徐金波，崔建昆，胡翰林

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

0 引言

直線共軛內(nèi)嚙合齒輪泵具有輸出壓力高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、流量脈動(dòng)和噪聲小等優(yōu)點(diǎn)，其優(yōu)越性能在很大程度上來(lái)自于一對(duì)特殊的直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副，外齒輪的齒廓是容易加工的直線，內(nèi)齒輪的齒廓是與之共軛的曲線，這種齒形不但強(qiáng)度高，而且作為內(nèi)嚙合齒輪泵使用時(shí)，困油容積小，噪聲低［1］。

直線共軛內(nèi)嚙合齒輪泵的受力情況與其性能有著密切的關(guān)系，不僅直接影響齒輪泵的壽命，而且與齒輪泵的脈動(dòng)和噪聲也有緊密的聯(lián)系。直線共軛內(nèi)嚙合齒輪除了嚙合力外，還受油壓力的影響。

本文從該齒輪副的特殊齒形和嚙合力的計(jì)算入手，對(duì)直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副進(jìn)行具體的分析，利用赫茲公式［2］求解出最大接觸應(yīng)力，并與有限元方法求解的結(jié)果進(jìn)行比較。

1 嚙合力

常見的用于傳動(dòng)的齒輪，其輪齒的受力分析通常都是比較簡(jiǎn)單的。但對(duì)于直線共軛內(nèi)嚙合齒輪泵，應(yīng)考慮液壓油對(duì)輪齒的影響。

1.1 油壓對(duì)輪齒的影響

如圖1所示，以小齒輪中心為原點(diǎn)，其中一輪齒的對(duì)稱軸為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系xOy。當(dāng)壓強(qiáng)p作用于寬為B的直線齒廓時(shí)，取齒廓的一小段dl，則壓強(qiáng)p在這段齒廓上產(chǎn)生的壓力為dF＝pBdl。

將dF沿x，y向分解，得到：

dFx和dFy產(chǎn)生的力矩為：

圖1 直線齒廓輪齒的受力

由于輪齒齒廓各部分受到的壓強(qiáng)不同，壓強(qiáng)差將產(chǎn)生力矩。如圖2所示，設(shè)在半徑rk1－rk2（rk1和rk2分別為dl段最低點(diǎn)和最高點(diǎn)到小齒輪圓心距離）對(duì)應(yīng)的齒廓部分，輪齒兩側(cè)分別受到不同的壓強(qiáng)ph和pl。則x方向產(chǎn)生的力矩為：

類似地，y方向產(chǎn)生的力矩為：

由于My較小，為簡(jiǎn)化計(jì)算，將My省略。

當(dāng)壓強(qiáng)p作用于非直線齒廓時(shí)，取齒廓的一小段dl，可以得到同樣的結(jié)論。因此，可以認(rèn)為輪齒受到的力矩為：

圖2 直線齒廓輪齒的力矩計(jì)算

1.2 小齒輪的力矩分析

小齒輪受到的力矩包括以下3個(gè)部分：

（1）進(jìn)入月牙塊的輪齒外側(cè)與脫離月牙塊的輪齒外側(cè)的壓強(qiáng)差產(chǎn)生的力矩M1，見圖3。根據(jù)式（1）有：

其中：Δp為高壓區(qū)和低壓區(qū)的壓強(qiáng)差，Δp＝ph－pl；ra1為小齒輪齒頂圓半徑；rf1為小齒輪齒根圓半徑；R為小齒輪或齒圈嚙合點(diǎn)處向徑值。

圖3 力矩M1

（2）嚙合的輪齒齒廓被嚙合點(diǎn)分為高壓區(qū)和低壓區(qū)（見圖4），嚙合的輪齒在高壓區(qū)和低壓區(qū)受力不平衡產(chǎn)生力矩M2。根據(jù)式（1）有：

其中：R1為小齒輪嚙合點(diǎn)處向徑值。

（3）嚙合力產(chǎn)生力矩M3，見圖5。圖5中，γ′為力F延長(zhǎng)線與連接K點(diǎn)到齒圈圓心O2的線段O2K的夾角，R2為齒圈嚙合點(diǎn)處向徑值。

