七星彩的中獎(jiǎng)概率分布的計(jì)算問(wèn)題*

劉永君

(河南機(jī)電高等專(zhuān)科學(xué)校 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易系，河南 新鄉(xiāng) 453000)

摘要:論文根據(jù)計(jì)算和分析需要提出了相符位、分隔位、片段、片段長(zhǎng)度、同長(zhǎng)片段數(shù)等概念并論證了這些變量的取值規(guī)律,窮舉出片段所有可能的組合,共22種,不同的片段排列就有不同的投注號(hào)碼,在相同條件下,一個(gè)分隔位被其他9個(gè)數(shù)字中的一個(gè)替換掉也可生成一個(gè)不同的投注號(hào)碼,然后遵循古典法計(jì)算概率的規(guī)則和投注號(hào)碼的數(shù)量計(jì)算七星彩的中獎(jiǎng)概率分布就變得簡(jiǎn)潔明了,論文最后還檢驗(yàn)了概率分布的計(jì)算結(jié)果。

關(guān)鍵詞:相符位；分隔位；片段；片段長(zhǎng)度；同長(zhǎng)片段數(shù)；片段排列數(shù)

收稿日期：*2015-01-10

作者簡(jiǎn)介：劉永君(1971-),男,河南溫縣人,副教授，主要從事統(tǒng)計(jì)與管理研究。

中圖分類(lèi)號(hào)：O211.2

七星彩是由國(guó)家體育總局體育彩票管理中心統(tǒng)一發(fā)行的彩票。從0-9這10個(gè)自然數(shù)中可重復(fù)地任意選擇7個(gè)有序數(shù)字就組成一注七星彩的投注號(hào)碼。每一注投注號(hào)碼的獲獎(jiǎng)等級(jí)是根據(jù)其與開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼的相符情況確定的,具體情況如表所示。七星彩的游戲規(guī)則規(guī)定每注投注號(hào)碼只有一次中獎(jiǎng)機(jī)會(huì),不兼中兼得。[1]

表1　七星彩投注號(hào)碼的獲獎(jiǎng)等級(jí)表

由于七星彩的獲獎(jiǎng)規(guī)定與二項(xiàng)概率分布模型不一致,不能使用二項(xiàng)分布模型計(jì)算。部分媒體發(fā)布的七星彩中獎(jiǎng)概率分布也存在較大的差異,具體情況如表2所示。因此,七星彩獲獎(jiǎng)概率分布問(wèn)題是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。

表2　部分媒體公布的七星彩概率分布表

1組合與排列法計(jì)算七星彩獲獎(jiǎng)概率分布的基本概念

1.1分隔位、相符位的概念

七星彩的投注號(hào)碼是從“0000000”“0000001”“0000002”…“9999999”這10000000個(gè)號(hào)碼中選擇的號(hào)碼,共有10000000種可能。

根據(jù)七星彩的開(kāi)獎(jiǎng)結(jié)果,任何一注七星彩的7位數(shù)字可以被分成“分隔位”和“相符位”兩種。具體來(lái)說(shuō),投注號(hào)碼中的某個(gè)數(shù)字如果與開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼相應(yīng)位置上數(shù)字不同,這個(gè)數(shù)字所處的位置就叫作“分隔位”,用0表示,如果與開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼相應(yīng)位置上的數(shù)字相同,這個(gè)數(shù)字所處的位置就叫作“相符位”,用1表示。

用t表示一注投注號(hào)碼的相符位數(shù),用h0表示投注號(hào)碼的分隔位數(shù),顯然,t+h0=7。

1.2片段、片段總數(shù)、片段長(zhǎng)度、關(guān)鍵片段的概念

片段:一注投注號(hào)碼中相連的相符位整體,稱(chēng)為片段。一個(gè)與其他相符位不相連的、獨(dú)立的相符位也是一個(gè)片段。

片段總數(shù):一注投注號(hào)碼中包括的片段數(shù)量,用g表示。如果一注號(hào)碼中沒(méi)有相符位,則g=0。

片段長(zhǎng)度:一個(gè)片段中包括的相符位數(shù)的多少稱(chēng)為片段長(zhǎng)度。長(zhǎng)度是片段的一個(gè)重要特征,每個(gè)片段都可用其長(zhǎng)度表示。由獨(dú)立的相符位構(gòu)成的片段的長(zhǎng)度為1。

