戴曼娜，林培杰，程樹英，蘇詩薦，鄭柏春

(福州大學(xué)微納器件與太陽能電池研究所，福建福州 350116)

0 引言

高斯粒子濾波(Gaussian particle filtering，GPF)是一種免重采樣粒子濾波算法，通過蒙特卡羅方法直接獲取分布的估計(jì)均值和協(xié)方差，避免了重要性重采樣帶來的樣本貧化問題，改善了算法的收斂特性和并行實(shí)現(xiàn)，在非線性系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛［1－2］．但由于高斯粒子濾波是假定在貝葉斯最優(yōu)估計(jì)框架下濾波的，預(yù)測(cè)概率分布采用單峰高斯分布，當(dāng)真實(shí)后驗(yàn)分布為多峰分布時(shí)，單峰高斯假設(shè)就不能滿足貝葉斯估計(jì)精度．與其他粒子濾波理論相似，GPF算法只給出了基本的濾波框架，具體的實(shí)現(xiàn)方法多種多樣．2003年，Kotecha等［3］首次提出GPF的概念，并給出相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)框架．Wu、Hu等［4］提出半高斯濾波算法，改進(jìn)了GPF的結(jié)構(gòu)．Yang和Zhou［5］以及Kotecha等［6］對(duì)GPF進(jìn)行改進(jìn)，在一定程度上提高了濾波精度．

1995年，美國社會(huì)心理學(xué)家Kennedy和電氣工程師Eberhart首次提出了粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法［7－8］．這是一種有效的基于群體智能指導(dǎo)的迭代搜索最優(yōu)解的全局尋優(yōu)算法．該算法具有較好的初始種群魯棒性，在算法初始階段收斂速度快，且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，需調(diào)整的參數(shù)較少，得到的最優(yōu)解精度較高．近年來，國內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)PSO算法的研究逐漸深入，在工程應(yīng)用方面［9－12］研究頗多．

針對(duì)高斯粒子濾波的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出一種新的基于粒子群優(yōu)化算法的高斯粒子濾波算法(PSOGPF)，用于解決粒子退化問題和多峰分布情況下濾波精度下降的問題．PSO－GPF算法在GPF采樣過程中，利用PSO算法引入最新的測(cè)量值，使得采樣分布向高后驗(yàn)概率區(qū)域運(yùn)動(dòng)，改善了粒子群之間的信息交流，提高了多峰分布情況下的估計(jì)精度．考慮到經(jīng)典的PSO算法會(huì)陷入局部最優(yōu)，因此，在經(jīng)典的PSO算法中加入收縮因子促使粒子跳出局部極值，幫助算法在全局范圍內(nèi)找到最優(yōu)值．同時(shí)，該算法選擇高斯密度函數(shù)作為建議分布，不斷更新粒子速度，化簡(jiǎn)濾波結(jié)構(gòu)，解決粒子退化的問題，其收斂性好于經(jīng)典的PSO算法．經(jīng)測(cè)試，該算法能提高高斯粒子濾波的精度和穩(wěn)定性，有效改善高斯粒子濾波的濾波性能．

1 高斯粒子濾波算法

高斯粒子濾波算法通過高斯密度函數(shù)來近似狀態(tài)后驗(yàn)概率密度函數(shù)和預(yù)測(cè)概率密度函數(shù)．其基本思想就是從目標(biāo)狀態(tài)的先驗(yàn)概率密度函數(shù)中抽取N個(gè)帶權(quán)值的樣本{xik，wik}Ni=1，通過回歸遞推來求解后驗(yàn)概率密度函數(shù)的均值和協(xié)方差．同時(shí)，高斯粒子濾波中測(cè)量更新和預(yù)測(cè)更新所使用的粒子群是經(jīng)過高斯采樣得到．由于初始粒子群可以在程序運(yùn)行前事先得到，因此，高斯粒子濾波中的初始粒子群生成過程不會(huì)對(duì)算法的實(shí)時(shí)性產(chǎn)生較大影響．同時(shí)，這也為使用復(fù)雜度更高更精確的高斯采樣算法生成初始粒子群提供了方便．此外，在每次迭代濾波時(shí)都要重新產(chǎn)生采樣粒子，所以不會(huì)出現(xiàn)由于迭代次數(shù)不斷增加而造成的一般粒子濾波器存在的“粒子退化”問題，避免了一般粒子濾波器所需要的二次采樣過程．

