么雙福，鄭 飛，陳一夢，王云鵬，吳 帆，潘大為，劉響求

（1.華中科技大學機械科學與工程學院，湖北 武漢 430074；2.華中科技大學 自動化學院，湖北 武漢 430074；3.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 6－RTRT并聯(lián)機器人的總體方案設計與分析

6－RTRT旋轉(zhuǎn)輸入式并聯(lián)機器人是一種比較典型的具有六個自由度的并聯(lián)機器人，旋轉(zhuǎn)輸入型并聯(lián)機器人與桿件伸長型并聯(lián)機器人相比，具有結(jié)構(gòu)更加緊湊、承載能力更強、慣量更小等獨特優(yōu)點［1－2］。

1.1 6－RTRT旋轉(zhuǎn)輸入式并聯(lián)機器人的總體方案

并聯(lián)機器人的總體三維圖如圖1所示。整個并聯(lián)機器人的結(jié)構(gòu)為下靜平臺－電機－轉(zhuǎn)向器－上靜平臺－6個RTRT桿（法蘭盤－胡克鉸－轉(zhuǎn)動副－胡克鉸）－動平臺。

圖1 并聯(lián)機器人總體三維圖

根據(jù)機器人總質(zhì)量和運動時產(chǎn)生的軸向力和周向力，選用型號為RB－35PM－YKA的旋轉(zhuǎn)電機作為驅(qū)動部分。電機和錐齒輪變向器連接，固定在下靜平臺上。轉(zhuǎn)向器和法蘭盤連接，法蘭盤通過上靜平臺和圓錐滾子軸承定位，形成一個轉(zhuǎn)動副，為避免中心連線的自轉(zhuǎn)運動和實現(xiàn)6個自由度，選用鉸鏈類型為胡克鉸。每條支鏈的組成如下：靜平臺—轉(zhuǎn)動副（R）—胡克鉸（T）—轉(zhuǎn)動副（R）—胡克鉸（T）—動平臺。靜平臺和動平臺采用圓盤結(jié)構(gòu)，訓練時，動平臺按照目標軌跡實現(xiàn)平移和轉(zhuǎn)動。

1.2 自由度的計算

上靜平臺到動平臺之間的并聯(lián)機構(gòu)總構(gòu)件包括上靜平臺、6個RTRT桿、動平臺。每個RTRT桿由3個構(gòu)件組成，并聯(lián)機構(gòu)的總構(gòu)件數(shù)n為：

運動副包括連接動平臺和上靜平臺的6個轉(zhuǎn)動副、6個胡克鉸、6個轉(zhuǎn)動副、6個胡克鉸，運動副總數(shù)g為：

胡克鉸的自由度數(shù)為2，轉(zhuǎn)動副的自由度為1，設fi為第i個靜平臺－RTRT桿－動平臺（共有6個）的相對自由度，則：

根據(jù)空間并聯(lián)機器人自由度計算公式——Kutzbach Grubler公式，可以計算出并聯(lián)機器人的自由度f為：

代入相關(guān)數(shù)據(jù)計算得：

由以上計算知6－RTRT并聯(lián)機器人具有六個自由度，分別為沿x、y、z軸的移動和繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動。并聯(lián)機器人空間姿態(tài)的左、右極限如圖2所示。

該并聯(lián)機器人具有剛度大、運動精度高、慣性小、載荷分布均勻等特點，而且結(jié)構(gòu)簡單，設計、制造和控制成本相對較低，特別是具有完全相同的分支，結(jié)構(gòu)對稱具有各向同性，能夠很好地實現(xiàn)六自由度的平移和旋轉(zhuǎn)運動。