關(guān)鍵片段:一注投注號(hào)碼中長(zhǎng)度最大的片段稱(chēng)為關(guān)鍵片段。

關(guān)鍵片段決定一注投注號(hào)碼的獲獎(jiǎng)等級(jí),關(guān)鍵片段的長(zhǎng)度用h1表示,其余片段按長(zhǎng)度大小分別用h2、h3…h(huán)g表示。

需要強(qiáng)調(diào)的是:hi表示第i個(gè)(按長(zhǎng)度大小排列)片段的長(zhǎng)度,如果同一投注號(hào)碼中另一片段的長(zhǎng)度與第i個(gè)相等,依然用hi+1表示。因此,hi為整數(shù),且7≥h1≥h2≥…≥hg≥1。

例如:對(duì)于形如“0111111”的投注號(hào)碼,其中的片段“111111”是不可分割的一個(gè)整體。因此形如“0111111”的投注號(hào)碼有且僅有一個(gè)片段,這個(gè)片段由是由6個(gè)(h1=6)連續(xù)相符位組成的一個(gè)(g=1)片段;對(duì)于形如1101111的投注號(hào)碼,g=2,h1=4,h2=2;對(duì)于形如1010101的投注號(hào)碼,g=4,h1=h2=h3=h4=1。

1.3同長(zhǎng)片段數(shù)的概念

用zi表示一注投注號(hào)碼中,片段長(zhǎng)度的第i(由大到小順序排列)個(gè)值,即z1>z2>z3>…>zk。用mi表示第i(由大到小順序排列)個(gè)片段長(zhǎng)度值z(mì)i在一注投注號(hào)碼中出現(xiàn)的次數(shù)。顯然有:

zi為整數(shù)且7≥zi≥1;

本文定理4和定理5將證明:在一注投注號(hào)碼中,zi最多可以取兩個(gè)不同的值,即只存在z1或只存在z1、z2。若zi可以取z1、z2兩個(gè)值,那么,與z1、z2相應(yīng)的次數(shù)m1、m2中至多有一個(gè)大于1。

我們稱(chēng)m1與m2的最大值為同長(zhǎng)片段數(shù),用字母m表示。

2變量hi、g、t、zi、mi之間的數(shù)量關(guān)系

定理2一注投注號(hào)碼中,最多有4個(gè)片段,即g≤4。

證明:兩個(gè)片段之間至少被一個(gè)分割位隔開(kāi),g≤h0+1

g≤4,即:一注七星彩投注碼最多有4個(gè)片段。

定理3對(duì)于一注投注號(hào)碼,若存在4個(gè)片段,即g=4,則這4個(gè)片段的長(zhǎng)度都為1,即:h1=h2=h3=h4=1。

證明:g=4,g≤h0+1,h0≥3

由于h1、h2、h3…h(huán)g表示的是片段的相符位數(shù),因此,hi為大于等于1的整數(shù), 必然有:h1=h2=h3=h4=1。

定理4一注投注號(hào)碼中片段的長(zhǎng)度最多有兩個(gè)互不相同的取值。

證明采用反證法。設(shè)一注投注號(hào)碼中的片段存在3個(gè)互不相同的長(zhǎng)度值z(mì)1、z2、z3,即投注號(hào)碼中有3個(gè)長(zhǎng)度互不相同的片段,即g=3。由于存在3個(gè)片段,至少需要兩個(gè)分割位,即h0≥2。

令z1、z2、z3分別取它們的最小值,分別為3、2、1。則相符位數(shù):

t=z1+z2+z3=3+2+1=6

由此可得t+h0≥6+2=8,這與七星彩的相符位數(shù)與分割位數(shù)之和比為7,即t+h0=7相矛盾。因此可以肯定:一注投注號(hào)碼中的片段最多有兩種長(zhǎng)度值。

