宋 斌，顏根廷，鄭鵬飛

（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

0 引言

實(shí)際航天器姿態(tài)控制中，經(jīng)常面臨多種約束的工程設(shè)計(jì)問題。航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)不可能輸出無限大的力或力矩，這就要求設(shè)計(jì)的控制律要盡可能滿足航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)最大輸出的限制，即輸入飽和問題［1－8］。文獻(xiàn)［1］提出了一種基于修正的符號函數(shù)形式的控制器，通過引入一時(shí)變參數(shù)證明了系統(tǒng)在輸入飽和條件下的嚴(yán)格穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［2］提出了一種基于雙曲正切函數(shù)形式的控制器，通過引入一時(shí)變的銳度參數(shù)增強(qiáng)了系統(tǒng)對干擾的抑制能力。但上述控制器均是在假設(shè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)能精確輸出的前提下設(shè)計(jì)的，實(shí)際執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安裝總不可避免地存在安裝偏差，且該偏差往往對控制精度有較大的影響［9－11］。文獻(xiàn)［9］針對執(zhí)行器不同形式的安裝偏差給出了不同的自適應(yīng)控制方法，但未同時(shí)考慮輸入飽和受限的問題。

基于上述研究，針對存在參數(shù)不確定性、外部干擾、反作用飛輪安裝偏差及控制輸入飽和受限等多種約束的航天器姿態(tài)跟蹤問題，本文研究了一種新型的姿態(tài)控制方法。

1 問題描述

1.1 航天器姿態(tài)跟蹤模型

考慮一類剛體航天器，其姿態(tài)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方程為

式中：ω＝［ω1ω2ω3］T為航天器的本體系B相對慣性系I的姿態(tài)角速度，且表示在航天器的B系中；q＝［q0q1q2q3］T為航天器B系相對I系的姿態(tài)四元數(shù)；J為航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣；u＝［u1u2u3］T為實(shí)際的控制力矩，且由反作用飛輪提供；d＝［d1d2d3］T為航天器受到的干擾力矩。對任意一向量a＝［a1a2a3］T，定義

在航天器姿態(tài)跟蹤過程中，航天器的目標(biāo)姿態(tài)角速度ωd＝［ωd1ωd2ωd3］T為坐標(biāo)系D相對Ⅰ系的姿態(tài)角速度，且表示在坐標(biāo)系D中；目標(biāo)姿態(tài)四元數(shù)qd＝［qd0qd1qd2qd3］T為航天器D系相對Ⅰ系的姿態(tài)四元數(shù)。

航天器姿態(tài)跟蹤的模型為

式中：ωe＝［ωe1ωe2ωe3］T為航天器B系相對D系的姿態(tài)角速度，且表示在 B系中；qe＝［qe0qe1qe2qe3］T為B系相對D系的姿態(tài)四元數(shù)，且

1.2 反作用飛輪安裝偏差模型

本文的控制力矩由3個(gè)在航天器本體系正交安裝的反作用飛輪提供。理想狀況下，反作用飛輪構(gòu)型如圖1所示；存在安裝偏差狀況下，反作用飛輪的構(gòu)型如圖2所示。對圖2狀況，反作用飛輪的安裝偏差矩陣可表示為

圖1 理想狀況下反作用飛輪構(gòu)型Fig.1 Configuration of reaction wheels

圖2 存在安裝偏差時(shí)反作用飛輪構(gòu)型Fig.2 Configuration with misalignments

式 中：（εi1）2＋ （εi2）2＝1；εi1，εi2∈ ｛±sin Δβi，±cosΔβi｝。此處：i＝1，2，3。

實(shí)際工程中，Δαi≤l是可得到保證的，且l通常是一已知的較小的正的常數(shù)（如l＝1°）。因此，E是一個(gè)正定的主對角線占優(yōu)的矩陣。為保證算法的普適性，本文對l值未知時(shí)的情況進(jìn)行了研究，但存在以下合理假設(shè)。

假設(shè)1：

1.3 控制問題描述

定義指令力矩uc＝［uc1uc2uc3］T，若只考慮輸入飽和，指令力矩與實(shí)際輸入力矩關(guān)系可表示為

在此基礎(chǔ)上，考慮反作用飛輪安裝偏差的影響，實(shí)際的控制輸入可表示為

考慮約束式（4）及外部干擾，針對航天器系統(tǒng)式（1）、（2），設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)

2 控制律設(shè)計(jì)

