鄒陽，蔡金錠，甘露

(福州大學電氣工程與自動化學院，福建福州 350116)

0 引言

油紙復合絕緣系統(tǒng)存在于電力變壓器、電容器和電力電纜等高壓設備中．通過診斷油紙絕緣狀態(tài)可以評估電力設備的總體絕緣狀況．回復電壓法(RVM)、極化/去極化電流法(PDC)和頻域介電譜(FDS)作為一種新的無損診斷工具已經在國內外廣泛應用于電氣設備，尤其是電力變壓器絕緣系統(tǒng)的微水含量評估［1－2］．目前，絕大部分的研究主要集中在利用試驗手段定性地判斷絕緣系統(tǒng)的受潮及老化狀況［3－5］．此外，還有部分研究者從等效電路模型及其參數(shù)變化的角度去分析絕緣特征量的變化規(guī)律［6－9］，該方法把絕緣系統(tǒng)微觀機構在極化響應中提供的信息分開來，從而使研究宏觀物質與微觀結構關系變得特別方便．

在等效模型及參數(shù)研究方面，大部分學者傾向于使用擴展德拜模型．在該模型基礎上，TK Saha等［6］中利用極化/去極化電流辨識等效模型參數(shù)，但由于PDC測量對噪聲敏感，易受干擾導致測量誤差，不利于準確辨識參數(shù)．Xu Shuzhen等［7］分別利用回復電壓法及頻域介電譜法辨識模型參數(shù)，但在辨識過程中忽略了積分下限而使得辨識結果不夠精確．文獻［8］中利用回復電壓法中的極化譜(Urmax－tc)特征量——初始斜率、回復電壓最大值及峰值時間來求解電路參數(shù)．但是求解參數(shù)時需要的已知量較多，當僅有為數(shù)不多的回復電壓響應曲線(Ur－t)而非極化譜時此法無法奏效．此外，S．Birlasekaran在文獻［9］中采用回復電壓響應曲線求模型參數(shù)，利用運算電路法推導回復電壓的數(shù)學模型，但該數(shù)學模型相當復雜，涉及高次的傳遞函數(shù)零極點的求解．為建立相對簡單的數(shù)學模型，本文在擴展德拜模型的基礎上，依據(jù)回復電壓測試原理推導了回復電壓時域響應的狀態(tài)空間模型，并結合自適應粒子群算法進行未知參數(shù)求解．

1 介質響應理論及油紙絕緣系統(tǒng)等效模型

油紙絕緣系統(tǒng)實質上是一種電介質，任何電介質在外加電場作用下會產生電導和極化現(xiàn)象．極化現(xiàn)象又分為由瞬時位移極化產生的無損極化和由偶極子轉向極化、界面極化、空間電荷極化等組成的有損極化(亦稱為松弛極化)．絕緣的老化主要影響的是松弛極化，其老化信息隱藏在松弛極化現(xiàn)象中［10］．在恒定電場中，松弛極化隨著時間的變化表現(xiàn)出惰性，而串聯(lián)的電阻電容電路與松弛極化有相同的效應，故經典的“德拜”模型用一個電阻和電容串聯(lián)來等效單一電介質的松弛極化過程．后來，Jonscher［11］指出復合電介質的松弛極化可以用n個RC串聯(lián)支路并聯(lián)來等效，在數(shù)學上表示為n個松弛單元的指數(shù)函數(shù)之和．

將外電場作用下的電導、無損極化和松弛極化現(xiàn)象都考慮在內，絕緣油紙系統(tǒng)的等效電路可以用擴展德拜模型表示，如圖1．圖中R0為絕緣電阻，反映了油紙絕緣系統(tǒng)的電導現(xiàn)象;C0為幾何電容，表示真空幾何電容及無損極化的等效電容之和;其它的RC串聯(lián)支路表示時間常數(shù)為τi=RiCi的松弛極化［12］．目前，該線性模型已經被廣泛應用于電力變壓器復合油紙絕緣特性的研究中［6－9］．

