李傳亮　王孟豪

(1.貴州省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院股份有限公司　貴陽　550081;　2.河南世紀(jì)博通工程咨詢有限公司　鄭州　450000)

精細(xì)積分法在結(jié)構(gòu)碰撞中的應(yīng)用研究

李傳亮1王孟豪2

(1.貴州省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院股份有限公司貴陽550081;2.河南世紀(jì)博通工程咨詢有限公司鄭州450000)

摘要地震會(huì)引起相鄰結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)損傷甚至倒塌。為更準(zhǔn)確研究結(jié)構(gòu)的碰撞問題及影響，文中將精細(xì)積分算法用于結(jié)構(gòu)碰撞的求解中，并進(jìn)行了公式推導(dǎo)和算例驗(yàn)證。結(jié)果表明，精細(xì)積分法對(duì)于結(jié)構(gòu)的碰撞問題是適用的，并有無條件穩(wěn)定、精度高和受時(shí)間步長(zhǎng)限制小的優(yōu)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞結(jié)構(gòu)碰撞力學(xué)模型精細(xì)積分法積分步長(zhǎng)

地面上相鄰的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性若存在差異，在地震發(fā)生時(shí)會(huì)引起兩結(jié)構(gòu)的不同步振動(dòng)[1-2]，從而導(dǎo)致碰撞，碰撞會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)造成一定的損害[3]。對(duì)于地震作用引起的結(jié)構(gòu)碰撞，碰撞作用力相當(dāng)于突加荷載，需要做瞬態(tài)歷程分析。目前采用的求解方法[4-5]是常用的隱式積分格式，將微分化成為差分算子，使得這些方法僅具有二階精度或三階精度，且對(duì)積分步長(zhǎng)非常敏感，從而導(dǎo)致計(jì)算效率的降低。文獻(xiàn)[6]采用具有四階精度的Runge-Kutta法求解碰撞動(dòng)力方程，但是對(duì)于高頻振動(dòng)計(jì)算容易發(fā)生不穩(wěn)定和發(fā)散現(xiàn)象，而且計(jì)算所需的時(shí)間也相對(duì)比較長(zhǎng)。

精細(xì)積分法是鐘萬勰教授于1994年提出，該方法從現(xiàn)代控制論的數(shù)學(xué)問題與結(jié)構(gòu)力學(xué)問題互相模擬[7]，通過引入哈密頓體系中的對(duì)偶變量,對(duì)二階的動(dòng)力微分方程進(jìn)行降階,然后利用指數(shù)函數(shù)的精細(xì)算法得到高精度的解，可將逐步積分的計(jì)算精度極大提高，且受時(shí)間步長(zhǎng)限制小。本文將其引入結(jié)構(gòu)的碰撞問題求解中，通過結(jié)構(gòu)碰撞的解析解算例，驗(yàn)證精細(xì)積分法的有效性和適用性。

1碰撞理論

圖1為結(jié)構(gòu)碰撞的力學(xué)模型，碰撞結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力平衡方程為

(1)

圖1結(jié)構(gòu)碰撞力學(xué)模型

2精細(xì)積分法求解碰撞問題

對(duì)式(1)采用精細(xì)積分法求解如下。

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式(2)～(4)可化為

(8)

式(8)即為結(jié)構(gòu)碰撞問題的狀態(tài)傳遞方程。一般解為[8]

(9)

將荷載作用離散成步長(zhǎng)Δt時(shí)間間隔，任意時(shí)刻表示kΔt為(k=0，1,2,…)，tk+1=tk+Δt，有

(10)

令T(Δt)=eHΔt

(11)

(12)

指數(shù)矩陣T(Δt)求解如下。

(13)

將指數(shù)矩陣展開為泰勒級(jí)數(shù)

(14)

(15)

式中:l為截?cái)嚯A數(shù)。

若Ta與直接矩陣I相加后進(jìn)行2N運(yùn)算，會(huì)因計(jì)算機(jī)的舍入操作而喪失精度。為避免這一問題，式(14)計(jì)算過程如下。

(16)

計(jì)算得到(Ta)N，則

(17)