2 帶壓縮因子的PSO算法

2．1 基本的PSO算法

PSO算法的整個(gè)過程可以表述為:隨機(jī)初始化一個(gè)粒子群，粒子總數(shù)為N，其中第i個(gè)粒子在d維空間的位置表示為Xi=(xi1，xi2，…，xid)，速度表示為Vi=(vi1，vi2，…，vid)．每一次迭代時(shí)，粒子通過兩個(gè)極值來更新自己的速度和位置．將粒子從初始到當(dāng)前迭代為止搜索產(chǎn)生的最優(yōu)適應(yīng)度值作為個(gè)體極值Pbest，記為Pi=(pi1，pi2，…，pid)．將種群目前為止的最優(yōu)適應(yīng)度值作為全局極值Gbest，記為G=(g1，g2，…，gd)，而Gbest為Pbest的最優(yōu)．在找到這兩個(gè)最優(yōu)適應(yīng)度值后，用公式(1)和(2)來分別對(duì)第t+1次迭代時(shí)第i個(gè)粒子第j維的速度vij(t+1)和位置xij(t+1)進(jìn)行更新:

下式中隱含了單位時(shí)間為1 s，根據(jù)公式:距離=時(shí)間(1 s)×速度，可以根據(jù)公式(2)，利用速度進(jìn)行位置更新:

其中:Rand是介于(0，1)的均勻分布隨機(jī)數(shù);w稱為慣性系數(shù);c1和c2是正的學(xué)習(xí)因子．粒子群優(yōu)化算法通過計(jì)算適應(yīng)度值將所有的粒子向最優(yōu)粒子移動(dòng)．適應(yīng)度函數(shù)fitness定義如下:

其中:Rk是測(cè)量噪聲方差;zNew和zPred分別是最新測(cè)量值和預(yù)測(cè)測(cè)量值．

2．2 帶壓縮因子的PSO算法

學(xué)習(xí)因子c1和c2決定了粒子本身經(jīng)驗(yàn)信息和其他粒子的經(jīng)驗(yàn)信息對(duì)粒子運(yùn)行軌跡的影響，反應(yīng)了粒子群之間的信息交流．c1較大，會(huì)使粒子過多地徘徊在局部范圍內(nèi);c2較大，又會(huì)使粒子過早收斂到局部最小值．

引入了壓縮因子的PSO算法可以有效地控制粒子的飛行速度，有效地平衡了粒子的全局探測(cè)與局部開采之間的關(guān)系，其速度和位置的更新公式為:

壓縮因子f按下式計(jì)算:

為保證算法的順利求解，c1+c2必須大于4．

帶壓縮因子的PSO算法的具體實(shí)現(xiàn)流程如下:

Step 1 隨機(jī)初始化種群中粒子的位置和速度;

Step 2 根據(jù)公式(3)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度，將當(dāng)前各粒子的位置和適應(yīng)度存儲(chǔ)在各粒子的Pbest中，選取出所有Pbest中適應(yīng)度最優(yōu)個(gè)體，將其位置和適應(yīng)度存儲(chǔ)在Gbest中;

Step 3 根據(jù)公式(4)、(5)、(6)和(7)更新粒子的速度和位置;

Step 4 將每個(gè)粒子的適應(yīng)度值與其經(jīng)歷過的最好的位置的適應(yīng)度值做比較;如果粒子當(dāng)前的適應(yīng)度值較好，則將其作為該粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)值，粒子的當(dāng)前位置作為個(gè)體的最好位置;

Step 5 比較當(dāng)前所有Pbest和Gbest值，更新Gbest值;

Step 6 若滿足停止條件(一般情況下采用預(yù)設(shè)的運(yùn)算精度或者最大迭代次數(shù))，搜索停止，輸出結(jié)果;否則返回Step 3，繼續(xù)搜索最優(yōu)值．