圖1 基于擴展德拜模型的介質響應等效電路Fig．1 Dielectric response equivalent circuit based on extended Debye model

2 回復電壓時域響應的狀態(tài)空間建模

擴展德拜模型中的電路參數(shù)該如何辨識，首先需要建立起合理的數(shù)學模型，本文以回復電壓測試法［8］為理論依據(jù)進行推導．

回復電壓法測試的第一步是用直流電壓U0對絕緣系統(tǒng)充電tc時間，電壓UCi和電容Ci滿足等式:

第二步，將絕緣系統(tǒng)短路td時間后，UCi的表達式為:

最后，絕緣系統(tǒng)開路，根據(jù)基爾霍夫定律，剩余極化產生的回復電壓Ur(t)和電容電壓UCi滿足下面兩個等式:

其中:t為測量時間;UCi是支路i的極化電容的電壓．

公式(3)和(4)經整理變形后可得:

將式(5)轉換為矩陣形式的狀態(tài)空間表達式:

其中:UC1，…，UCn和Ur稱為狀態(tài)變量，其初始條件可以通過方程(1)和(2)計算得到:

方程(6)和方程(5)是等價的，其系統(tǒng)矩陣中包含等效電路中的2(n+1)個未知參數(shù)，即R0、C0、Ri、Ci(i=1，2，…，n)，待進一步辨識．值得注意的是，方程(5)是個多解方程組．如果{R0，C0，R1，C1，…，Rn，Cn}是方程(5)的一個解，那么{R0×K，C0/K，R1×K，C1/K，…，Rn×K，Cn/K}也是方程(5)的解，其中K為任意正實數(shù)．但是，無論K取何值，各支路的時間常數(shù)τi=RiCi始終是定值．

公式(6)、(7)的狀態(tài)空間方程可以簡寫為［13］:

其中:x為狀態(tài)變量;y為輸出變量;A為系統(tǒng)矩陣;C為輸出矩陣．

方程(9)為線性定常齊次狀態(tài)方程．若初始時刻的狀態(tài)給定為x(t0)=x0，則式(9)有唯一確定解:

若初始時刻從t=0開始，即x(0)=x0，則其解為

其中:eAt被稱為狀態(tài)轉移矩陣，它不是一個常數(shù)矩陣，它的元素一般是時間的函數(shù);從時間的角度而言，這意味著它使狀態(tài)變量隨著時間的推移，不斷地在狀態(tài)空間內作轉移．利用狀態(tài)轉移矩陣可以從任意指定的初始時刻x(t0)，求得任意時刻t的狀態(tài)變量x，然后再根據(jù)方程(10)即可計算出輸出變量y．

eAt的直接求解表達式為:

這個公式如果通過手工計算是很困難的，但是在計算機上可以利用MATLAB中的“initial．m”或“control．m”函數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)的x0、A、C求解出輸出量y．

3 結合改進粒子群算法實現(xiàn)參數(shù)辨識

3．1 自適應粒子群算法

粒子群(PSO)算法的核心思路是通過跟蹤粒子當前的局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解來更新粒子的速度和位置，當達到中止條件時，將當前的全局最優(yōu)解作為該問題的最優(yōu)解［14］．為提高標準粒子群的效率及保證收斂，通常采用帶線性遞減的慣性權重或收縮因子的粒子群．本文將使用Clerc［15］提出的采用收縮因子粒子群算法(CPSO)為基本粒子群，并在其基礎之上略加改進．

設種群搜索空間大小為X，粒子Pi的位置Xi=(xi1，xi2，…，xin)，速度Vi=(vi1，vi2，…，vin)，個體極值Pbi=(Pbi1，Pbi2，…，Pbin)，種群全局極值Pgi=(Pgi1，Pgi2，…，Pgin)．CPSO的粒子速度和位置更新公式為:

其中:μ=0．729為收縮因子，用來控制速度的權值;r1和r2為［0，1］之間的隨機數(shù);c1和c2為學習因子，通常取為2．

CPSO算法雖然收斂快速，但粒子在不斷迭代的過程中迅速喪失種群的多樣性，向局部最優(yōu)解聚攏，呈現(xiàn)趨同性，容易發(fā)生早熟現(xiàn)象［14］．因此本文在CPSO算法中引入變異和交叉算子，使種群獲得新的基因，改變粒子群的前進方向，讓粒子進入其它區(qū)域進行搜索，從而降低其陷入局部最優(yōu)的可能性［16］．因其具有自動適應粒子在搜索過程中的不同分布情況而調整搜索方向的功能，故屬于自適應粒子群算法(簡寫為ACPSO)．

對所有粒子速度的各維分配分布于［0，1］的隨機數(shù)λi，判斷小于給定的變異率pm，則該粒子速度的該維相量按公式(16)在解空間重新初始化，即:

式中:vmax和vmin分別為vid的上下限;r為［0，1］之間的隨機數(shù)．對m個粒子都實施上述變異操作，則種群變異完成．在進行變異操作后，各粒子迄今找到的最優(yōu)位置仍然記憶．接著，對變異后的種群再按照給定的交叉率pc進行粒子位置交換，生成新的種群，然后進入新一輪的尋優(yōu)搜索．

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3．2 等效電路參數(shù)的辨識

3．2．1 適應度函數(shù)的建立

根據(jù)模型特點建立合理的適應度函數(shù)是影響粒子群尋優(yōu)效果的重要因素之一．本文引入平均相對誤差(MRE)［9］作為適應度函數(shù)，同時它也是評估計算值與測量值之間的誤差指標．

其中:Nc為參與計算的不同充電時間的回復電壓響應曲線的條數(shù);Ns為每條回復電壓響應曲線上的采樣點數(shù);Nall為全部的采樣點數(shù)，Nall=Nc×Ns．UMeas、UCalc分別為同一充電時間、同一時刻下，回復電壓曲線的采樣值和通過狀態(tài)空間方程(6)、(7)輸出的回復電壓計算值．理想情況下，采樣值與計算值的差為零．

3．2．2 算法流程

設未知量X=［R0，C0，R1，C1，…，Rn，Cn］，通過以下步驟實現(xiàn)對未知參數(shù)的辨識．

Step1:初始化粒子群．初始化粒子位置X、速度v、個體極值Pb、全局極值Pg，設置最大迭代次數(shù)Tmax和收斂精度e及變異率pm和交叉率pc;

Step2:調用子函數(shù)計算各個粒子的適應度值．該子函數(shù)可以實現(xiàn)狀態(tài)空間方程(6)、(7)的計算，得到UCalc后將其代入公式(17)求出適應度值;

Step3:確定各粒子的個體極值Pbi和全局極值Pgi;

Step4:根據(jù)式(14)和(15)更新粒子的速度和位置．更新后的速度和位置必須在其限值范圍內，若超出范圍，則將該速度和位置限制在它們的上、下限值;

Step5:交叉與變異．依據(jù)變異率pm和交叉率pc及公式(16)生成新的種群;

Step6:判斷全局最優(yōu)解所對應的適應度值是否滿足精度要求或者達到最大迭代次數(shù)．如果滿足終止判據(jù)，則輸出該問題的最優(yōu)解，令其為最后一次迭代更新的全局最優(yōu)解;否則返回Step2．

4 實例驗證

文獻［9］提供了一臺300 MV·A油紙絕緣變壓器的回復電壓測試曲線，見圖2．測試當天天氣晴朗，現(xiàn)場環(huán)境基本無干擾．充電電壓U0=100 V，充電時間分別設置為tc=1、3、6、10、30、60、100、300、600、1 000 s;充放電時間比 tc∶td為2 ∶1，結合文獻［6］和［9］的結論，支路數(shù) n取3、4、5、6、7．