定義輔助變量s＝［s1s2s3］T為

式中：k為一時(shí)變參數(shù)。

2.1 只考慮輸入飽和

有

式中：β，ζ，γρ，γk為大于零的常數(shù)；υ＝1.5Umax；ρ為控制器調(diào)節(jié)參數(shù)，對擾動和執(zhí)行器安裝偏差自適應(yīng)補(bǔ)償；i＝1，2，3。

假設(shè)2：

定理1：考慮假設(shè)2和約束式（3），系統(tǒng)式（1）、（2）在控制律式（6）和參數(shù)自適應(yīng)律式（7）、（8）作用下，可實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)式（5）。

證明：選擇李雅普諾夫函數(shù)

求其時(shí)間導(dǎo)數(shù)

則有

式中：

代入?yún)?shù)自適應(yīng)更新律式（7），可得

由式（7）還可得

積分后有

由式（9）可知：式（10）的三個(gè)積分項(xiàng)之和有界。設(shè)其上界為λ，式（10）可變?yōu)?/p>

2.2 同時(shí)考慮輸入飽和與反作用飛輪安裝偏差

有

式中：ζ，γυ為大于零的常數(shù)；υ為一未知的大于零的常數(shù)，且υ＝1.5EUmax；為其估值；為的初始條件。

假設(shè)3：

定理2：考慮假設(shè)3和約束式（4），系統(tǒng)式（1）、（2）在控制律式（11）和參數(shù)自適應(yīng)律式（12）～（14）作用下，可實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)式（5）。

證明：選擇李雅普諾夫函數(shù)

求其時(shí)間導(dǎo)數(shù)

同理有

式中：

代入?yún)?shù)自適應(yīng)更新律式（11），可得

則同樣可證明定理2成立。

說明1：為避免有可能發(fā)生的抖振，將參數(shù)自適應(yīng)律式（13）修正為

參數(shù)自適應(yīng)律式（8）、（13）可保證0＜ρ≤β（當(dāng)0＜ρ0≤β）；修正后的參數(shù)自適應(yīng)律可保證γd＜ρ≤β（當(dāng)γd＜ρ0≤β）；雖然系統(tǒng)由漸近穩(wěn)定變?yōu)橛薪绶€(wěn)定，但穩(wěn)態(tài)精度仍可滿足工程實(shí)際的要求。

3 仿真與分析

取航天器參數(shù)：J＝diag［20 17 15］kg·m2；Umax＝±0.2N·m；

反作用飛輪

a）仿真1結(jié)果如圖3～9所示。

圖3 仿真1姿態(tài)響應(yīng)Fig.3 Time responses of attitude in case 1

由圖3～9可知：本文設(shè)計(jì)的控制方法可滿足輸入飽和受限的約束，在執(zhí)行器存在安裝偏差及面對外部干擾時(shí)，系統(tǒng)的收斂速度和指向精度依然很理想。

圖4 仿真1角速度響應(yīng)Fig.4 Time responses of velocity in case 1

圖5 仿真1姿態(tài)誤差響應(yīng)Fig.5 Time responses of attitude error in case 1

b）仿真2結(jié)果如圖10、11所示。

由圖10、11可知：在PD控制器作用下，控制精度明顯低于本文控制方法，且PD控制器在理論上并不滿足輸入飽和受限的約束。

4 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)了一種基于飽和函數(shù)形式的控制器，引入一時(shí)變的參數(shù)，理論上證明了系統(tǒng)在輸入飽和與執(zhí)行器安裝偏差時(shí)的穩(wěn)定性。另引入一時(shí)變銳度參數(shù)，增強(qiáng)了系統(tǒng)對干擾的抑制能力和系統(tǒng)對執(zhí)行器安裝偏差的適應(yīng)能力?？刂破髦胁话教炱鲬T量信息，控制器對系統(tǒng)參數(shù)的不確定性具有魯棒性。仿真結(jié)果表明：該控制方法可行且有效。

圖6 仿真1角速度誤差響應(yīng)Fig.6 Time responses of velocity error in case 1

圖7 仿真1力矩響應(yīng)Fig.7 Time responses of torque in case 1

圖8 仿真1 k響應(yīng)Fig.8 Time responses of kin case 1

圖9 仿真1ρ響應(yīng)Fig.9 Time responses ofρin case 1

圖10 仿真2姿態(tài)誤差響應(yīng)Fig.10 Time responses of attitude error in case 2

圖11 仿真2角速度誤差響應(yīng)Fig.11 Time responses of velocity error in case 2

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