一類具時滯的病毒模型的穩(wěn)定性與Hopf分支

殷紅燕， 寧娣, 周靜

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢430074)

摘要研究了一類具有時滯的病毒模型的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性問題．通過分析特征方程，得到了正平衡點全時滯穩(wěn)定的充要條件；然后以時滯τ為參數(shù)，給出了模型存在Hopf分支的條件和分支值，并對所得理論結(jié)果進行了數(shù)值模擬.結(jié)果表明：時滯τ能夠引起系統(tǒng)正平衡點穩(wěn)定性的改變.

關(guān)鍵詞病毒模型；時滯；全時滯穩(wěn)定性；Hopf分支

收稿日期2014-11-14

作者簡介殷紅燕(1978-)，女，講師，碩士，研究方向：微分方程定性理論、分支理論，E-mail: yhy781028@163.com

基金項目中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(CZQ13016)

中圖分類號O175.13文獻標識碼A

Stability and Hopf Bifurcation for a Class of Viral Model with Delay

YinHongyan,NingDi,ZhouJing

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

AbstractIn this paper, stability and existence of Hopf bifurcation for a class of viral model with delay are investigated. By analyzing the corresponding characteristic equation, the sufficient and necessary conditions of complete delay stability are obtained. Furthermore, regarding the delay τ as a parameter, conditions of the existence of Hopf bifurcation and bifurcation value are given. Numerical simulations are carried out to illustrate the theoretical results.

Keywordsviral model; delay; complete delay stability; Hopf bifurcation

生物體內(nèi)存在大量的病毒，同時，也存在著許多抗病毒的細胞. 因此，病毒與抗病毒的相互作用過程成為人們研究的焦點. Bocharov G.A.[1]通過對小鼠分別注射高、中、低劑量的淋巴細胞性脈絡(luò)叢腦膜炎病毒，觀察病毒在小鼠體內(nèi)的反應(yīng)，建立了淋巴細胞性脈絡(luò)叢腦膜炎病毒與抗病毒的細胞毒性T淋巴細胞之間反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并對模型的合理性進行了分析.根據(jù)數(shù)值分析的方法，給出了模型中各個參數(shù)的最優(yōu)估計和參數(shù)的范圍.Tatyana Luzyanina[2]通過近些年發(fā)展起來的軟件包，利用數(shù)值分析的方法對Bocharov G.A. 的模型進行了合理簡化，得到了如下模型：

(1)

本文研究模型(1)的一種特殊情形：關(guān)于特定病毒V的毒害細胞的T淋巴細胞的分裂的持續(xù)時間為0，即V(t-τ)中的τ為0.此時模型(1)變?yōu)椋?/p>

(2)

本文對模型(2)進行理論分析，給出該模型全時滯穩(wěn)定的充要條件，然后以滯量τ為參數(shù), 討論Hopf分支出現(xiàn)的條件以及分支值，最后,通過數(shù)值模擬驗證所得理論結(jié)果.

1正平衡點的全時滯穩(wěn)定性

為了討論模型(2)的正平衡點的全時滯穩(wěn)定性，首先給出引理1.

引理1[4]具有時滯的常系數(shù)線性系統(tǒng)：

其零解全時滯穩(wěn)定的充要條件為：

(i) 其特征方程Δ(λ,τ)=0，當τ=0時所有根具有負實部；

(ii) 對?y,τ∈R，τ>0,均有Δ(iy,τ)≠0.

(3)

令X(t)=x(t)-x0,Y(t)=y(t)-y0,Z(t)=z(t)-z0，則系統(tǒng)(3)變?yōu)椋?/p>

系統(tǒng)(4)的線性近似系統(tǒng)為：

(5)

系統(tǒng)(5)的特征方程為：

λ3+p2λ2+p1λ+p0+(q2λ2+q1λ)e-λτ=0,

(6)

這里p2=l+c,p1=l(c+a),p0=alc,q2=-mx0,q1=-mlx0．

當τ=0，系統(tǒng)(5)變?yōu)椋?/p>

λ3+(p2+q2)λ2+(p1+q1)λ+p0=0.

(7)

由Hurwitz判據(jù)，可知方程(6)的兩個根均具有負實部的充要條件為：

p2+q2=l+c-mx0>0,

(p2+q2)(p1+q1)-p0=l(l+c-mx0)(c+a-mx0)-alc>0.

當τ>0時，若λ=iω(ω>0)是特征方程(6)的一個根當且僅當ω滿足：

(8)

對(8)的兩個方程分別平方再相加得：

ω6+h2ω4+h1ω2+h0=0,

(9)

H(σ)=σ3+h2σ2+h1σ+h0=0.