首先，先選取文獻中最常用到的n=6條支路進行擬合．對10條不同充電時間的回復電壓曲線采樣，每條曲線采50個點，然后將采樣值UMeas帶入方程(17)，并根據(jù)3．2．2節(jié)介紹的算法流程進行尋優(yōu)，X的變化范圍設置為［0．01，300］．10條充電時間不同的回復電壓響應曲線的測量值與計算值的比較見圖2，表1是n=6時的等效電路參數(shù)辨識結果．從圖2的對比來看，計算值與測量值的誤差很小，大部分曲線，特別是tc=10、30、300 s基本重合，證明了本文所提出的辨識方法的有效性．

圖2 回復電壓測量曲線與計算曲線對比圖Fig．2 RVM spectrum of measured and calculated

表1 n=6時的等效電路參數(shù)辨識結果Tab．1 Fitted ED model parameters and its time constants at n=6

接著，分別選取n=3、4、5、7條支路進行擬合計算．表2給出了模型弛豫支路數(shù)n不同時，辨識出的各條支路的時間常數(shù)及辨識誤差，圖3描出了n個不同時10條曲線的MRE值．圖中的每個點代表相應充電時間tc的單條回復電壓曲線的平均相對誤差．

表2 n不同時的時間常數(shù)及MRE值Tab．2 Relaxation time constant and MRE at different n

從表2中的MRE的變化規(guī)律看，當支路數(shù)n≤5時，其值逐漸減小，n=6時達到最小，當n=7時其值又略增大了些．由圖3曲線可以看出，當n=5、6、7這三種情況時，辨識誤差相差甚微．當n=3、4時，tc=1 s的回復電壓響應曲線的擬合效果最差;當n=5、6、7時，tc=100 s的回復電壓響應曲線的擬合效果最差．總體上，n=5、6、7的擬合誤差比n=3、4來的小，效果更好，僅在tc=100 s時擬合效果不理想:

因此，從表2和圖3的分析來看，針對該臺變壓器，選擇6條支路進行辨識最合適，根據(jù)有兩點:一是其MRE值最小，僅為2．049 9%;二是除了tc=100 s這條曲線的MRE值比n=3和4的擬合誤差大外，其他9條曲線的擬合結果都更好．

最后，與文獻［9］所算結果作個對比．本文所采用的誤差指標與文獻［9］相同，觀察表2的MRE值，最大為4．065 2%，最小為2．049 9%，遠比文獻［9］的變化幅度?。?列出了文獻［9］中僅給出的7條支路的詳細參數(shù)及擬合誤差3．3%，而本文所計算的參數(shù)結果與其并不一樣，7條支路的誤差僅為2．051 6%，且計算的回復電壓曲線較前者重合度高;特別地，前者在tc=10和tc=30 s這兩條曲線的擬合效果明顯比較差(詳見文獻［9］的圖10)．故從數(shù)學擬合角度上看說該方法比文獻［9］的辨識方法更佳．

圖3 n不同時的單條回復電壓曲線MRE值對比圖Fig．3 Comparison of MRE of each RVM response fitting

表3 n=7時本文結果與文獻［9］結果對比Tab．3 The paper’s results compare with reference［9］at n=7

5 結語

本文建立了利用回復電壓響應曲線辨識油紙絕緣系統(tǒng)等效電路參數(shù)的狀態(tài)空間模型，結合自適應粒子群算法有效求解出電路參數(shù)，并實例辨識了一臺油紙絕緣變壓器的等效電路參數(shù)，通過辨識結果所對應的回復電壓曲線與測量曲線的對比，驗證了本文提出的辨識方法是可行的．此外，還對比了采用不同支路數(shù)后的辨識情況，得出在本文方法下該臺變壓器選擇6條支路辨識效果最佳．最后比較了文獻［9］對該臺變壓器的辨識結果，說明了本文方法擬合精度較高．但是，本文對于支路數(shù)與辨識結果的討論都是從數(shù)學擬合角度來進行分析，有一定的局限性，而實際物理意義上的關系及適用性還有待進一步研究．