3 PSO－GPF的改進(jìn)之處及具體步驟

3．1 PSO－GPF的改進(jìn)之處

1)常規(guī)的粒子濾波采用了次優(yōu)的重要性函數(shù)，因此，粒子的重要性采樣過程是次優(yōu)的．同時(shí)，多峰分布情況下，存在高斯粒子濾波估計(jì)精度問題．為了優(yōu)化高斯粒子濾波的采樣過程，改善估計(jì)精度，本研究將PSO算法融入到高斯粒子濾波中．

2)PSO算法中引入壓縮因子，能有效解決粒子的全局探測(cè)和局部開采的平衡問題，最大化地提高粒子的使用效率．

3)將高斯分布作為建議分布，以化簡(jiǎn)濾波結(jié)構(gòu)，減小了粒子退化問題．

3．2 PSO－GPF的具體實(shí)現(xiàn)步驟

Step 1 取得測(cè)量值:

式(8)中，Rk是測(cè)量噪聲方差，zNew和zPred分別是最新測(cè)量值和預(yù)測(cè)測(cè)量值;

Step 2 初始化種群中粒子的位置和速度;

Step 4 測(cè)量更新:根據(jù)公式(3)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度，將當(dāng)前各粒子的位置和適應(yīng)度存儲(chǔ)在各粒子的Pbest中，選取出所有Pbest中適應(yīng)度最優(yōu)個(gè)體，將其位置和適應(yīng)度存儲(chǔ)在Gbest中;

Step 5 根據(jù)最優(yōu)值并利用式(4)～(7)更新每個(gè)粒子的速度和位置，使得粒子不斷向真實(shí)狀態(tài)靠近;

Step 6 比較每個(gè)粒子的適應(yīng)度值與其所經(jīng)過的個(gè)體歷史最好位置的適應(yīng)度值，如果更好，則將其作為粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)值，粒子的當(dāng)前位置作為該粒子的個(gè)體歷史最好位置;

Step 7 比較當(dāng)前所有Pbest和Gbest值，更新Gbest值;

Step 8 若滿足停止條件(一般情況下采用預(yù)設(shè)的運(yùn)算精度或者最大迭代次數(shù))，搜索停止，輸出結(jié)果;否則返回Step 5，繼續(xù)搜索最優(yōu)值;

Step 10 利用公式計(jì)算每個(gè)粒子的權(quán)重:

Step 11 根據(jù)公式歸一化每個(gè)粒子的權(quán)重:

Step12 估計(jì)濾波分布的均值μk、協(xié)方差，以及雙高斯和的權(quán)值al，即

4 仿真結(jié)果與分析

應(yīng)用GPF算法和PSO－GPF算法分別對(duì)一維非線性模型進(jìn)行仿真，系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程和測(cè)量方程定義如下:

該系統(tǒng)為似然函數(shù)呈雙峰的高度非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)的濾波方法難以處理該系統(tǒng)．下面分別用GPF和PSO－GPF進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)跟蹤．

為了顯示PSO－GPF中粒子的搜索空間維度D和最大迭代次數(shù)DT，max對(duì)實(shí)驗(yàn)改進(jìn)結(jié)果的影響，特將除了兩者以外的其余參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一設(shè)置，以保持實(shí)驗(yàn)環(huán)境的一致性．這些參數(shù)設(shè)置如下:令GPF和PSOGPF的過程噪聲方差Q=10，觀測(cè)噪聲方差R=1，初始估計(jì)方差P=5，時(shí)間步長tf=50 s;設(shè)置GPF的采樣粒子數(shù)目N=100;設(shè)置PSO－GPF的參數(shù)為:采樣粒子數(shù)目Np=30，學(xué)習(xí)因子c1=2．8，學(xué)習(xí)因子c2=1．3，時(shí)間間隔1 s，目標(biāo)初始狀態(tài)為x0=0，雙高斯和初始權(quán)值a1=a2=0．5．

