，約束條件x≥0表示各資產(chǎn)權(quán)重均為非負(fù)（即不允許賣空）。

將采用主成分分析法和貝葉斯減縮法估計(jì)得到的調(diào)整協(xié)方差矩陣ΩPC和ΩBS分別替代∑，求解式（7）即可得出不允許賣空條件下的最小方差組合權(quán)重。據(jù)此，我們可以計(jì)算最小方差組合的未來(lái)收益以及收益的時(shí)間序列均值、標(biāo)準(zhǔn)差和夏普比率。

四、經(jīng)驗(yàn)結(jié)果與分析

1最小方差組合策略的收益與風(fēng)險(xiǎn)

在樣本區(qū)間內(nèi)的每個(gè)月初，我們挑選出符合數(shù)據(jù)條件的180只最大市值的股票，分別運(yùn)用主成分分析方法和貝葉斯減縮方法，估計(jì)得到調(diào)整的協(xié)方差矩陣，在此基礎(chǔ)上根據(jù)馬科維茨的投資組合模型，構(gòu)造最小方差投資組合，并計(jì)算出該組合在未來(lái)一個(gè)月超額收益率的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和夏普比率。為了便于比較和對(duì)照，我們同時(shí)計(jì)算出這180只最大市值股票的等權(quán)重組合和市值加權(quán)組合收益的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和夏普比率，以及由規(guī)模大、流動(dòng)性好、行業(yè)代表性強(qiáng)的股票構(gòu)成的上證180指數(shù)組合的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和夏普比率。具體結(jié)果如表1所示。

表1中的結(jié)果顯示，第一，180只最大市值股票組合（包括等權(quán)重和市值加權(quán)）策略的績(jī)效明顯好于上證180指數(shù)組合。180只最大市值股票組合（包括等權(quán)重和市值加權(quán)）的夏普比率（033）顯著高于上證180指數(shù)組合的夏普比率（019），夏普比率提高了74%，原因在于相對(duì)于上證180指數(shù)組合，180只最大市值股票組合的收益（等權(quán)重和市值加權(quán)分別為085%和084%）顯著提高而風(fēng)險(xiǎn)卻沒有明顯增加（保持在30%的水平）。第二，基于180只最大市值股票的最小方差組合的績(jī)效又進(jìn)一步得到提升?；?80只最大市值股票的最小方差組合（主成分分析法PC和貝葉斯減縮法BS兩種估計(jì)法下）的夏普比率（051）顯著高于180只最大市值股票組合（包括等權(quán)重和市值加權(quán)）的夏普比率（033），夏普比率提高了55%，這一績(jī)效的提高不僅是來(lái)自于收益的增加（從1020%、1010%增加到1380%、1340%），而且還來(lái)自于風(fēng)險(xiǎn)的下降（從3080%、3040%下降到2680%、2610%），盡管風(fēng)險(xiǎn)下降的幅度（大約16%）小于收益增加的幅度（大約34%）。

表1中的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果顯示的是組合在短期內(nèi)（1個(gè)月）的表現(xiàn)，下面考察組合收益和風(fēng)險(xiǎn)的長(zhǎng)期表現(xiàn)。圖1左半部分顯示了最小方差組合與市場(chǎng)組合（上證180指數(shù)）自2002年7月至2014年7月共145個(gè)月內(nèi)累計(jì)超額收益。樣本期期初，兩者的累計(jì)收益率相差不大，但是隨著時(shí)間的推移，最小方差組合的累計(jì)超額收益率逐漸高于市場(chǎng)組合，并且收益的差距呈現(xiàn)擴(kuò)大的趨勢(shì)，說(shuō)明最小方差組合的持續(xù)盈利能力是要高于市場(chǎng)組合的。

圖1 最小方差組合（實(shí)線）與市場(chǎng)組合（虛線）的累計(jì)收益率（左）和風(fēng)險(xiǎn)（右）比較

圖1左半部分顯示了最小方差組合與市場(chǎng)組合（上證180指數(shù)）在4年（48個(gè)月）內(nèi)超額收益的標(biāo)準(zhǔn)差的比較。從圖1中可以看出，最小方差組合的標(biāo)準(zhǔn)差在絕大多數(shù)月份都小于市場(chǎng)組合，而且隨著時(shí)間的推移，標(biāo)準(zhǔn)差的差距呈現(xiàn)出擴(kuò)大的趨勢(shì)，截至2014年7月，最小方差組合的標(biāo)準(zhǔn)差（5%）與市場(chǎng)組合的標(biāo)準(zhǔn)差（6%）相比降低了約17%。由此可以說(shuō)明，長(zhǎng)期內(nèi)最小方差組合的風(fēng)險(xiǎn)低于市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)。

