李 鵬，趙吉喆，來霄毅，李志剛

（1.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201108；2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240）

0 引言

目標(biāo)熱流計(jì)算中，星體紅外輻射熱流（角系數(shù)）的求解較麻煩。對地球紅外輻射熱流，關(guān)鍵是計(jì)算地球紅外角系數(shù)，采用了多種計(jì)算方法，不斷簡化計(jì)算過程和提高計(jì)算精度［1－4］。月球紅外輻射熱流的計(jì)算與地球紅外輻射熱流不同，因月球表面大氣極為稀薄，幾乎無大氣層和大氣活動(dòng)，表面直接通過熱輻射和宇宙空間交換熱量，月球表面溫度隨緯度變化劇烈，月球紅外輻射熱流需進(jìn)行月球紅外角系數(shù)和月表溫度的耦合計(jì)算。文獻(xiàn)［5］效仿地球紅外輻射，計(jì)算得到月球平均紅外熱流，將月球紅外輻射假設(shè)為一恒定的值；文獻(xiàn)［6］根據(jù)月表溫度的分布特點(diǎn)，將月表的紅外輻射劃分3個(gè)階梯，連續(xù)分布的月球紅外輻射熱流近似為階梯分布的形式。上述文獻(xiàn)的假設(shè)和近似，使計(jì)算得到的月球紅外輻射熱流與實(shí)際存在較大偏差。本文基于月球表面對月球軌道目標(biāo)表面紅外輻射熱流的積分計(jì)算公式，結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和向量運(yùn)算，采用離散化處理，提出了月球軌道目標(biāo)表面月球紅外輻射精細(xì)計(jì)算方法。

1 月面微元選取

為便于計(jì)算任意軌道位置目標(biāo)表面受到的月球紅外輻射熱流，本文采用均勻模擬法進(jìn)行月面微元的選?。?］。

建立直角坐標(biāo)系o′-x′y′z′（如圖1所示）：以目標(biāo)位置矢量為o′x′軸；o′z軸垂直于軌道平面；o′y′軸與o′x′、o′z′軸滿足右手正交關(guān)系。其中：目標(biāo)位置矢量可由目標(biāo)軌道算得。用天頂角θ和方位角φ描述月面微元ds的位置，如圖2所示，則目標(biāo)位置的坐標(biāo)為（Rcosθ，Rsinθsinφ，Rsinθcosφ），月面微元的φ在0～2π內(nèi)均勻分布，天頂角的范圍由目標(biāo)可觀測到的月面決定，其中，最大天頂角

式中：R為月球半徑；H為目標(biāo)的軌道高度。

將θ，φ在取值范圍內(nèi)分別N1，N2等分，用每個(gè)微元中心對應(yīng)的θ，φ值描述其位置，則月面微元的面積可表示為

為進(jìn)行矢量的運(yùn)算，需要將月面微元位置描述由o′-x′y′z′系轉(zhuǎn)移到月心赤道坐標(biāo)系O-XYZ中。依次為繞o′z′軸旋轉(zhuǎn)－（υ＋ω），繞o′x′軸旋轉(zhuǎn)－i，繞o′z′軸旋轉(zhuǎn)－Ω，此時(shí)月面微元在月心赤道坐標(biāo)系中的位置矢量

式中：X，Y，Z分 別 為 坐 標(biāo) 軸o′x′、o′y′、o′z′在OXYZ系的單位向量；υ，ω，Ω，i分別為目標(biāo)軌道的真近點(diǎn)角、近地點(diǎn)幅角、升交點(diǎn)赤經(jīng)和軌道傾角。

式中：R為轉(zhuǎn)換矩陣，R＝Rz（－Ω）Rx（－i）Rz（－υω）；

此處：Rx，Ry，Rz分別為繞o′x′、o′y′、o′z′軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)換矩陣。

2 月球紅外輻射熱流

月球軌道目標(biāo)、月球、太陽輻照關(guān)系如圖3所示，則目標(biāo)所能觀測的月球表面的任意微元ds對目標(biāo)面元dA的紅外輻射熱流密度

若cosα2＜0，則cosα2＝0。

圖3 月球紅外輻射計(jì)算相關(guān)角度Fig.3 Angles for computation of moon infrared radiation

式中：dφds－dA為任意微元ds對目標(biāo)面元dA的角系數(shù)；Eds為月面微元的輻射強(qiáng)度；α1為月表微元和目標(biāo)面元的連線與月表微元法線的夾角；α2為月表微元和目標(biāo)面元的連線與目標(biāo)面元法線的夾角；L為面元至目標(biāo)的距離。

在O-XYZ系中，目標(biāo)面元的位置矢量和法線矢量分別為PdA，PndA；太陽的位置矢量為Psun；月面微元位置及其法線的矢量分別為Pds，Pnds，月面微元－目標(biāo)面元連線位置矢量為Pds－dA，其方向指向目標(biāo)，則

對目標(biāo)所能觀測的月球表面均勻采樣，只要微元數(shù)N達(dá)到一定數(shù)目，通過月面微元對目標(biāo)面元輻射熱流的累積，就能以較高精度的算得月球軌道目標(biāo)表面的月球紅外輻射熱流，則

式中：Sm為目標(biāo)可觀測到的月面面積；N＝N1N2。

3 月球表面紅外輻射強(qiáng)度

月球地表溫度與緯度、地表土壤的熱物性有關(guān)，目前月壤的物性主要來自有限的樣本，不夠準(zhǔn)確和全面。本文不考慮月球地表熱物性的影響，根據(jù)能量平衡關(guān)系，即月球日照面每一微面積的紅外熱流和吸收的太陽熱流能量平衡，可得月表紅外熱流計(jì)算式為