圖2 并聯(lián)機器人空間姿態(tài)極限

2 基于軌跡法的旋轉(zhuǎn)輸入型并聯(lián)機器人位置逆解分析

首先分析旋轉(zhuǎn)式輸入并聯(lián)機器人的一個分支，建立的分支坐標如圖3所示，在并聯(lián)機器人的上靜平臺建立定坐標系｛O－xyz｝，在動平臺上固定運動坐標系｛O′－x′y′z′｝。當動平臺的位置和姿態(tài)給定以后，桿件與動平臺連接點的空間位置便是確定的，設動平臺上點Ai在上靜平臺旋轉(zhuǎn)副上的旋轉(zhuǎn)輸入平面｛Oixiyizi｝上的投影為點A′i。由于RTRT桿li另一端Bi被限定在面｛Oi－xiyizi｝上，并且桿長為定值，則此時桿可繞上靜平臺和動平臺之間的AiA′i旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)后便可形成一個圓錐面，其底面的圓A′i就是輸入端Bi滿足這個約束條件的軌跡圓；同時，Bi又被限定在圓Oi上，圓Oi的半徑為ri。所以，圓A′i和圓Oi的交點就是同時滿足上述這些約束條件的Bi，也就是為了使動平臺達到給定的位置和姿態(tài)，桿件的輸入端需要轉(zhuǎn)到的位置?？梢姡ㄟ^研究圓A′i和圓Oi的位置關(guān)系，便可以判斷位置逆解的有無以及個數(shù)的多少。在Ai坐標系｛Oi－xiyizi｝中的點矢量表示為［Aix，Aiy，Aiz］T，有等式：

其中：T為坐標系｛O－xyz｝到坐標系｛Oi－xiyizi｝的變換矩陣。由幾何關(guān)系直接確定T為坐標系O′－x′y′z′到坐標系｛O－xyz｝的變換矩陣，給出相對于定參考系｛O－xyz｝的并聯(lián)機器人位姿后，可以求出［Aix′，Aiy′，Aiz′］T為Ai在動坐標系O′－x′y′z′中的點矢。

圖3中，ri為定值，hi＝｜AiA′i｜，A′i在坐標系｛Oixiyizi｝中的坐標為（Aix1，Aiy1），圓A′i的半徑為：

圓A′i和Oi的圓心距為：

由平面幾何的知識，我們不難判斷出旋轉(zhuǎn)式輸入并聯(lián)機器人第i分支的位置逆解情況：

（1）當di＜｜Ri－ri｜，兩個圓相包含，沒有逆解。

（2）當di＝｜Ri－ri｜＝0，兩個圓重合，逆解有無數(shù)個。

（3）當di＝｜Ri－ri｜＞0，兩個圓相內(nèi)切，逆解只有一個。

（4）當｜Ri－ri｜＜di＜Ri＋ri，兩個圓相交，逆解有兩個。

（5）當d＝Ri＋ri，兩個圓相互外切，只有一個逆解。

（6）當di＞Ri＋ri，兩圓相離，沒有逆解。

圖3 分支坐標建立圖

由上面的分析我們可以判斷出旋轉(zhuǎn)式輸入并聯(lián)機器人6個分支的逆解（輸入角度）個數(shù)，綜合考慮并聯(lián)機器人的6個分支，它的位置逆解情況為：

（1）6組圓A′i和圓Oi中，只要有一組相離或相互包含，此時沒有逆解，即此時所給的位置和姿態(tài)無法達到。

（2）6組圓A′i和圓Oi中在都不相離且都不相含的情況下，只要有一組重合，便有無數(shù)組逆解。

（3）如果6組圓A′i和圓Oi中有j組（其中j＝1，2，3，…）相交，另外6－j組相切（內(nèi)切或外切），則并聯(lián)機器人有逆解。

綜上分析，6自由度旋轉(zhuǎn)式輸入型并聯(lián)機器人在可以達到的空間內(nèi)，其位置逆解可能有1、2、4、8、16、32、64組或者無數(shù)多組，并聯(lián)機器人的多解性使得位置逆解的分析變得更加復雜。

經(jīng)過前面的分析，我們可知，如果存在位置逆解，便可以利用這個方法進一步將位置逆解求出，假設第i分支有兩個逆解（如圖4所示），圓A′i和圓Oi有兩個交點Bi1和Bi2，θi1和θi2是待求的輸入角度。從圖4中可以看出：

式（9）和式（10）可以統(tǒng)一寫為：

只要求出αi和βi就可以求出逆解，由幾何關(guān)系可求得：

如果只有一個逆解，此時兩個交點Bi1和Bi2重合，βi＝0，則θi＝α，成為了逆解的特例。到此，就完成了旋轉(zhuǎn)式輸入六自由度并聯(lián)機器人位置逆解的求解。