其中：γ為力F延長(zhǎng)線與連接K點(diǎn)到小齒輪圓心O1的線段OK的夾角。

由圖5有幾何關(guān)系：

其中：r1為小齒輪分度圓半徑；β為小齒輪齒形半角；θ為小齒輪上嚙合點(diǎn)處齒厚所對(duì)應(yīng)的圓心角。

在△AKO1中，根據(jù)正弦定理，有：

則

將式（5）代入式（4）得：

（4）驅(qū)動(dòng)力矩為T，它由驅(qū)動(dòng)電機(jī)傳遞給小齒輪。

圖4 力矩M2

圖5 力矩M3

1.3 嚙合力的計(jì)算

小齒輪受到的轉(zhuǎn)矩有如下的關(guān)系：

將式（2）、式（3）和式（6）代入式（7）得：

由式（8）求得嚙合力公式為：

2 赫茲接觸應(yīng)力計(jì)算

齒面接觸計(jì)算公式——赫茲理論計(jì)算公式為：

以NJB2泵為例，按照赫茲理論公式計(jì)算得σHmax＝178.2MPa。

3 嚙合強(qiáng)度的有限元分析

從以上理論計(jì)算方法可以看出，其中涉及的參數(shù)多，誤差大，計(jì)算過(guò)程繁瑣，并且不能直觀顯示齒輪齒面接觸應(yīng)力的具體分布情況，而有限元法則克服了上述的缺陷。

3.1 模型的建立與網(wǎng)格劃分

采用參數(shù)化方法在Pro/E軟件中建立直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副三維模型，如圖6所示。

將建立的三維模型導(dǎo)入到ANSYS Workbench中劃分網(wǎng)格，如圖7所示。網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為32 877，單元數(shù)為17 164。

3.2 定義接觸對(duì)、約束條件及加載

本文的齒輪副采用面－面接觸的方式，其中大齒輪為目標(biāo)單元，小齒輪為接觸單元。小齒輪的中心添加Cylindrical Support，并將Tangential設(shè)定為Free，內(nèi)齒輪添加Fixed Support。嚙合力最大時(shí)M1＝M2，小齒輪上加載扭矩為逆時(shí)針扭矩T。

3.3 分析結(jié)果顯示

圖8為嚙合過(guò)程應(yīng)力云圖。圖9為齒圈應(yīng)力云圖，圖10為小齒輪應(yīng)力云圖。由圖9和圖10可知：嚙合過(guò)程中最大接觸應(yīng)力為167.18MPa，最大等效應(yīng)力出現(xiàn)在內(nèi)齒圈接觸面上；小齒輪最大應(yīng)力也在接觸面上，齒根處應(yīng)力較大。

圖6 內(nèi)嚙合齒輪副模型

圖7 劃分網(wǎng)格

圖8 嚙合過(guò)程應(yīng)力云圖

圖9 齒圈應(yīng)力云圖

圖10 小齒輪應(yīng)力云圖

3.4 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

利用有限元軟件ANSYS Workbench分析得到了輪齒接觸的等效應(yīng)力分布圖，比較有限元分析結(jié)果與理論公式的計(jì)算結(jié)果，兩者的誤差為6.5%，滿足工程要求。

4 結(jié)論

本文考慮液壓油對(duì)輪齒的影響，對(duì)直線共軛內(nèi)嚙合齒輪泵嚙合過(guò)程進(jìn)行了受力分析，利用赫茲公式求出最大接觸應(yīng)力。在理論分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用ANSYS Workbench軟件對(duì)齒輪副嚙合過(guò)程進(jìn)行應(yīng)力分析，得到齒輪接觸應(yīng)力分布圖。這兩種方法都適用于直線共軛內(nèi)嚙合齒輪泵齒輪強(qiáng)度的校核，但有限元軟件分析更直觀地顯示齒輪接觸應(yīng)力的分布狀況。因此，將理論公式與有限元軟件分析相結(jié)合，對(duì)內(nèi)嚙合齒輪泵的優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性設(shè)計(jì)有重要的應(yīng)用價(jià)值。

［1］崔建昆，秦山，聞斌.直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副嚙合特性分析［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2004（6）：12－15.

［2］邱宣懷.機(jī)械設(shè)計(jì)［M］.第4版.北京：高等教育出版社，1997.

［3］吳序堂.齒輪嚙合原理［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，2009.

［4］李尚義.談?wù)匌X輪泵的輪齒接觸疲勞強(qiáng)度計(jì)算［J］.機(jī)床與液壓，1988（4）：14－19.