2最小方差組合與市場(chǎng)組合的差異性分析：基于市值和價(jià)值因子的視角

眾多國(guó)內(nèi)外相關(guān)經(jīng)驗(yàn)證據(jù)顯示[26-27]，股票的異常收益主要與市值、價(jià)值（賬面市值比）和動(dòng)量三個(gè)因素有關(guān)?？紤]到中國(guó)股票市場(chǎng)并不存在月度動(dòng)量效應(yīng)[28]，因此，本文僅從市值和價(jià)值兩個(gè)方面考察最小方差組合與市場(chǎng)組合的差異性。

為了分析最小方差組合與市場(chǎng)組合的差異性，需要比較兩個(gè)股票組合的市值和賬面市值比。我們之前選擇上證180指數(shù)作為市場(chǎng)組合，但是由于該指數(shù)的成分股一直處于變動(dòng)之中，變動(dòng)周期短且幅度較大，對(duì)其市值和賬面市值比的分析較為困難，因此，我們選擇180只最大市值股票的市值加權(quán)組合作為市場(chǎng)組合的替代組合進(jìn)行分析。

首先，采用標(biāo)準(zhǔn)化賦分方法比較最小方差組合與市場(chǎng)組合在市值和賬面市值比兩個(gè)方面的差異。以市值為例，標(biāo)準(zhǔn)化賦分方法將組合的市值賦分值z(mì)score定義組合的加權(quán)市值與等權(quán)重市值之差除以組合的市值標(biāo)準(zhǔn)差，即：

zscoret= size w，t -sizea，t stdsize，t （8）

其中， sizew，t=∑ N i=1 ωi，tsizei，t 表示組合的加權(quán)平均市值， sizea，t= 1 N ∑ N i=1 sizei，t 表示組合的等權(quán)重平均市值， stdsize，t= ∑ N i=1 ωi，t（sizei，t-sizea，t）2 表示組合的市值標(biāo)準(zhǔn)差；sizei，t表示第t個(gè)月第i只股票的市值；ωi，t表示第t個(gè)月第i只股票在組合中的權(quán)重。

類似地，可以計(jì)算組合的賬面市值比的標(biāo)準(zhǔn)化賦分值。最小方差組合與市值組合的市值和賬面市值比的標(biāo)準(zhǔn)化賦分值如圖2所示。根據(jù)圖2左半部分，最小方差組合的市值小于市場(chǎng)組合的市值，最小方差組合的高收益低風(fēng)險(xiǎn)可能與其市值小于市場(chǎng)組合的市值有關(guān)，由此可以初步推斷中國(guó)股票市場(chǎng)中存在的波動(dòng)率效應(yīng)可能與規(guī)模效應(yīng)有關(guān)。根據(jù)圖2右半部分，在2008年之前最小方差組合的賬面市值比高于市場(chǎng)組合，但是在2008年之后最小方差組合的賬面市值比卻比市場(chǎng)組合小，這種大小的不一致性說(shuō)明最小方差組合的高收益低風(fēng)險(xiǎn)可能與其賬面市值比因子無(wú)關(guān)。

圖2 最小方差組合（實(shí)線）與市場(chǎng)組合（虛線）的市值賦分（左）和賬面市值比賦分（右）

其次，采用有約束最優(yōu)化方法比較最小方差組合與市場(chǎng)組合在市值和賬面市值比兩個(gè)方面的差異。為了剔除市值和賬面市值比對(duì)最小方差組合的影響，我們分別將市值約束和賬面市值比約束加入到構(gòu)造最小方差組合的優(yōu)化算法中，考察重新構(gòu)造的最小方差組合是否存在高收益低風(fēng)險(xiǎn)的波動(dòng)率異象。如果剔除某個(gè)因素之后，波動(dòng)率異象消失，則說(shuō)明波動(dòng)率異象是由該因素引起的。

加入市值或賬面市值比的約束條件之后，最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表示如下：

其中，Y′為組合中個(gè)股的市值或賬面市值比；ymarket為市場(chǎng)組合的加權(quán)平均市值或賬面市值比。

據(jù)此，我們可以構(gòu)建出市值約束和賬面市值比約束下的最小方差組合，并計(jì)算出約束條件下最小方差組合收益的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和夏普比率，具體結(jié)果如表2所示。