PSO算法中，對(duì)于一般的優(yōu)化問題，粒子數(shù)取20至40已可解決大部分問題并取得不錯(cuò)的結(jié)果．對(duì)于比較難的問題或者特定類別的問題，粒子數(shù)可以取到100以上．對(duì)于本實(shí)驗(yàn)，在對(duì)PSO－GPF的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置時(shí)，設(shè)定采樣粒子數(shù)目Np=30和Np=100．

學(xué)習(xí)因子c1和c2通常取2，但也可取其他的值，一般c1和c2相等，且范圍在0至4之間．本實(shí)驗(yàn)中，為了防止粒子過早收斂到局部最小值，故將c2設(shè)置得較小．同時(shí)，為了確保C大于4，故設(shè)置c1=2．8，c2=1．3，此時(shí) C=4．1，壓縮因子為 0．729。

1)令PSO－GPF的采樣粒子數(shù)目Np=30、搜索空間維度D=30、最大迭代次數(shù)DT，max=100，GPF和PSO－GPF的濾波結(jié)果和估計(jì)值誤差分別見圖1和圖2．

圖1 在N p=30、D=30和D T，max=100條件下，不同算法的濾波結(jié)果比較Fig．1 Comparison of results among different filtering algorithms under N p=30，D=30 and D T，max=100

圖2 在N p=30、D=30和D T，max=100條件下，不同算法的估計(jì)值誤差的比較Fig．2 Comparison of the estimate errors of different algorithms under N p=30，D=30 and D T，max=100

為了進(jìn)一步比較GPF和PSO－GPF在估計(jì)誤差方面的性能，引入均方根誤差(root mean square error，RMSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)．均方根誤差計(jì)算公式為:

表1給出了不同濾波算法的RMSE和所用的運(yùn)行時(shí)間，實(shí)驗(yàn)在Windows XP平臺(tái)上用Matlab編程實(shí)現(xiàn)．可以看到，在Np=30、D=30、DT，max=100時(shí)，PSO－GPF比GPF的精度提高很多，達(dá)到了98．6%．

表1 在N p=30、D=30和D T，max=100條件下，不同濾波算法的濾波結(jié)果數(shù)據(jù)比較Tab．1 Comparison of filtering data among different filtering algorithms under N p=30，D=30 and D T，max=100

2)令PSO－GPF的采樣粒子數(shù)目Np=30、搜索空間維度D=40、最大迭代次數(shù)DT，max=200，GPF和PSO－GPF的濾波結(jié)果和估計(jì)值誤差分別見圖3和圖4．

圖3 在N p=30、D=40和D T，max=200條件下，不同算法的濾波結(jié)果比較Fig．3 Comparison of results among different filtering algorithms under N p=30，D=40 and D T，max=200

圖4 在N p=30、D=40和D T，max=200條件下，不同算法的估計(jì)值誤差的比較Fig．4 Comparison of the estimate errors of different algorithms under N p=30，D=40 and D T，max=200

表2給出了在Np=30、D=40、DT，max=200時(shí)，GPF和PSO－GPF算法的RMSE和所用的運(yùn)行時(shí)間．可以看到，PSO－GPF比GPF的精度提高很多，達(dá)到了74．3%．與Np=30、D=30、DT，max=100時(shí)相比，GPF和PSO－GPF算法各自的RMSE值變化不大，但PSO－GPF比GPF的精度提高率略有下降．說明在參數(shù)設(shè)置為Np=30、D=30、DT，max=100時(shí)，已可達(dá)到很好的精度，且減小D和DT，max的設(shè)置還可縮短PSO－GPF的運(yùn)行時(shí)間．

表2 在N p=30、D=40和D T，max=200條件下，不同濾波算法的濾波結(jié)果數(shù)據(jù)比較Tab．2 Comparison of filtering data among different filtering algorithms under N p=30，D=40 and D T，max=200

3)為了進(jìn)一步比較PSO－GPF中采樣粒子數(shù)目Np對(duì)PSO－GPF算法的影響，在圖1和圖2的參數(shù)設(shè)置下，只改變PSO－GPF采樣粒子數(shù)目為Np=100．GPF和PSO－GPF的濾波結(jié)果和估計(jì)值誤差分別見圖5和圖6．