定理5若一注投注號(hào)碼中的片段有兩種不同的長(zhǎng)度值z(mì)1、z2,相應(yīng)的次數(shù)分別為m1、m2,則m1、m2中至多有一個(gè)大于1。

證明采用反證法:m1+m2=g,z1m1+z2m2=t,g≤h0+1

t+g≤t+h0+1,即:z1m1+z2m2+(m1+m2)≤t+h0+1=8

(z1+1)m1+(z2+1)m2≤8

若m1、m2中的最小值為2,則:

8≥(z1+1)m1+(z2+1)m2≥2×[(z1+1)+(z2+1)]=2×(z1+z2)+4

z1+z2≤2,因此,z1、z2均為1,這與z1、z2為不同的值相矛盾。

3七星彩各個(gè)獲獎(jiǎng)等級(jí)的投注號(hào)碼數(shù)量計(jì)算

計(jì)算七星彩各個(gè)獎(jiǎng)級(jí)的投注號(hào)碼數(shù)量計(jì)算是計(jì)算獲獎(jiǎng)等級(jí)概率分布的關(guān)鍵,計(jì)算每一獎(jiǎng)級(jí)的投注號(hào)碼數(shù)量需要先列出片段的組合情況,然后計(jì)算每一種組合的排列數(shù),最后計(jì)算由于分割位不同形成的投注號(hào)碼數(shù)。這個(gè)過(guò)程的關(guān)鍵仍然是找出其中的規(guī)律,簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,防止重復(fù)和遺漏。

3.1各獲獎(jiǎng)等級(jí)的片段組合情況列表

組合情況就是不考慮片段在投注號(hào)碼中的位置,即:將若干注投注號(hào)碼中的片段按長(zhǎng)度排列,若兩注號(hào)碼的片段數(shù)量和長(zhǎng)度依次相等,它們就屬于同一種組合。

h1的大小決定投注號(hào)碼的獲獎(jiǎng)等級(jí),七星彩各獲獎(jiǎng)等級(jí)的投注號(hào)碼中片段的組合情況就是在給定h1的情況下,h2以及h3、h4的取值情況。

顯然h1的最大取值為7,可以取“7、6、5、4、3、2、1、0”這8個(gè)值中的任意一個(gè)值,有8種情況。由于h1≥h2≥h3≥h4,當(dāng)hk=0時(shí),hk=hk+1=hk+2=0。

片段長(zhǎng)度的實(shí)際取值可以等于或小于其最大取值。

在給定h1的情況下,第2個(gè)片段長(zhǎng)度h2最大取值的計(jì)算公式為:

max{min[(6-h1),h1],0}

例如:當(dāng)h1=4時(shí),h2的最大值為2。h2的值可以為“2、1、0”三個(gè)值中的任意一個(gè)值。

在給定h1、h2的情況下,第3個(gè)片段長(zhǎng)度h3最大取值的計(jì)算公式為:

例如,當(dāng)h1=3、h2=1時(shí),h3的最大值為1,h3的值可以為1、0兩種情況;當(dāng)h1=1、h2=1時(shí),h3的最大值任然為1,h3的值可以為1、0兩種情況。

在給定h1、h2、h3的情況下,第4個(gè)片段長(zhǎng)度h4最大取值的計(jì)算公式為:

例如,h1=1、h2=1、h3=1時(shí),h4的最大值為1,h4的值可以為1、0兩種情況。

根據(jù)上述方法和規(guī)則,可以窮舉h1、h2、h3、h4可能的取值,具體情況如表3所示,共22種。

3.2每種片段組合的排列數(shù)計(jì)算

表3　七星彩投注號(hào)碼的片段組合、排列及投注號(hào)碼數(shù)量分布情況表

Ai,j中的下標(biāo)i表示獲獎(jiǎng)等級(jí),j表示同一獲獎(jiǎng)等級(jí)下不同組合的編號(hào)。各個(gè)獎(jiǎng)級(jí)每種片段組合的排列數(shù)計(jì)算結(jié)果如表3第(5) 列所示。