從表2可以看出，當(dāng)對(duì)賬面市值比進(jìn)行約束時(shí)，也就是剔除賬面市值比的影響后，最小方差組合的收益率依然明顯高于市場(chǎng)組合收益，標(biāo)準(zhǔn)差也明顯低于市場(chǎng)組合的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明了賬面市值比因素并不是波動(dòng)率異象的原因，這與上一部分得到的結(jié)論是一致的；而當(dāng)對(duì)組合進(jìn)行市值約束時(shí)，即剔除了市值因素的影響之后，最小方差組合的收益均值與標(biāo)準(zhǔn)差均略低于市場(chǎng)組合，夏普比率與市場(chǎng)組合基本一致，也就是說(shuō)，剔除市值因素之后，波動(dòng)率異象不復(fù)存在，市值因素是波動(dòng)率異象存在的主要原因，這與上一部分得到的結(jié)論也是一致的。

表2 有約束和無(wú)約束條件下最小方差組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)結(jié)果

組 合 月度收益（%） 年化收益（%）

均 值 標(biāo)準(zhǔn)差 均 值 標(biāo)準(zhǔn)差 夏普比率

180只最大市值股票市值加權(quán)組合（代替市場(chǎng)組合） 084 877 1010 3040 033

最小方差組合PC

最小方差組合BS 無(wú)約束 115 774 1380 2680 051

市值約束 065 837 780 2890 027

賬面市值比約束 109 777 1310 269 049

無(wú)約束 112 754 1340 2610 051

市值約束 073 799 880 2770 032

賬面市值比約束 103 763 1240 2640 047

3最小方差組合與低波動(dòng)率組合的比較分析

理論上，Clarke等（2011）基于一個(gè)單因素模型，推導(dǎo)得出不允許賣空條件下最小方差組合的解析解，其結(jié)果顯示是股票的市場(chǎng)

SymbolbA@ 值而不是股票的異質(zhì)波動(dòng)波決定股票在最小方差組合的權(quán)重，最小方差組合中股票的最優(yōu)權(quán)重與其市場(chǎng)

SymbolbA@ 值呈反向相關(guān)。這一結(jié)論為我們構(gòu)建低波動(dòng)率組合提供了重要思路和方法?？紤]到本文主要關(guān)注于低波動(dòng)率組合策略，以及股票的市場(chǎng)

SymbolbA@ 值與其波動(dòng)率正相關(guān)，我們采用兩種波動(dòng)率加權(quán)方法構(gòu)建部分低波動(dòng)率組合：一是用波動(dòng)率的倒數(shù)（1/標(biāo)準(zhǔn)差）的占比進(jìn)行加權(quán)；二是用市值/標(biāo)準(zhǔn)差的占比進(jìn)行加權(quán)。根據(jù)Clarke等（2011）的研究結(jié)論，理論上這種波動(dòng)率加權(quán)組合策略的績(jī)效應(yīng)該與最小方差組合策略的績(jī)效一致。

經(jīng)驗(yàn)上，王志強(qiáng)等[18]發(fā)現(xiàn)中國(guó)股票市場(chǎng)中存在非常明顯的波動(dòng)率異象，即低波動(dòng)率股票的未來(lái)收益顯著大于高波動(dòng)率股票的未來(lái)收益。因此，采用部分低波動(dòng)率股票構(gòu)建的低波波動(dòng)組合相對(duì)于全部股票構(gòu)建的組合應(yīng)該具有更優(yōu)的績(jī)效。為了便于比較和對(duì)照，我們從180只最大市值股票中選出90只低波動(dòng)率股票，用三種方法構(gòu)建低波動(dòng)率組合：一是等權(quán)重組合；二是波動(dòng)率倒數(shù)加權(quán)組合；三是市值/標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)組合。

表3中的結(jié)果顯示，第一，相對(duì)于等權(quán)重組合和市值加權(quán)組合而言波動(dòng)率加權(quán)組合的績(jī)效沒有顯著提升。兩個(gè)180只最大市值股票波動(dòng)率加權(quán)組合的夏普比率分別為037和032，而180只最大市值股票等權(quán)重組合和市值加權(quán)組合的夏普比率都是033，兩者之間沒有明顯差異；兩個(gè)90只小波動(dòng)率股票波動(dòng)率加權(quán)組合的夏普比率分別為050和047，而90只小波動(dòng)率股票等權(quán)重組合的夏普比率分別為049，兩者之間也沒有明顯差異。第二，相對(duì)于等權(quán)重組合和市值加權(quán)組合而言部分低波動(dòng)率股票組合的績(jī)效有顯著提升。相對(duì)于180只最大市值股票等權(quán)重組合，90只小波動(dòng)率股票等權(quán)重組合的夏普比率提升了48%（從033提高到049），基本上接近于180只最大市值股票最小方差組合的夏普比率051。