月面微元的溫度

式中：S為太陽常數(shù)；ρ為月球反射率；β為太陽角，定義為太陽的位置矢量與月面微元法線的矢量的夾角（參見圖2）；σ為斯蒂芬－波爾茲曼常數(shù)［7］。

由矢量運(yùn)算公式可得

4 目標(biāo)面元軌道上位置與法線矢量計(jì)算

如目標(biāo)軌道六根數(shù)已確定，就可計(jì)算出任何時(shí)刻目標(biāo)的位置，其計(jì)算式為

式中：r為目標(biāo)的位置矢量；r為月心赤道坐標(biāo)系中坐標(biāo)原點(diǎn)至目標(biāo)的距離，且

此處：a，e分別為半長軸和偏心率［8］。

目標(biāo)面元法線矢量計(jì)算式為

式中：［xfyfzf］T為目標(biāo)面元法線在o′-x′y′z′系中的單位矢量。

5 計(jì)算驗(yàn)證及實(shí)例分析

5.1 計(jì)算驗(yàn)證

用本文計(jì)算方法和計(jì)算程序計(jì)算典型工況下地球紅外輻射角系數(shù)，與輻射交換系數(shù)手冊中理論解析公式得到的相應(yīng)工況下地球紅外輻射角系數(shù)進(jìn)行比對，驗(yàn)證本文計(jì)算方法的有效性，結(jié)果見表1［9］。對應(yīng)的工況為：H＝300km，目標(biāo)表面法線與目標(biāo)－地心連線的夾角δ變化范圍為0°～180°。由表可知：本文的計(jì)算結(jié)果和輻射交換角系數(shù)手冊（解析解）的數(shù)據(jù)非常接近。

5.2 實(shí)例計(jì)算與分析

選取典型月球軌道：圓軌道，高度200km，軌道參數(shù)中軌道傾角i和升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω變化，其他均設(shè)為0。太陽沿月心赤道坐標(biāo)系的－X向入射，S＝1 414W／m2。分別在i＝0°，Ω＝0°；i＝30°，Ω＝30°；i＝60°，Ω＝60°；i＝90°，Ω＝90°條件下計(jì)算，所得不同繞軌道飛行角度時(shí)目標(biāo)表面所受月球紅外輻射熱流密度和對應(yīng)的月表溫度如圖4所示，目標(biāo)表面所受月球紅外輻射熱流密度如圖5所示。各曲線的0°為相應(yīng)軌道的升交點(diǎn)，同時(shí)仿效地球紅輻射的特點(diǎn)，將月球紅外輻射進(jìn)行整個(gè)月表面積上的平均，計(jì)算出月球軌道上目標(biāo)表面的平均月球紅外熱流密度。由圖可知：月球軌道目標(biāo)表面所受的月球紅外輻射熱流在整個(gè)軌道周期內(nèi)，特別是在陽光區(qū)變化很大，陽光區(qū)月球紅外輻射熱流最大1 000W／m2，與太陽輻射的熱流強(qiáng)度相當(dāng)，陰影區(qū)月球紅外輻射熱流接近于零；不同月球軌道上目標(biāo)表面所受月球紅外輻射熱流周期變化的差異亦很大，與目標(biāo)表面對應(yīng)的月面區(qū)域的溫度的變化相呼應(yīng)，當(dāng)太陽光入射矢量與軌道面垂直（如i＝90°，Ω＝90°）時(shí)，月球軌道位于月球光照區(qū)和陰影區(qū)的交界面內(nèi)，目標(biāo)表面所受的月球紅外輻射熱流在軌道周期內(nèi)為一定值（40W／m2）；仿效地球紅輻射的特點(diǎn)，將月球紅外輻射進(jìn)行整個(gè)月表面積上的平均，得到目標(biāo)表面的平均月球紅外熱流密度253W／m2，月球紅外輻射與地球紅外輻射的特點(diǎn)有較大差異。在月球軌道飛行器熱控設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)充分考慮月球紅外輻射的特點(diǎn)，對月球紅外輻射進(jìn)行精確的模擬。

圖5 不同月球軌道上月球紅外輻射熱流周期內(nèi)變化Fig.5 Varietion of moon infrared radian with different orbits

圖6 不同δ下周期內(nèi)月球紅外輻射熱流Fig.6 Moon infrared radian with different angleδ

不同δ下，軌道周期內(nèi)（軌道為i＝0°，Ω＝0°）目標(biāo)表面所受月球紅外輻射熱流如圖6所示。由圖可知：隨著δ的增大，目標(biāo)表面所受月球紅外輻射熱流逐漸減小，當(dāng)δ大于一定角度后，月球紅外輻射熱流為0，這是合理的。可見，采用本文的模型和方法可計(jì)算任意形狀的飛行器任意表面所受月球紅外輻射熱流。

6 結(jié)束語

本文對月球軌道目標(biāo)表面月球紅外輻射的精細(xì)計(jì)算方法進(jìn)行了研究。該法用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和向量運(yùn)算，便于編程計(jì)算，同時(shí)有廣泛的通用性，可計(jì)算得到任意星體、任意軌道、任意幾何形狀目標(biāo)的星體紅外輻射熱流。用本文的方法算得的典型工況下地球紅外輻射角系數(shù)，與輻射交換系數(shù)手冊中理論解析公式得到的相應(yīng)工況下地球紅外輻射角系數(shù)相近，間接地驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的有效性和較高的計(jì)算精度。

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