例如,對(duì)于表3中的6等獎(jiǎng)的第3種組合,長(zhǎng)度為2的片段1個(gè),長(zhǎng)度為1的片段2個(gè),即g=3,h0+1=4,m=2。這種組合的排列數(shù)為:

用0和1表示這12種排列,它們分別是:0110101、0101101、0101011、1100101、1001101、1001011、1101001、1011001、1010011、1101010、1011010、1010110。

3.3 每種排列投注號(hào)碼數(shù)量的計(jì)算

每種排列下,投注號(hào)碼數(shù)的多少與分割位數(shù)有關(guān),每一個(gè)分割位就有9種可能供選擇,一個(gè)排列中有h0個(gè)分割位,就有9h0種投注號(hào)碼。因此,每種排列可能的投注號(hào)碼數(shù)的計(jì)算公式為:

ni,j=Ai,j×9h0

每種排列投注號(hào)碼的數(shù)量如表3所示。

3.4各獎(jiǎng)級(jí)投注號(hào)碼的數(shù)量及獲獎(jiǎng)概率的計(jì)算

某一獎(jiǎng)級(jí)投注號(hào)碼數(shù)等于該獎(jiǎng)級(jí)下每種組合投注號(hào)碼數(shù)量的和。其計(jì)算公式為:

各獎(jiǎng)級(jí)投注號(hào)碼的數(shù)量及各獎(jiǎng)級(jí)的獲獎(jiǎng)概率如表4所示。

表4　各獎(jiǎng)級(jí)的投注號(hào)碼數(shù)量

根據(jù)計(jì)算可以看出:一注七星彩投注號(hào)碼不獲獎(jiǎng)的概率高達(dá)94.513%,獲獎(jiǎng)的概率不足5.4%。

4對(duì)七星彩投注號(hào)碼獲獎(jiǎng)計(jì)算結(jié)果的驗(yàn)算

為避免投注號(hào)碼數(shù)量的重復(fù)和遺漏,對(duì)中間的關(guān)鍵過(guò)程進(jìn)行檢驗(yàn)是必要的。需要檢驗(yàn)的有兩個(gè)中間結(jié)果,一是根據(jù)二項(xiàng)分布檢驗(yàn)需要檢驗(yàn)的就是不同片段組合的排列數(shù)總和。

(1)驗(yàn)算片段組合的排列數(shù)是否正確

一注七星彩有7個(gè)號(hào)位,每個(gè)號(hào)位都有相符和不相符兩種可能。因此,投注號(hào)碼按照每個(gè)號(hào)位與開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼是否相符來(lái)分應(yīng)該有27=128種。

根據(jù)表3可以看出,22種片段組合的排列數(shù)總和為128。

(2)驗(yàn)算7位投注號(hào)碼選對(duì)0～7位的概率是否與二項(xiàng)分布模型的結(jié)果一致

一注七星彩的7個(gè)號(hào)位,每個(gè)號(hào)位是否與開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼相符的概率相等且相互獨(dú)立,每個(gè)號(hào)位與開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼相符的概率為0.1,不相符的概率為0.9,因此,一注七星彩7個(gè)號(hào)位碼與開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼相符位數(shù)為t的概率應(yīng)該是服從二項(xiàng)分布的。對(duì)表3第(7) 列的投注號(hào)碼數(shù)量按與開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼位數(shù)相符t的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)如表5所示。二項(xiàng)分布計(jì)算的概率與統(tǒng)計(jì)出來(lái)的比重完全相符。

表5　二項(xiàng)分布概率表與投注號(hào)碼與

(責(zé)任編輯呂春紅)

參考文獻(xiàn):

[1] 中國(guó)體彩網(wǎng).七星彩玩法介紹[EB/OL].http://www.lottery.gov.cn/news/10006627.shtml,2011-01-21/2014-02-16.

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