五、總結(jié)與討論

針對(duì)當(dāng)股票個(gè)數(shù)大于收益率觀測(cè)個(gè)數(shù)時(shí)樣本協(xié)方差矩陣奇異的現(xiàn)實(shí)問題，首先，本文分別運(yùn)用主成分分析法和貝葉斯減縮法估計(jì)出調(diào)整的樣本協(xié)方差矩陣，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建最小方差組合；其次，通過對(duì)比分析，分別比較了最小方差組合與市場(chǎng)組合（包括等權(quán)重組合和市值加權(quán)組合）、指數(shù)組合（上證180指數(shù)組合）在收益和風(fēng)險(xiǎn)方面的差異性，并分別采用標(biāo)準(zhǔn)化賦分方法和有約束最優(yōu)化方法，探討了最小方差組合的績(jī)效優(yōu)勢(shì)來(lái)源；最后，采用比較分析方法，考察了波動(dòng)率加權(quán)組合策略和部分低波動(dòng)率股票組合策略與最小方差組合策略的績(jī)效差異性。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

第一，最小方差組合具有明顯的相對(duì)績(jī)效優(yōu)勢(shì)，最小方差組合的夏普比率不僅顯著高于相應(yīng)的等權(quán)重組合和市值加權(quán)組合的夏普比率，而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于同類指數(shù)組合（上證180指數(shù)組合）的夏普比率。這一結(jié)果與Clarke等[4]得到的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)一致，它表明中國(guó)股市中最小方差組合表現(xiàn)出一定的波動(dòng)率效應(yīng)。因此，本文的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果與該馬科維茨的投資組合理論相悖，不支持股票組合的收益與其風(fēng)險(xiǎn)具有正相關(guān)關(guān)系的結(jié)論。

第二，最小方差組合的相對(duì)績(jī)效優(yōu)勢(shì)與規(guī)模異象有關(guān)。在控制價(jià)值因素后最小方差組合的夏普比率仍然相對(duì)較高，在控制規(guī)模因素后最小方差組合的相對(duì)較高的夏普比率不復(fù)存在，這說(shuō)明最小方差組合表現(xiàn)出的波動(dòng)率異象與價(jià)值異象無(wú)關(guān)，與規(guī)模異象有關(guān)。這一結(jié)果與Clarke等[4]得到的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)不完全一致。Clarke等[4]的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)顯示，最小方差組合的高夏普比率與價(jià)值異象和規(guī)模異象有關(guān)，在控制價(jià)值因素和控制規(guī)模因素后最小方差組合的夏普比率有所下降，但是仍然高于市場(chǎng)組合（市值加權(quán)組合）的夏普比率，說(shuō)明美國(guó)股市中最小方差組合表現(xiàn)出的波動(dòng)率異象不完全由價(jià)值異象和規(guī)模異象解釋。我們認(rèn)為，中國(guó)股市中最小方差組合表現(xiàn)出的波動(dòng)率異象與價(jià)值異象無(wú)關(guān)、與規(guī)模異象有關(guān)可以理解，因?yàn)楹芏嘟?jīng)驗(yàn)證據(jù)顯示價(jià)值因素對(duì)股票收益的影響作用很小、規(guī)模因素對(duì)股票收益的影響作用很大； 但是中國(guó)股市中最小方差組合表現(xiàn)出的波動(dòng)率異象是否能夠完全被規(guī)模異象解釋還需要進(jìn)一步深入仔細(xì)研究。

第三，波動(dòng)率加權(quán)無(wú)助于提升組合的績(jī)效，而部分低波動(dòng)率股票組合能夠顯著提升組合的績(jī)效。波動(dòng)率加權(quán)沒有提升組合的夏普比率，說(shuō)明我們的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)不支持Clarke等[4]的理論結(jié)論，其原因是否在于波動(dòng)率不能替代市場(chǎng)

SymbolbA@ 值，有待進(jìn)一步研究；部分低波動(dòng)率股票組合能夠顯著提升組合的夏普比率，且與全部樣本股票的最小方差組合的夏普比率較為接近，這與王志強(qiáng)等[18]得到的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)較為一致?？紤]到最小方差組合的構(gòu)建存在協(xié)方差矩陣估計(jì)困難、最小方差組合面臨較大的各種風(fēng)險(xiǎn)因素等問題，我們建議，構(gòu)建低波動(dòng)率股票組合代替最小方差組合在可操作性方面更具有現(xiàn)實(shí)性。

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（責(zé)任編輯：孟 耀）