(10)

H(σ)=H1(t)=t3+pt+q,

(11)

由如上討論可得系統(tǒng)(3)在平衡點A全時滯穩(wěn)定的充要條件即定理1.

定理1系統(tǒng)(2)的平衡點全時滯穩(wěn)定的充要條件是：

(P1) l+c-mx0>0,(l+c-mx0)(c+a-mx0)>ac;

(P2)條件(i)、(ii)、(iii)與(iv)之一成立．

2Hopf分支的存在性

為了討論Hopf分支的存在性，首先給出如下引理2.

(i) h1<0；

則方程H(σ)=0至少有一個正單根存在.

(12)

則λ=±iω0是方程(6)當τ=τj(j=0,1,2,…)時的一對共軛純虛根，且易證λ=±iω0是唯一的.

對于特征方程(6),兩端關(guān)于時滯τ求導(dǎo),整理可得:

在λ=iω0處，有：

根據(jù)引理2和文獻[6-8],可得定理2.

定理2如果引理2中的條件成立，則當τ<τ0時，系統(tǒng)(3)的正平衡點A是不穩(wěn)定的；當τ0<τ<τ1時，系統(tǒng)(3)的正平衡點A是漸近穩(wěn)定的；當τ=τj(j=0,1,2,…)時，系統(tǒng)(3)在正平衡點A附近產(chǎn)生Hopf分支,其中分支值τ=τj由(12)式確定.

3數(shù)值模擬

根據(jù)文[1]所給的模型參數(shù)的范圍，選取a=3.35,b=1.34×10-6,c=0.45,l=0.4,k=265,m=0.001,n=0.01作為系統(tǒng)(3)的一組參數(shù)，計算可得τ0≈0.4508.取τ=0.2，所得數(shù)值模擬圖如圖1所示，從而可知，當τ<τ0時，系統(tǒng)(2)的正平衡點是不穩(wěn)定的；取τ=0.9，所得數(shù)值模擬圖如圖2所示，從而可知，當τ>τ0時，系統(tǒng)(2)的正平衡點是漸近穩(wěn)定的；當τ=0.444<τ0時，系統(tǒng)存在分支周期解，如圖3所示，于是τ0≈0.4508是下臨界Hopf分支點.

4結(jié)語

本文主要研究了時滯對病毒模型穩(wěn)定性的影響，以時滯量τ為參數(shù)，分析了模型正平衡點的全時滯穩(wěn)定性和Hopf分支存在的條件. 通過理論分析及數(shù)值模擬可以看出：時滯τ能夠引起系統(tǒng)正平衡點穩(wěn)定性的改變.

圖1　取τ=0.2<τ 0,系統(tǒng)(2)的正平衡點不穩(wěn)定 Fig.1　The positive equilibrium of systems (2) is unstable when τ=0.2<τ 0

圖2　取τ=0.9>τ 0，系統(tǒng)(2)的正平衡點漸近穩(wěn)定 Fig.2　The positive equilibrium of systems (2) is asymptotically stable when τ=0.9>τ 0

圖3　取τ=0.444<τ 0,系統(tǒng)(2)產(chǎn)生周期解 Fig.3　Systems(2) has a period solution when τ=0.444<τ 0

[1]Bocharov G A.Modelling the dynamics of LCMV infection in mice: conventional and exhaustive CTL responses[J]. Journal of Theoretical Biology, 1998, 192(3):283-308.

[2]Tatyana L, Koen E. Low level viral persistence after infection with LCMV: a quantitative insight through numerical analysis[J]. Mathematical Biosciences, 2001,173: 1-23.

[3]徐洪玲.一類具有時滯的病毒模型的Hopf分支[D].長春:東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,2008.

[4]秦元勛，劉永清，王聯(lián). 帶有時滯的動力系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性[M]. 北京:科學(xué)出版社，1963.

[5]黃建科, 陳斯養(yǎng).一類具時滯的Logistic模型的Hopf分支[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2004,32(4):19-22.

[6]劉正榮，李繼彬. 哈密頓系統(tǒng)與時滯微分方程的周期解[M]. 北京:科學(xué)出版社，1996.

[7]殷紅燕.一類具有周期擾動的向日葵方程的次調(diào)和分支[J].中南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，31(2)：117-119.

[8]殷紅燕.向日葵方程的周期擾動Hopf分支[J].中南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，29(4)：115-117.