改進的Mumford-Shah模型及其在圖像恢復和分割中的應用

畢翔，豆?jié)申?，李?/p>

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

摘要：在本文中，我們討論了幾個在圖像恢復和圖像分割中的經典泛函，并且我們用非凸泛函去近似它們。這些經典泛函和兩個變量相關u、v，其中u是圖像本身，v是它的邊緣。這樣的話，這個問題就包含著兩個方程和兩個未知變量，而在我們的近似非凸泛函中，只需要解關于u的一個單變量系統(tǒng)，因為我們引入了趨近于0的參數(shù)ρ，把v表示成了一個關于u的梯度的函數(shù)。我們還討論了這些近似模型關于時間的演化方程。最后，在我們的數(shù)值實驗中，計算了p=1的情況。我們發(fā)現(xiàn)算法不但很快，而且也可以很好地保留邊緣。

關鍵詞：圖像恢復和分割；偏微分方程；歐拉方程；非凸泛函

中圖分類號：O241.82文獻標識碼：A

收稿日期：2014-12-26

作者簡介：畢翔(1991-)，男(漢族)，江蘇淮安人，中國傳媒大學碩士研究生.E-mail：bixiang@cuc.edu.cn題的最終解。變分法研究的對象是泛函極值問題，而變分歐拉方程可以利用曲線演化的偏微分方程來逼近。

TheReducedMumford-ShahModelandItsApplicationsin

ImageRecoveryandSegmentation

BIXiang，DOUZe-yang，LIHao

(SchoolofScience，CommunicationUniversityofChina，Beijing100024)

Abstract：In this paper，we discuss several classical functionals in image recovery and segmentation.Moreover，we approximate them by nonconvex functional.These classical functionals are related to two variables u and v，where u is the image function and v is another variable which allows to detect the contours.Then this question consists in two equations and two unknowns，while in our approximate nonconvex functional，we only need to solve a system about one variable u.Because we introduce a parameter ρ，which goes to zero.Then we could express v as a function of the gradient of u .We also discuss the evolution equation of these models about time.Finally，in our numerical experiment，we compute the model in the case p=1 and find that not only the algorithms are faster but also the edges are very-well preserved.

Keywords：image recovery and segmentation；partial differential equation；Euler equation；nonconvex functional

1引言

在圖像分析領域，圖像去噪和分割是兩個非常重要的問題。圖像分割對于圖像目標的特征提取和表達具有重要的意義。一般的問題是這樣的：對于給定的一幅帶有噪聲的圖像，我們需要在對其去噪的基礎上提取出它的邊緣。

基于偏微分方程的圖像分割方法是將圖像分割問題轉化為能量泛函的極小化問題，并用變分法尋求問

本文通過對經典的Mumford-Shah模型的近似模型做簡化，將原來的雙變量系統(tǒng)變?yōu)閱巫兞肯到y(tǒng)，從而使得算法更快并且能夠很好地保留邊緣。

2預備知識

2.1　偏微分方程的基本概念及其差分格式

如果一個微分方程中，自變量的個數(shù)為兩個或者兩個以上，那么我們稱之為偏微分方程(partialdifferentialequation，PDE)，PDE的階次即為方程中階次最高的偏導數(shù)的次數(shù)。

在圖像處理中常用到的是偏微分方程中的橢圓形方程和拋物型方程。橢圓形方程是指方程中只包含對空間變量的偏導數(shù)的偏微分方程。泊松方程：

是典型的橢圓形方程。拋物型方程中不僅包含對空間的偏導數(shù)，還包含對時間的偏導數(shù)。熱傳導方程：

是典型的拋物型方程。

常用的PDE數(shù)值計算方法有：有限元法、有限差分法和譜法[1]。在圖像處理中，有限差分法用的比較多。有限差分的基本思想是用相距有限距離的兩個鄰點函數(shù)值的差與兩點間距離的比值來近似函數(shù)對變量的偏導數(shù)。一般情況下，我們會用向前差分來近似對時間的偏導數(shù)：

