帶參數的漸近線性橢圓方程組非平凡解的存在性

彭超權,劉穎,王芳

(中南民族大學 數學與統計學學院,武漢 430074)

摘要研究了一類帶參數的漸近線性橢圓方程組,其非線性項不滿足增長性條件.利用山路定理,證明了在一定條件下該方程組非平凡解的存在性.

關鍵詞漸近線性方程組；山路定理；非平凡解

收稿日期2014-10-23

作者簡介彭超權(1979-),男,副教授,博士,研究方向：偏微分方程,E-mail: pcq1979@163.com

基金項目中南民族大學研究生創(chuàng)新基金資助項目(2014sycxjj125);中南民族大學中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(CZY12013)

中圖分類號O175.25文獻標識碼A

收稿日期2014-10-17

The Existence of Nontrivial Solutions for a Class of

Asymptotically linear Elliptic System with Parameters

PengChaoquan,LiuYing,WangFang

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

AbstractIn this paper,a class of asymptotically linear elliptic system with parameters is studied.The nonlinear term of this elliptic system does not satisfy increasing condition. Under certain conditions, the existence of nontrivial solution to the system is obtained by using Mountain pass theorem.

Keywordsasymptotically linear system; Mountain Pass theorem;nontrivial solution

1問題的引入

本文考慮如下一類帶參數的半線性橢圓型方程組

(1)

∫Ωf(x,u)φdx-∫Ωg(x,v)ψdx.

與方程組(1)對應的能量泛函為:

I(u,v)=

∫ΩF(x,u)dx-∫ΩG(x,v)dx,

在過去幾十年里,很多學者關注于研究橢圓方程組(1)中f,g為超線性,參數λ=μ=0的情形[1-3],他們在分數維Sobolev空間中討論相關問題非平凡解的存在性.在文[4]中LiGB和YangJF利用環(huán)繞定理討論了漸近線性方程組：

-Δu+u=g(x,v),-Δv+v=f(x,u),x∈N,

正解的存在性.而文[5]討論了方程組(1)中λμ>1,f,g漸近線性時的情形.在文[5]中f,g滿足如下條件:

(H1) f,g∈C1(Ω×,),f(x,t)=g(x,t)=0若t≤0;

文[5]利用帶(PS)條件的山路定理,得到了方程組(1)非平凡解以及最小能量解的存在性.在文[5]中,單調性條件(H4)在驗證(PS)序列的有界性時起到了重要的作用.本文擬考慮方程組(1)中λμ>1,f,g為漸近線性但不滿足(H4)的情形.為了證明(C)C序列的有界性,我們引入文[6]中提到的條件.

本文的主要結果為定理1.

定理1假設條件(H1)～(H3),(H5)成立,如果λ,μ非負,λμ>1且有λ1

2預備知識

因為λ,μ非負且滿足λμ>1,由文[5]可知,我們可以在E上定義一個等價范數:

因此,與方程組(1)對應的能量泛函可寫為：

I(z)=I(u,v)=

為了證明定理1,我們將用到文[7-9]中提出的山路定理.

引理1設E為Banach空間,I∈C1(E,R)且I滿足：

3定理1的證明

引理3[5]假設函數f(x,t)滿足條件(H1)～(H3),則有:

(1) ?ρ,β>0,使得I(z)≥β,‖z‖=ρ;

(2) ?e∈E,‖e‖≥β使得I(e)<0.

定理1的證明由引理1及引理3可知,存在序列{zn}?E滿足：

I(zn)→c≥β>0,(1+‖zn‖)I′(zn)→0.

(2)

因為Ω為有界區(qū)域,由Sobolev嵌入定理可知,為了得到非平凡解的存在性,只需證明{zn}在E中有界.

我們用反證法來證明.假設當n→∞時有‖zn‖→∞.由式(2)可知,?M1>0使得:

(3)

其中H(zn)=f(x,un)un-2F(x,un)+g(x,vn)vn-2G(x,vn).

因為I(zn)→c,從而?M2>0,使得當n充分大時有:

由條件(H1)～(H3)可知,?M3>0使得F(x,t)≤M3t2,G(x,t)≤M3t2,對?(x,t)∈Ω×成立,從而有:

(4)

(5)

這與式(3)矛盾,從而定理1得證.

參考文獻

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