計(jì)算通過編程語言實(shí)現(xiàn)，求解過程為：

(2) 由式(12)得位移響應(yīng)u1(tk)，u2(tk)。

(5) 重復(fù)以上(2)～(4)步驟，直至地震動(dòng)輸入完成，輸出結(jié)果。

3算例驗(yàn)證

通過對(duì)2小球自由彈性碰撞進(jìn)行模擬，圖1中間隙d=0，2小球質(zhì)量均為 2kg，自振角頻率為10.25rad/s，初始時(shí)刻u1(0)=0.1 m,u2(0)=0m，左側(cè)小球從初始位置向右側(cè)自由運(yùn)動(dòng)與右側(cè)小球發(fā)生彈性碰撞，假定碰撞過程中無能量損失，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)理論解見圖2。

圖2　位移響應(yīng)理論解

3.1接觸單元模型

算例假定碰撞過程中無能量損失，采用線性彈簧接觸單元模型[9]模擬碰撞力。線性彈簧接觸單元模型定義當(dāng)2個(gè)結(jié)構(gòu)間的相對(duì)位移大于伸縮縫間距時(shí)，碰撞彈簧發(fā)揮作用，在碰撞過程中產(chǎn)生碰撞力。線彈性模型加載和卸載過程的力-位移關(guān)系見圖3，碰撞力的計(jì)算公式為

(18)

式中：d為伸縮縫初始間距；u1為1號(hào)結(jié)構(gòu)位移；u2為2號(hào)結(jié)構(gòu)位移；u2-u1為相對(duì)位移；F為碰撞力；kl為碰撞剛度。

a)　線彈性模型

b)　力-位移關(guān)系

3.2精細(xì)積分算法驗(yàn)證

采用精細(xì)積分法求解，積分步長(zhǎng)0.000 2s，位移和碰撞力時(shí)程見圖4～圖5。分析發(fā)現(xiàn)，基于精細(xì)積分法求解的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與理論解較為吻合；計(jì)算碰撞次數(shù)為6次，總體與理論相符，但是碰撞的位置隨著時(shí)間推移出現(xiàn)差異，這是由于理論解滿足動(dòng)量守恒定律，但真實(shí)碰撞是在瞬間完成的，而采用線性彈簧接觸模型的碰撞力總是有作用過程，這一過程隨著接觸彈簧剛度的增大而減小，其位移解也更接近理論解。

基于精細(xì)積分法求解的結(jié)構(gòu)碰撞響應(yīng)與文獻(xiàn)[10]較為一致，但文獻(xiàn)[10]采用隱式求解方法，積分步長(zhǎng)為0.000 1s，是精細(xì)積分法積分步長(zhǎng)的1/2，表明精細(xì)積分法選擇較大積分步長(zhǎng)也不影響其穩(wěn)定性，因此計(jì)算效率也較高。

分析可知，精細(xì)積分法求解碰撞問題是有效和實(shí)用的，由式(14)和(15)，精細(xì)積分法理論上可以實(shí)現(xiàn)任何精度。

圖4　基于精細(xì)積分法的位移解

圖5　基于精細(xì)積分法的碰撞力時(shí)程

4結(jié)語

精細(xì)積分法是一種顯示積分方法，用于結(jié)構(gòu)的碰撞響應(yīng)分析，使求解具有高精度和高效率的特點(diǎn)。經(jīng)算例驗(yàn)證，基于精細(xì)積分法推導(dǎo)的碰撞計(jì)算公式適宜于結(jié)構(gòu)的碰撞研究與應(yīng)用，理論上可實(shí)現(xiàn)任意精度，本文截?cái)嚯A數(shù)取7也是合適的。

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收稿日期：2014-09-30

ThePreciseIntegrationMethodintheApplicationofStructureImpactStudy

Li Chuanliang1,WangMenghao2

(1.GuizhouCommunicationsPlanningSurvey&DesignInstituteCo.,Ltd.,Guiyang550081,China；

2.HenanCenturyBoTongEngineeringConsultingCo.,Ltd.,Zhengzhou450000,China)

Abstract：Adjacent structures will collide with each other when the earthquake occur, resulting in structural damage even collapse, therefore the research of the collision problem of the structure is very important. In order to more accurately research the collision problems of the structure and its influence, in this paper, the precise integration algorithm is used to structure in the solution of the collision, and formula deduction and numerical example verification. The results show that the precise integration method for collision problem of the structure is applicable, and has the unconditional stability, high precision and restricted by time step of small advantages.

Key words:collision of the structure; mechanical model; precise integration method; integral step

DOI10.3963/j.issn.1671-7570.2015.01.039