在空間中，對x的一階偏導數(shù)的近似，我們通常使用以下三種差分格式。

向前差分：

向后差分：

中心差分：

對于二階偏導數(shù)，我們只需在一階偏導數(shù)的基礎上再做一次近似即可。通過近似，我們就可以把偏微分方程轉化為一個代數(shù)方程，從而選定數(shù)值方案進行計算了。數(shù)值方案分為顯式、隱式和半隱式三種。從顯式到半隱式再到隱式，格式會越來越穩(wěn)定，但是實現(xiàn)起來也會越來越困難。因此，經常會選擇穩(wěn)定性較好且實現(xiàn)較容易的半隱式格式方案。

2.2　變分原理

泛函的求極值問題成為變分問題?；谄⒎址匠痰膱D像去噪及圖像分割問題，通常最終會歸結于求一個能量泛函的極小值問題。在一維情況下，能量泛函可能有如下形式：

(1)

由于擾動v在邊界上的值v(x0)=v(x1)=0，所以有u(x0)+v(x0)=a，u(x1)+v(x1)=b。根據(jù)分布積分法：

代入(1)式得：

(2)

在二維情況下，能量泛函的形式為E(u)=∫∫F(x，y，u，ux，uy)dxdy，其Euler方程的推導類似，結果為：

2.3　梯度下降流

一般情況下，上述Euler方程會是一個非線性PDE，離散之后的計算比較困難。我們可引入一個時間輔助變量，將橢圓型方程轉化為拋物型方程，將靜態(tài)問題轉化為動態(tài)問題。當方程隨著時間演化達到穩(wěn)態(tài)時，得出的u便是該變分問題的解。

那么E(u)就會不斷減小。

3主要模型及推導

3.1　 Mumford- Shah及其近似模型

在圖像恢復和分割領域有一個的模型——Mumford-Shah模型[2]：

GMS(u)=∫(α|▽u|2+β|u-u0|2dxdy)+H1(su)

(3)

其中，α，β是兩個正權值參數(shù)。su是u的不連續(xù)點構成的跳躍集，即邊緣。H1是一維Hausdoff測度。在Rn上，簡單曲線的一維Hausdoff測度等價于曲線的長度，由于H1(su)的計算不方便，故后人提出了很多簡化的模型。該泛函的第一項為光滑項，保證u在連續(xù)區(qū)域上的充分光滑。第二項是保真項，保證了分割前后的圖像不偏差太大。第三項是邊緣長度，保證邊緣不致填滿整幅圖像。

Ambrosio和Tortorelli提出用對偶變量來表征跳躍集su[3]，得出：

(4)

現(xiàn)分別對(4)式中的u和v做一階變分，則有：

(5)

(6)

這樣，我們就將原來的雙變量系統(tǒng)轉化為單變量系統(tǒng)了，從而使算法更加得高效。

Shah根據(jù)A-T的這個思想，也提出了一個M-S模型的近似模型[4]：

GS(u，v)=∫

(7)

我們可以利用同樣的方法將其變成一個單變量系統(tǒng)：

Gs(u)=∫

(8)

我們將以上兩個近似模型統(tǒng)一成[5]：

其中p≥1。在數(shù)值實驗中，我們用|u-u0|的L2范數(shù)代替原來的Lp范數(shù)[6]，計算以下模型：

Gρ(u)=∫

(9)

3.2　模型的離散化

(8)式中的Euler方程為

(10)

再將外層的差分展開：

其中：

故

若加入梯度下降流[8]，則演化模型為：

則：

4數(shù)值實驗

在我們的實驗中，我們采用256×256的Lenna彩色圖像和 256×256的Camera灰度圖像進行實驗。采用的噪聲是均值為0、方差為0.01的高斯白噪聲，效果對比圖如圖1、圖2所示。在圖1和圖2中，(a)為原始圖像，(b)為加噪圖像，(c)為恢復后圖像，(d)為分割后圖像。

