【摘要】 本文對(duì)改進(jìn)的非線性發(fā)展系統(tǒng)的邊界條件和影響函數(shù)進(jìn)行研究，得到解的簡(jiǎn)易離散算法.運(yùn)用泛函理論，證明了該算法具有可操作性，使利用計(jì)算機(jī)求解此類方程成為可能.

【關(guān)鍵詞】 離散；算法；可操作性

一、模 型

上述方程轉(zhuǎn)化為：

二、方程的半離散化

1.對(duì)于b（r）可取兩個(gè)階梯函數(shù)[2]：

（1） 取下階梯函數(shù)bn （r），r∈ 0，rm ，使之滿足lim n→∞ bn （r）=b（r）；

（2） 取上階梯函數(shù)bn （r），r∈ 0，rm ，使之滿足lim n→∞ bn （r）=b（r）；

易得： bn （r）≤b（r）≤bn （r）.

2.對(duì)于c（r）可取兩個(gè)階梯函數(shù)[2]：

（1）取下階梯函數(shù)cn （r），r∈ 0，rm ，使之滿足lim n→∞ cn （r）=c（r）；

（2）取上階梯函數(shù)cn （r），r∈ 0，rm ，使之滿足lim n→∞ cn （r）=c（r）；

易得： cn （r）≤c（r）≤cn （r），并得

‖p（r）‖X=∫ r 0 p（r） dr.

可知X是Banach空間.

再定義算子及定義域：

（r）h（r）p（r）dr 抽象系統(tǒng)模型為

dp（t） dt =Ap（t）+B m（t）+p（t） p（t），p（0）=p0. （4）

三、方程解的性質(zhì)

引理3.1 設(shè)f：[t0，∞）×X→X對(duì)有界區(qū)間上的t一致地關(guān)于y在X上滿足局部Lipschitz條件，且f關(guān)于t連續(xù)，則對(duì)任給的y0∈X，非線性抽象Cauchy問(wèn)題在最大存在區(qū)間上存在唯一的mild解y（·），且可表示為

y（r，t）=T（t）·y0+∫ t 0[m（s，t）+T（t-s）·f s，y（s） ]ds.

定理3.1[2] 方程（4）存在唯一解，且

p（r，t）=T（t）·p0+∫ t 0T（t-s）·B m（s）+p（s） ·p（s）ds.

推論3.1 方程（2）、（3）存在唯一解，且分別為

定理3.2 設(shè)p（r，t），pn （r，t），pn （r，t）分別是方程（1），（2），（3）的解，則對(duì)任意的n∈N，有pn （r，t）≤p（r，t）≤pn （r，t）成立.

證明 不妨只證明pn （r，t）≥p（r，t）.

同理可證p（r，t）≥pn （r，t）.故pn （r，t）≤p（r，t）≤pn （r，t）.

定理3.3 方程（1），（2），（3）的解有如下關(guān)系：

lim n→∞ pn （r，t）=p（r，t）=lim n→∞ pn （r，t）.

定理3.2和定理3.3說(shuō)明：離散比例函數(shù)與生育模式參數(shù)的乘積和環(huán)境影響函數(shù)求解分布密度函數(shù)是可行的.