由圖5和圖6可以看出，當(dāng)采樣粒子數(shù)均為100時(shí)，PSO－GPF比GPF的估計(jì)精度高，表3顯示PSO－GPF精度可提高93．9%．將表1和表3對(duì)比發(fā)現(xiàn)，采樣粒子數(shù)Np的增加可以提高PSO－GPF的估計(jì)精度，但精度提高率不是特別明顯，且算法的運(yùn)行時(shí)間大大增加．因此，將參數(shù)設(shè)置為Np=30、D=30、DT，max=100時(shí)，能夠更適應(yīng)于實(shí)際應(yīng)用的需要。

圖5 在N p=100、D=30和D T，max=100條件下，不同算法的濾波結(jié)果比較Fig．5 Comparison of results among different filtering algorithms under N p=100，D=30 and D T，max=100

圖6 在N p=100、D=30和D T，max=100條件下，不同算法的估計(jì)值誤差的比較Fig．6 Comparison of the estimate errors of different algorithms under N p=100，D=30 and D T，max=100

表3在N p=100、D=30和D T，max=100條件下，不同濾波算法的濾波結(jié)果數(shù)據(jù)比較Tab．3 Comparison of filtering data among different filtering algorithms under N p=100，D=30 and D T，max=100

從以上圖表可見，所設(shè)的PSO－GPF比GPF的估計(jì)精度高，所估計(jì)的結(jié)果更接近于真實(shí)的狀態(tài)值，具有更好的穩(wěn)定性．在粒子數(shù)目減小的情況下，用新的濾波方法對(duì)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，其估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性將比其他算法高，粒子濾波器的退化問題得以緩解．在圖1和圖3中，由于采用似然函數(shù)為雙峰的非線性系統(tǒng)，GPF的濾波精度會(huì)受到影響．而PSO－GPF則利用了帶壓縮因子的粒子群優(yōu)化算法，改善了濾波的采樣過程，提高了樣本的準(zhǔn)確性，從而使濾波精度得到提高．與圖2相比，圖4中的PSO－GPF強(qiáng)化了粒子群的優(yōu)化作用，擴(kuò)大了粒子的維度，加大了算法的迭代次數(shù)，一般來說精度提高率應(yīng)該更高，但由于PSO本質(zhì)上是一種隨機(jī)算法，在使用其他同樣參數(shù)時(shí)，也可能得出不同的求解結(jié)果．所以，可以看到，圖2中PSO－GPF的RMSE會(huì)比圖4中的更小，精度更準(zhǔn)確，這從表1～表2中可以直觀地看到濾波精度提高的變化．圖6與圖2相比，加大了PSO－GPF的采樣粒子數(shù)，可以一定程度提高PSO－GPF的估計(jì)精度，但考慮到精度提高率不是特別明顯且運(yùn)行效率變差，因此，將PSO－GPF參數(shù)設(shè)置成D=30、DT，max=100已可滿足實(shí)際應(yīng)用要求，且縮短了運(yùn)行時(shí)間．

5 結(jié)語

提出一種新的應(yīng)用粒子群優(yōu)化的高斯粒子濾波方法，從優(yōu)選重要性密度函數(shù)和優(yōu)化濾波器采樣效率的角度，來改善高斯粒子濾波在多峰分布情況下的精度問題和濾波器的退化問題．新算法采用粒子群優(yōu)化算法產(chǎn)生高斯粒子濾波的建議分布參數(shù)，充分利用了最新觀測(cè)數(shù)據(jù)，提高了濾波精度．同時(shí)，采用了帶壓縮因子的粒子群優(yōu)化算法，用于控制粒子的全局探測(cè)與局部開采，減小了粒子陷入局部最優(yōu)的可能性．此外，算法還應(yīng)用高斯分布作為建議分布，能化簡(jiǎn)濾波結(jié)構(gòu)，有效地減弱粒子退化現(xiàn)象．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的濾波算法具有較高的精度和穩(wěn)定性，算法的精度提高可達(dá)到70%以上．