在數(shù)值實驗中，我們采用平均平方誤差(meansquareerror，簡稱MSE)和信噪比(SignaltoNoiseRations，簡稱SNR)來評估圖像恢復的質量。MSE和SNR定義如下：

其中，g(i，j)與f(i，j)分別表示原始圖像與恢復后的圖像，M、N分別是圖像的長和寬。表1給出了兩幅圖像的最優(yōu)平均平方誤差、信噪比和迭代時間，圖3、圖4分別反映出了Camera灰度圖像的平均平方誤差與迭代步數(shù)的關系以及信噪比與迭代步數(shù)的關系。圖5、圖6分別反映出了Lenna彩色圖像的平均平方誤差與迭代步數(shù)的關系以及信噪比與迭代步數(shù)的關系。

所有實驗都是在MATLABR2014a版本上運行的。執(zhí)行運算的筆記本電腦是Intel(R)Core(TM)i7-4710MQCPU@ 2.50GHz2.50GHz處理器，4.00GB的內存。在解方程組時，使用Gauss-Seidel迭代方法[9]進行迭代，Gauss-Seidel方法是一種不動點迭代，當達到最優(yōu)解附近時趨于穩(wěn)定。

表1　半徑采樣下核磁共振圖像重建實驗結果

(a)原始圖像　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)加噪圖像

(c)恢復后的圖像　　　　　　　　　　　　　　　　(d)分割圖像 圖1

(a)原始圖像　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)加噪圖像

(c)恢復后的圖像　　　　　　　　　　　　　　　　(d)分割圖像 圖2

圖3　平均平方誤差與迭代次數(shù)的關系

圖4　信噪比與迭代步數(shù)的關系

圖5　平均平方誤差與迭代次數(shù)的關系

圖6　信噪比與迭代步數(shù)的關系

5結論

在本文中，我們基于Mumford-Shah的簡化模型，利用對偶變量將原來的雙系統(tǒng)變成了單變量系統(tǒng)，并且引入了時間演化模型，使得算法變得更加快速的基礎上，依然可以很好地保留邊緣。

事實上，我們可以看到，在我們的數(shù)值實驗中，我們極小化的泛函是一個非凸泛函，這是一個病態(tài)問題。但是，我們依然可以看到：在數(shù)值實驗中，加噪的圖像被很好地恢復，而且分割的邊緣也比較清晰。因此，我們才可以在非凸問題上有所妥協(xié)。然而，對這部分的理論分析以及解釋還需要做進一步的分析和研究。

參考文獻

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[3]AmbrosioL，TortorelliV.Approximationoffunctionalsdependingonjumpsbyellipticfunctionalsvia-convergence[J].CommunicationonPureandAppliedMathematics， 1990，43：999-1036.

[4]JShah.ACommonFrameworkforCurveEvolution，SegmentationandAnisotropicDiffusion[J].ProceedingsofIEEEConferenceonComputervisionandpatternrecognition，SanFrancisco，June，1996，136-142.

[5]ChanT.VariationalImagerestoration&segmentationmodelsandapproximations[OL].http：//www.math.ucla.edu/~imagers/htmls/seg.html.

[6]ChanT.Reducednon-convexfunctionalapplicationsforimagerestoration&segmentation[OL].http：//www.math.ucla.edu/~imagers/htmls/seg.html.

[7]王橋.數(shù)字圖像處理[M].北京：科學出版社，2009.

[8]LVese.VariationalproblemsandPDE’sforimageanalysisandcurveevolution[D].PHDThesis，UniversityofNice，Nov，1996.

[9]TimothySauer.NumericalAnalysis[M].NewJersey：PearsonEducationInc，2006.

(責任編輯：宋金寶)