圖4 角度逆解圖

3 基于MATLAB的工作空間分析和仿真

并聯(lián)機器人的工作空間是指機構(gòu)的終端動平臺能達到的工作區(qū)域，是衡量機器人性能的重要指標［3］。并聯(lián)機器人的工作空間可劃分為可達工作空間和靈活工作空間?？蛇_工作空間是終端動平臺上某一參考點可以達到的所有點的集合，這種工作空間不考慮操作器的姿勢［4］。而作為可達工作空間子集的靈活工作空間是終端動平臺上某一參考點可以從任何方向到達的點的集合，靈活工作空間是可達工作空間的一部分，因此機器人的靈活工作空間又稱為機器人可達工作空間的一級子空間，而可達工作空間的其余部分稱為可達工作空間的二級子空間。并聯(lián)機器人的工作空間的解析求解是一個很復雜的問題，它依賴于機構(gòu)位姿的研究結(jié)果，其主要方法是幾何法和數(shù)值分析法。

通過上文確定的求解逆解的方法，利用MATLAB語言，結(jié)合整體機構(gòu)的幾何尺寸，可以將需要的各參數(shù)數(shù)值化，這樣可以得到針對該機構(gòu)的MATLAB反解程序，使計算簡化［5］。此次用三維空間搜索法對6－RTRT并聯(lián)機構(gòu)進行工作空間分析，并對工作空間進行仿真。

工作空間的三維搜索法主要分4個步驟進行：

（1）給定動平臺一個固定姿勢，這里設定靜平臺與動平臺平行，在此位姿下，還有3個未知參數(shù)，即動平臺x方向的空間范圍x0、動平臺y方向的空間范圍y0、動平臺z方向的空間范圍z0，這樣就可以搜索動平臺在這個姿勢下所能到達的位置。

（2）大致估計動平臺所能達到的位置，給出位置的三維空間范圍，即xmax、xmin、ymax、ymin、zmax、zmin，給出搜索的步長，從這個三維空間的一個起始點開始，以給定的步長為搜索速度，每搜索一次都會是一個確定的位姿，應用齊次變換矩陣就可以求出每個電機從原點開始運動的量，如果這個運動量在電機的行程范圍內(nèi)，那么這個位置就可以達到，繪制出可以達到位置的散點。

（3）在繪制出所給范圍內(nèi)的散點后，觀察這些散點是不是全都在給定的范圍內(nèi)，如果有超出范圍的散點，就要加大搜索的范圍，重復步驟（2），直到所有的散點都在給定的范圍內(nèi)。

（4）減小搜索范圍，繪制出模擬的位置運動空間［6］。

應用三維搜索法以動平臺中心為參考點，基于MATLAB對并聯(lián)機構(gòu)的工作空間進行仿真，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 并聯(lián)機器人動平臺運動空間仿真結(jié)果

4 結(jié)論

本文對6－RTRT旋轉(zhuǎn)輸入式并聯(lián)機器人進行了設計，6－RTRT旋轉(zhuǎn)輸入式并聯(lián)機器人采用旋轉(zhuǎn)電機輸入，經(jīng)過錐齒輪轉(zhuǎn)向器和RTRT機構(gòu)連接，實現(xiàn)并聯(lián)機器人動平臺的6自由度活動，同時基于軌跡法對旋轉(zhuǎn)輸入型并聯(lián)機器人進行了位置逆解分析，最后根據(jù)求解逆解的方法，以動平臺的中心為參考點，基于MATLAB實現(xiàn)了其工作空間的仿真。

［1］叢爽，尚偉偉.并聯(lián)機器人——建模、控制優(yōu)化與應用［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2010.

［2］沈惠平，楊廷力，馬履中.一類新型六自由度并聯(lián)機構(gòu)及其結(jié)構(gòu)分析［J］.中國機械工程，2008，19（6）：721－04.

［3］Gosselin C M.Determination of the workspace of 6－DOF parallel manipulators［J］.Journal of Mechanical Design，1990，11（2）：331－05.

［4］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機構(gòu)學［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［5］蘇曉生.MATLAB實例教程［M］.北京：中國電力出版社，2000.

［6］劉衛(wèi)國.科學計算與MATLAB語言［M］.北京：中國鐵道出版社，2000.