摘 要：本文結(jié)合大數(shù)定律存在的條件的不同及其性質(zhì)特點，列舉了其在保險中的具體應(yīng)用.依次闡述了大數(shù)定律在制定保費、降低被保險人平均危機值、承擔(dān)業(yè)務(wù)量及責(zé)任準(zhǔn)備金與安全附加系數(shù)等方面的應(yīng)用.就幾個不同的問題分別對大數(shù)定律在其中的應(yīng)用做了介紹并舉例說明，將理論具體化，使抽象的實際問題變成具體可行的、可計算的、可操作的數(shù)學(xué)問題，從而使一些難以計算和預(yù)測的實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，從而當(dāng)加有利于保險方面實際問題的解決.

關(guān)鍵字：大數(shù)定律；保費；安全附加系數(shù)

在保險業(yè)中，保險經(jīng)營機制是將分散的，不確定性的損失集中起來，轉(zhuǎn)化為大致的確定性的分攤損失.大數(shù)定律闡明了大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果具有穩(wěn)定性，證明了在大樣本條件下，樣本平均值可以看作總體平均值，它是“算術(shù)平均值法則”的基本理論. 一般來說，在概率中，獨立同分布的隨機事件的個數(shù)超過50個時，我們就認為他們滿足大數(shù)定律所需的條件，在計算損失、厘定保費等時服從中心極限定理.

一、大數(shù)定律在保險中的應(yīng)用

目前，保險問題在我國是一個熱點問題.保險公司為各企業(yè)、各單位和個人提供了各種各樣的保險保障服務(wù)，人們總會預(yù)算某一業(yè)務(wù)對自己的利益有多大，會懷疑保險公司的大量賠償是否會虧本.它的數(shù)理依據(jù)是大數(shù)定理的合理分攤，化整為零，因此大數(shù)法則是保險業(yè)存在、發(fā)展的基礎(chǔ).大數(shù)定律是保險業(yè)經(jīng)營的一個重要數(shù)理基礎(chǔ).

（一）制定保費

以切比雪夫大數(shù)定律為例，該極限定理運用到保險行業(yè)，相當(dāng)于有n個投保人或被保險人，同時投保n個相互獨立的保險標(biāo)的，用表示每個標(biāo)的實際發(fā)生損失的大小.其中，為理論上每個投保人應(yīng)繳納的純保費，為平均每個被保險人實際獲得的賠款金額.當(dāng)投保人數(shù)足夠多，即n→∞時，實際賠款金額等于理論上的純保費.這一定律說明在承保標(biāo)的的數(shù)量足夠大時，保險人收取的純保費應(yīng)與被保險人所能獲得賠款金額的期望值相等.

例1、據(jù)統(tǒng)計，某年齡的健康人在五年內(nèi)死亡的概率為0.998，某保險公司準(zhǔn)備開辦該年齡段的五年人壽保險業(yè)務(wù)，預(yù)計有2500人參加保險，條件是參加保險者交保險金12元，若五年內(nèi)死亡，公司支付賠償金b元（b待定），

便有以下幾個問題：

1、確定b，使保險公司期望盈利；

2、確定b，使保險盈利超過1萬元的可能性大于95%；

3、若賠償金b=2000元，欲使保險公司盈利2萬元的可能性大于99%，每位參保者至少需交保險金a為多少元？

X1212-b

0.9980.002

解：（1）設(shè)X表示保險公司在每一個參保者身上所得的收益，則X為隨機變量，服從兩點分布，其分布規(guī)律為

故保險公司在每一位參保者身上獲的平均收益

若要使保險公司期望盈利，則應(yīng)有

于是可得

即當(dāng)元時保險公司期望盈利.

（2）欲使保險公司盈利超過1萬元，應(yīng)滿足：

由此得出死亡人數(shù)：

故若使保險公司期望盈利超過1萬元等價于，要使其可能性大于95%，

即

查泊松分布表得，即得b=2222（元）

即當(dāng)b=2222元時可使保險公司盈利超過1萬元的可能性大于95%.

（3）仍設(shè)隨機變量Y為2500中死亡人數(shù)，則，而公司盈利2萬元，

即：

等價死亡人數(shù)：

若要使盈利大于99%，即：

同理考慮泊松近似計算可得（元）

即要求每位參保者至少交納17.6元.

（二）降低被保險人平均危機值

大數(shù)定律建立在“大數(shù)0”的基礎(chǔ)之上，即通過風(fēng)險承擔(dān)主體的增多，將保險產(chǎn)品承擔(dān)的風(fēng)險在更多風(fēng)險單位中分攤.假設(shè)保險人承保了n個危險相同、相互獨立的風(fēng)險單位，我們用相互獨立且同分布的隨機變量表示每個保險單位的損失量，對單個被保險人而言，面臨的損失是實際損失與期望損失E（X）（總體X與期望值相同）的偏差，用X的標(biāo)準(zhǔn)差表示。

有平均每個被保險人的損失與損失偏差分別為

，這樣，n個保險人面臨的總體損失為，其方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，而將每個被保險人看作單個個體他們所面臨的危險總和為，顯然，即保險人面臨的整體危險小于所有單個被保險人面臨的危險總和.所以，如果將n個被保險人看成一個整體，則每個被保險人面臨的平均危險隨著被保險人數(shù)的增加而減少。

二、結(jié)論

大數(shù)定律說明了大量的隨機現(xiàn)象由于偶然性相互抵消而呈現(xiàn)出某種必然數(shù)量規(guī)律，作為保險業(yè)經(jīng)營的一個重要數(shù)理基礎(chǔ)，大數(shù)定律對于指導(dǎo)保險公司費率制定、確定最低保單數(shù)及降低每個被保險人的平均危險值等方面，都起著重要作用.通過大數(shù)定理的運作，可將其轉(zhuǎn)化為風(fēng)險單位集合的損失，從而使其有一定的確定性，便可預(yù)測保險損失金額.這些直接關(guān)系到補償和給付的實現(xiàn)程度與保險經(jīng)營的穩(wěn)定性。

參考文獻：

[1]周少強.大數(shù)定律與中心極限定理之問的關(guān)系[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001（1）：15—17.

[2]王建忠.中心極限定理在分析保險償付能力中的應(yīng)用[J].統(tǒng)計教育，2003（02）33—34.

[3]王東紅.大數(shù)定律和中心極限定理在保險業(yè)中的重要應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識.2005.35（10）：128—133.

[4]朱學(xué)軍.中心極限定理在管理中的應(yīng)用探討[J].浙江統(tǒng)計，1997（09）：17—18.